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2025 年高考数学解密之空间向量基本定理及坐标表示
一．选择题（共 16 小题）
1 ．（2024•上海）定义一个集合 Ω , 集合元素是空间内的点集，任取 P1 ， P2 ， P3 ∈ Ω , 存在不全为 0 的实
数 λ1 ， λ2 ， λ3 ，使得 λ1 O(-)-P + λ2 O(-)-P- + λ3 O(-)-P- = ．已知 (1 ，0 ，0) ∈ Ω , 则 (0 ，0 ，1) ∈ Ω 的充分条件是 ( )
A ． (0 ，0 ， 0) ∈ Ω B ． (—1 ，0 ， 0) ∈ Ω C ． (0 ，1 ， 0) ∈ Ω D ． (0 ，0 ， —1) ∈ Ω
2 ．（2023•新乡模拟） 已知点 O 、 A 、 B 、 C 为空间不共面的四点，且向量 = O(-)-A + O(-)- + O(-)- ， 向量
b(→) = O(-)-A + O(-)- — O(-)- ，则与 、 b(→) 不能构成空间基底的向量是 ( )
A ． OA B ． OB C ． OC D ． OA 或 OB
-- ---→ ---→ -- ---→

3 ．（2023•五华区校级模拟）《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦 ”充分体现了中国古典 哲学与现代数学的关系，从直角坐标系中的原点，到数轴中的两个半轴（正半轴和负半轴），进而到平面 直角坐标系中的四个象限和空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到繁复的变化过程．现将平面向量的 运算推广到 n(n开3) 维向量，用有序数组 (x1 ， x2 ， … , xn ) 表示 n(n开3) 维向量，已知 n 维向量 = (—1 ，1，
1 ， … , 1) ， b(→) = (1 ，1 ，1 ， … , 1) ，则 ( )
A ． | + b(→) |= n —1 B ． . b(→) = n — 1
C ． D ．存在 λ∈ R 使得b(→) =
4 ．（2023•德阳模拟）已知 ， j(→) ， k(→) 表示共面的三个单位向量， 丄 j(→) ，那么 ( + k(→)) . (j(→) + k(→)) 的取值范围是
( )
A ． [—3 ， 3] B ． [—2 ， 2] C ． ， D ． ，
5 ．（2023•滁州模拟） 已知向量 = (1, 1, x) ， b(→) = (—2, 2, 3) ，若 (2 — b(→)) . b(→) = 1 ，则 x = ( )
A ． —3 B ．3 C ． —1 D ．6
6 ．（2024•太湖县校级四模）如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为 1 ，活动弹子 M ， N 分别在对角线 CA ， BF 上移动，且 CM = BN ，则MN 的取值范围是 ( )

1
A ． B ． C ． D ．
7．（2023•东城区校级模拟）在空间直角坐标系 O — xyz 中．正四面体 P — ABC 的顶点 A ，B 分别在 x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是 2 ，则 | OP | 的取值范围是 ( )
A ． ，
8 ．（2022•淮北一模）在空间直角坐标系中，已知 A(1 ， —1 ，1) ，B(3 ，1 ，1) ，则点 P(1 ，0 ，2) 到直线 AB 的距离为 ( )
A ． B ． C ． D ．
9 ．（2021•江苏一模） 已知数组 = (x ，1 ， 1) ， b(→) = (—2 ，2 ， y) ， . b(→) = 0 ，则 2x — y = ( )
A ．1 B ． —1 C ．2 D ． —2
10．（2021•白银模拟）已知向量 = (ax , ay , az ) ，b(→) = (bx , by , bz ) ， , j(→) , k(→) }是空间中的一个单位正交基底．规
定 向量积 的行列式计算
, , 其中行列式计算表示为 ，若向量 A(–)– = (2, 1, 4), A(–)– = (3, 1, 2) ， 则

–––→ –––→
AB × AC = ( )
A ． (—4 ， —8 ， —1) B ． (—1 ，4 ， —8) C ． (—2 ，8 ， —1) D ． (—1 ， —4 ， —8)
11 ．（2021•让胡路区校级三模） 已知向量 = (2, 2) ， b(→) = (1, x) ，若 / /( + 2b(→)) ，则|b(→) |= ( )

A ．10 B ．2 C ． · D ．
12 ．（2020•江苏模拟）若向量 = (2 ， —3 ， 1) 和b(→) = (1 ， x ， 4) 满足条件 ●b(→) = 0 ，则 x 的值是 ( )
A ． —1 B ．0 C ．1 D ．2
13．（2020•西城区校级模拟）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O — xyz 中的坐标分别是 (0 ，0 ，0) ，(0 ， 0 ， 1) ， (1 ，1 ， 0) ， (1 ，0 ， 1) ，则此四面体在 xOy 坐标平面上的正投影图形的面积为 ( )
A ． B ． C ． D ．1
–––→
14 ．（2023 秋•新华区校级期末）在空间直角坐标系中，若 A(1 ， —1 ， 3) ， AB = (5, 0, 2) ，则点B 的坐标为
( )
A ． (6 ， —1 ， 5) B ． (—4 ， —1 ， 1) C ． (4 ，1 ， —1) D ． (6 ， —1 ， —1)
15 ．（2023 秋•合肥期末） 已知 = (1 ， —2 ， 1) ， + b(→) = (—1 ，2 ， —1) ，则 b(→) 等于 ( )

2
A ． (2 ， -4 ， 2) B ． (-2 ，4 ， -2) C ． (-2 ，0 ， -2) D ． (2 ，1 ， -3)
---→
16．（2023 秋•百色期末）如图，在四面体 OABC 中，D 是BC 的中点，G 是 AD 的中点，则 OG 等于 ( )

A ． B ．
C ． D ．
二．多选题（共 3 小题）
17 ．（2024•高碑店市校级模拟） 已知 , b(→) , 是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基
底的是 ( )
A ． + b(→) , , + b(→) + B ． , 2b(→) , -3 C ． , + b(→) , D ． 2 - b(→) + , - b(→) , +
18 ．（2024•江宁区校级二模）在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， E 、 F 分别为 AB 、 BC 的中点，

---→ ----→ ----→
点 P 满足 A1P = λA1B1 + μA1D1 (0 ≤ λ ≤ 1, 0 ≤ μ ≤ 1) ，则下列说法正确的是 ( )
A ．若 λ = 1 ， μ = 0 ，则三棱锥P - BEC 外接球的表面积为
, 则异面直线 CP 与B1F 所成角的余弦值为
C ．若 λ + μ = 1 ，则△ PEF 面积的最小值为
D ．若存在实数 x ， y 使得A(-)- = xB- + yB- ，则D1P 的最小值为
19 ．（2024•船营区校级模拟）设三个向量 , e(-) , e(-)不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实
数组 (x ，y ，z) ，使得： = xe + ye- + ze- 成立．我们把{ , e2 , e(-)} 叫做基底，把有序实数组 (x ，y ，z) 叫
做 基 底 { , e(-) , e(-)} 下 向 量 的 斜 坐 标 ． 已 知 三 棱 锥
P - ABC, 上上上 以 A 为坐标原点， 以 A(-)- 为 x 轴正方向，
以 AC 为y 轴正方向， 以 AP 为 z 轴正方向， 以 AB, AC, AP 同方向上的单位向量 e1, e2, e3 为基底，建立斜坐
---→ ---→ ---→ ---→ ---→ -→ -

3
标系，则下列结论正确的是 ( )
--
A ． BP = (—1, 0, 2)
B ． ΔPBC 的重心坐标为
C ．若 Q(1 ，1 ， 1) ，则 AQ 丄 BC
D ．异面直线 AP 与BC 所成角的余弦值为
三．填空题（共 1 小题）
20 ．（2023•西安模拟）空间四边形 ABCD 中，AC 与 BD 是四边形的两条对角线，M ，N 分别为线段 AB ，
CD 上的两点，且满足 若点 G 在线段MN 上，且满足M-- = 3G(-)- ，若向量A(-)- 满
足 则 x + y + z = ．
四．解答题（共 5 小题）
21．（2024•安徽模拟）一般地，n 元有序实数对 (a1 ，a2 ，… , an ) 称为 n 维向量．对于两个 n 维向量 = (a1 ，
a2 … ， an ) ， b(→) = (b1 ， b2 ， …bn ) ，定义两向量的数量积为 ，向量 的模 ，
且| — tb(→) | 取最小值时， tb(→) 称为 在 b(→) 上的投影向量．
（1）求证： 在 b(→) 上的投影向量为
（2）某公司招聘时对应聘者的语言表达能力 (β1 ) 、逻辑推理能力 (β2 ) 、动手操作能力 (β3 ) 进行测评，每 门总分均为 10 分，测评结果记为一个三维向量 = (β1 ， β2 ， β3 ) 而不同岗位对于各个能力需求的比重各 不相同，对于每个岗位均有一个事先确定的“能力需求向量 ” = (a1 ，a2 ，a3 )(a1开0 ，a ≠ 0) 将 在 上
的投影向量的模称为该应聘者在该岗位的“适合度 ”．其中四个岗位的“能力需求向量 ”如下：

岗位
能力需求向量
会计
-
α1 = (1 ，2 ， 2)
技工
--→
α2 = (1 ，2 ， 3)
推销员
--→
α3 = (4 ，2 ， 0)
售后维修员
--→
α4 = (2 ，1 ， 3)
( Ⅰ ) 应聘者小明的测评结果为 = (6 ，7 ， 8) ，试分析小明最适合哪个岗位．

4
( Ⅱ ) 已知小红在会计、技工和某岗位 A 的适合度分别为 m1 ， m2 ， m3 (mi > 0 ， i = 1 ，2 ， 3) ．若能根据 这三个适合度求出小红的测评结果，求证：会计、技工和岗位 A 的“能力需求向量 ”能作为空间中的一组 基底．
22．（2022•湖北模拟）如图所示，在四棱锥 P — ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA 丄 底面 ABCD ，PA = AB ， E ， F 分别为线段PB ， BC 上的动点．
（1）若 E 为线段 PB 的中点，证明：平面 AEF 丄 平面 PBC ；
若 且平面 AEF 与平面 PBC 所成角的余弦值为 试确定点F 的位置．

23 ．（2022•象山区校级一模）如图，在空间四边形 OABC 中，G ，H 分别是 ΔABC ， ΔOBC 的重心，D 为
BC 的中点，试用基底表示向量O(-)- 和 G(-)- ．

24 ． （ 2023 秋 • 乐 山 期 末 ） 已 知 斜 棱 柱 ABCD — A1B1C1D1 中 ， AB = AD = AA1 = 1 ，
上A1AB = 上A1AD = 上BAD = 60。．设 A(-)- = ， A(-)- = b(→) ， A(-)-A- = ．
（1）用基底 ， b(→) ， 表示向量A(-)-C(-) ，并求 | A(-)-C(-) | ；

----→ →
（2）求向量 AC1 与向量A(-)-C(-) 夹角的余弦值．

25 ．（2023 秋•保定期末）如图，在空间四边形 ABCD 中， A(-)- = ， A(-)- = b(→) ， A(-)- = ， E 为BC 的中点，

5
F 在 CD 上且 CF = 2FD ．
（1） 以 a– ， ， c– 为基底，表示 E--F-– ；
（2） 上BAD = 上 ， 上 ， AB = 2 ， AD = 2 ， AC = 2 ，求 | EF | ．

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2025 年高考数学解密之空间向量基本定理及坐标表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共 16 小题）
1 ．（2024•上海）定义一个集合 Ω , 集合元素是空间内的点集，任取 P1 ， P2 ， P3 ∈ Ω , 存在不全为 0 的实
数 λ1 ， λ2 ， λ3 ，使得 λ1 O(-)-P + λ2 O(-)-P- + λ3 O(-)-P- = ．已知 (1 ，0 ，0) ∈ Ω , 则 (0 ，0 ，1) ∈ Ω 的充分条件是 ( )
A ． (0 ，0 ， 0) ∈ Ω B ． (—1 ，0 ， 0) ∈ Ω C ． (0 ，1 ， 0) ∈ Ω D ． (0 ，0 ， —1) ∈ Ω 【答案】 C
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算 【分析】利用空间向量的基本定理，结合充要条件，判断选项即可．
【解答】解：不全为 0 的实数 使得 所以 3 个向量无法构成三维空间坐标系的一组基，
又因为 (1 ，0 ， 0) ∈ Ω , 所以对于 A 三者不能构成一组基， 故不能推出 (0 ，0 ， 1) ∈ Ω , 故 A 错误；
对于 B ， (1 ，0 ， 0) ∈ Ω , (—1 ，0 ， 1) ∈ Ω , 且 (1 ，0 ， 0) ， (—1 ，0 ， 0) 共线， 所以 (0 ，0 ， 1) 可以属于 Ω , 此时三者不共面，故 B 错误；
对于 C ，显然三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出 (0 ，0 ， 1) ∈ Ω , 故 C 正确；
对于 D ，三者无法构成一组基，故不能推出 (0 ，0 ， 1) ∈ Ω , 故D 错误．
故选： C ．
【点评】本题考查空间向量的基本定理的应用，充要条件的判断，是基础题．
2 ．（2023•新乡模拟） 已知点 O 、 A 、 B 、 C 为空间不共面的四点，且向量 = O(-)-A + O(-)- + O(-)- ， 向量
b(→) = O(-)-A + O(-)- — O(-)- ，则与 、 b(→) 不能构成空间基底的向量是 ( )
A ． OA B ． OB C ． OC D ． OA 或O(-)-B-
-- ---→ ---→ -- →

【答案】 C
【考点】 M 8 ：空间向量基本定理、正交分解及坐标表示 【专题】 5H ：空间向量及应用
【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出．
解

7
: O(-)- 与 、 b(→) 不能构成空间基底；
故选： C ．
【点评】本题考查了向量的基本定理及其意义，正确理解空间向量的基底的意义是解题的关键．
3 ．（2023•五华区校级模拟）《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦 ”充分体现了中国古典 哲学与现代数学的关系，从直角坐标系中的原点，到数轴中的两个半轴（正半轴和负半轴），进而到平面 直角坐标系中的四个象限和空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到繁复的变化过程．现将平面向量的 运算推广到 n(n开3) 维向量，用有序数组 (x1 ， x2 ， … , xn ) 表示 n(n开3) 维向量，已知 n 维向量 = (—1 ，1，
1 ， … , 1) ， b(→) = (1 ，1 ，1 ， … , 1) ，则 ( )
A ． | + b(→) |= n —1 B ． . b(→) = n — 1
C ． D ．存在 λ∈ R 使得b(→) =
【答案】 C
【考点】空间向量基底表示空间向量
【专题】数学运算；综合法；计算题；转化思想；推理和证明 【分析】类比平面向量的运算，计算可判断每个选项的正确性．
【解答】解：类比平面向量的运算 故 A
错误；
. b(→) = 1 × (—1) +1× 1 × (n —1) = n — 2 ，故 B 错误；
| | ， : cos < ， 故 C 正确；
假设存在 λ ∈ R ，使得b(→) = ，则有1= —λ 且1 = λ , 此时无解．
故选： C ．
【点评】本题考查类比推理，考查运算求解能力，属中档题．
4 ．（2023•德阳模拟）已知 ， j(→) ， k(→) 表示共面的三个单位向量， 丄 j(→) ，那么 ( + k(→)) . (j(→) + k(→)) 的取值范围是
( )
A ． [—3 ， 3] B ． [—2 ， 2] C ． ， · +1] D ． [1 — ·、 ， 1 + ·、]
【答案】 D
【考点】空间向量单位正交基底及其表示空间向量 【专题】计算题；平面向量及应用

8
【分析】运用向量垂直的条件：数量积为 0 ，及向量模的公式，和向量数量积的定义，结合余弦函数的值 域，即可计算得到．
→ → → →
【解答】解： 由 i 丄 j ，则 i . j = 0 ，
又 ， j(→) 为单位向量，则 则 ( + k(→)) . (j(→) + k(→)) = . j(→) + ( + j(→)) . k(→) + k(→)2

由 —1 .cos < + j(→), k(→) > .1 ，
则 ( + k(→)) . (j(→) + k(→)) 的取值范围是[1 — ·、 ， 1 + ·、i2 ] ．
故选： D ．
【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件，考查余弦函数的值域，考查运 算能力，属于中档题．
5 ．（2023•滁州模拟） 已知向量 = (1, 1, x) ， b(→) = (—2, 2, 3) ，若 (2 — b(→)) . b(→) = 1 ，则 x = ( )
A ． —3 B ．3 C ． —1 D ．6
【答案】 B
【考点】空间向量数量积的坐标表示
【专题】数学运算；转化思想；转化法；空间向量及应用
【分析】根据已知条件，结合空间向量的数量积运算，即可求解．
【解答】解：向量 = (1, 1, x) ， b(→) = (—2, 2, 3) ，
则 2 — b(→) = (2 ，2 ， 2x) — (—2 ，2 ， 3) = (4 ，0 ， 2x — 3) ， (2 — b(→)) . b(→) = 1，
则 —8 + 3(2x — 3) = 1 ，解得 x = 3 ．
故选： B ．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
6 ．（2024•太湖县校级四模）如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为 1 ，活动弹子 M ， N 分别在对角线 CA ， BF 上移动，且 CM = BN ，则MN 的取值范围是 ( )

9

A ． B ． C ． D ． 【答案】 B
【考点】空间两点间的距离公式
【专题】逻辑推理；空间位置关系与距离；数学运算；数形结合； 向量法
【分析】 以 B 为坐标原点，以 BA 所在直线为 x 轴， BE 所在直线为 y 轴， BC 所在直线为 z 轴，建立空间 直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】解：以 B 为坐标原点，以 BA 所在直线为 x 轴， BE 所在直线为 y 轴， BC 所在直线为 z 轴，建立 空间直角坐标系，

则 A(1 ，0 ， 0) ， C(0 ，0 ， 1) ，
设 CM = tCA ，则M (t ，0 ， 1 — t) ， B(0 ，0 ， 0) ， F(1 ，1 ， 0) ， BN = tBF ， N(t ， t ， 0) ，

所以 ．
故选： B ．
【点评】本题考查空间中两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（2023•东城区校级模拟）在空间直角坐标系 O — xyz 中．正四面体 P — ABC 的顶点 A ，B 分别在 x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是 2 ，则 | OP | 的取值范围是 ( )
A ． ， 【答案】 A

10
【考点】空间中的点的坐标
【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离
【分析】根据题意画出图形，结合图形，固定正四面体 P - ABC 的位置，则原点 O 在以 AB 为直径的球面 上运动，
原点 O 到点P 的最近距离等于 PM 减去球的半径，最大距离是 PM 加上球的半径． 【解答】解：
如图所示，若固定正四面体 P - ABC 的位置，则原点 O 在以 AB 为直径的球面上运动， 设 AB 的中点为
所以原点 O 到点P 的最近距离等于 PM 减去球M 的半径， 最大距离是 PM 加上球M 的半径；
所以

即 | OP | 的取值范围是 ．
故选： A ．

【点评】本题主要考查了点到直线以及点到平面的距离与应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题， 是综合题．
8 ．（2022•淮北一模）在空间直角坐标系中，已知 A(1 ，-1 ，1) ，B(3 ，1 ，1) ，则点 P(1 ，0 ，2) 到直线 AB 的距离为 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 C
【考点】空间两点间的距离公式
【专题】数学运算；方程思想；定义法；空间向量及应用
---→ ---→
【分析】求出 AB ， AP ，利用向量法能求出点 P(1 ，0 ， 2) 到直线 AB 的距离．
【解答】解： A(1 ， -1 ， 1) ， B(3 ，1 ， 1) ，

11
---→
: AB = (2 ，2 ， 0) ，
---→
AP = (0 ，1 ， 1) ，
则点 P(1 ，0 ， 2) 到直线 AB 的距离为：

故选： C ．
【点评】本题考查点到直线的距离的求法，考查向量法求点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题．
9 ．（2021•江苏一模） 已知数组 = (x ，1 ， 1) ， b(→) = (—2 ，2 ， y) ， . b(→) = 0 ，则 2x — y = ( )
A ．1 B ． —1 C ．2 D ． —2
【答案】 C
【考点】空间向量数量积的坐标表示
【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算 【分析】利用向量数量积公式直接求解．
【解答】解： : a = (x ，1 ， 1) ， b = (—2 ，2 ， y) ， a . b = 0 ，
: . b(→) = —2x + 2 + y = 0 ．
解得 2x — y = 2 ．
故选： C ．
【点评】本题考查代数式求值，考查向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．（2021•白银模拟）已知向量 = (ax , ay , az ) ，b(→) = (bx , by , bz ) ， , j(→) , k(→) }是空间中的一个单位正交基底．规
定 向量积 的行列式计算
, , 其中行列式计算表示为 ，若向量 A(-)- = (2, 1, 4), A(-)- = (3, 1, 2) ， 则

---→ ---→
AB × AC = ( )
A ． (—4 ， —8 ， —1) B ． (—1 ，4 ， —8) C ． (—2 ，8 ， —1) D ． (—1 ， —4 ， —8)

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【答案】 C
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【专题】对应思想；转化法；空间向量及应用；数学运算 【分析】根据向量的坐标公式代入计算即可得出．
【解答】解：由题意得：A(—)— × A(—)— = (1× 2 一 4× 1) + (4× 3 一 2× 2) + (2× 1一 1× 3)k→ = 一2 + 8 一 k→ = (一2 ，8，一1) ，
故选： C ．
【点评】熟练掌握向量的坐标运算是解题的关键．
11 ．（2021•让胡路区校级三模） 已知向量 = (2, 2) ， b(→) = (1, x) ，若 / /( + 2b(→)) ，则|b(→) |= ( )

A ．10 B ．2 C ． D ．
【考点】 9P ：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法； 5A ：平面向量及应用；65：数学运算
【分析】可求出 + 2b(→) = (4, 2x + 2) ，然后根据 / /( + 2b(→)) 即可得出 2(2x + 2) 一 8 = 0 ，解出 x 的值，然后即
可得出b(→) 的坐标，进而求出 | | 的值．
【解答】解： 」 + 2b(→) = (4, 2x + 2) ，且 / /( + 2b(→)) ，
: 2(2x + 2) 一 2× 4 = 0 ，解得 x = 1 ，
.
故选： D ．
【点评】本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
12 ．（2020•江苏模拟）若向量 = (2 ， 一3 ， 1) 和b(→) = (1 ， x ， 4) 满足条件 ●b(→) = 0 ，则 x 的值是 ( )
A ． 一1 B ．0 C ．1 D ．2
【考点】 M 6 ：空间向量的数量积运算
【专题】 5H ：空间向量及应用；35：转化思想；49：综合法；65：数学运算 【分析】直接代入数量积求解即可．
【解答】解：因为 = (2 ， 一3 ， 1) 和b(→) = (1 ， x ， 4) 满足条件 ●b(→) = 0 ，
即 2 一 3x + 4 = 0 → x = 2 ；
故选： D ．
【点评】本题主要考查向量数量积的运算，属于基础题．
13．（2020•西城区校级模拟）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O 一 xyz 中的坐标分别是 (0 ，0 ，0) ，(0 ，

13
0 ， 1) ， (1 ，1 ， 0) ， (1 ，0 ， 1) ，则此四面体在 xOy 坐标平面上的正投影图形的面积为 ( )
A ． B ． C ． D ．1
【考点】 M 9 ：空间向量运算的坐标表示
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法； 5H ：空间向量及应用；64：直观想象
【分析】如图，此四面体在xOy 坐标平面上的正投影图形是 ΔABD ，由此能求出此四面体在 xOy 坐标平面 上的正投影图形的面积．
【解答】解：一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O — xyz 中的坐标分别是 (0 ，0 ， 0) ， (0 ，0 ， 1) ， (1 ， 1 ， 0) ， (1 ，0 ， 1) ，
如图，此四面体在 xOy 坐标平面上的正投影图形是 ΔABD ，
: 此四面体在xOy 坐标平面上的正投影图形的面积为：

故选： B ．

【点评】本题考查四面体在 xOy 坐标平面上的正投影图形的面积的求法，考查空间直角坐标系的性质等基 础知识，考查运算求解能力，是基础题．
---→
14 ．（2023 秋•新华区校级期末）在空间直角坐标系中，若 A(1 ， —1 ， 3) ， AB = (5, 0, 2) ，则点B 的坐标为
( )
A ． (6 ， —1 ， 5) B ． (—4 ， —1 ， 1) C ． (4 ，1 ， —1) D ． (6 ， —1 ， —1) 【答案】 A
【考点】空间向量的共线与共面；空间向量及其线性运算；空间向量运算的坐标表示
【专题】综合法；数学运算；整体思想；空间向量及应用 【分析】利用空间向量的坐标运算求解．
---→
【解答】解： : A(1 ， —1 ， 3) ， AB = (5, 0, 2) ，
:B(6 ， —1 ， 5) ．

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故选： A ．
【点评】本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
15 ．（2023 秋•合肥期末） 已知 = (1 ， -2 ， 1) ， + b(→) = (-1 ，2 ， -1) ，则 b(→) 等于 ( )
A ． (2 ， -4 ， 2) B ． (-2 ，4 ， -2) C ． (-2 ，0 ， -2) D ． (2 ，1 ， -3) 【答案】 B
【考点】空间向量线性运算的坐标表示
【专题】定义法；对应思想；空间向量及应用
【分析】根据空间向量的线性运算，求出向量b(→) 的坐标即可． 【解答】解： = (1 ， -2 ， 1) ， + b(→) = (-1 ，2 ， -1) ，
: b(→) = + b(→) - = (-1 -1 ， 2 - (-2) ， -1 -1) = (-2 ，4 ， -2) ．
故选： B ．
【点评】本题考查了空间向量的线性运算与坐标表示的应用问题，是基础题目．
16．（2023 秋•百色期末）如图，在四面体 OABC 中，D 是BC 的中点，G 是 AD 的中点，则 O(-)-等于 ( )

A ． B ．
C ． D ． 【答案】 C
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【专题】转化法；平面向量及应用；空间向量及应用；直观想象
【 分 析 】 在 四 面 体 OABC 中 ， D 是 BC 的 中 点 ， G 是 AD 的 中 点 ， 可 得 ，
即可得出．
【解答】解：在四面体 OABC 中， D 是 BC 的中点， G 是 AD 的中点，

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故选： C ．
【点评】本题考查了空间向量运算性质、平面向量平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题．
二．多选题（共 3 小题）
17 ．（2024•高碑店市校级模拟） 已知 , b(→) , 是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基
底的是 ( )
A ． + b(→) , , + b(→) + B