简单的线性规划问题(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.3.2简单的线性规划问题,x,y,o,1,2,新课探究,某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？,解：按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组,2,3,2,利润(万元),8,2,1,所需时间,12,4,0,B种配件,16,0,4,A种配件,资源限额,乙产品,(1件),甲产品,(1件),产品,消 耗 量,资 源,把问题1的有关数据列表表示如下:,设甲,乙两种产品分别生产,x,y,件,3,将上述不等式组表示成平面上的区域,y,x,4,8,4,3,o,若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用那种生产安排利润最大？,设工厂获得的利润为z，则z2x3y,把z2x3y变形为,它表示斜率为 的一组平行直线，z与这条直线的截距有关。,如图可见，当直线经过区域上的点M时，截距最大，即z最大。,M,甲、乙两种产品分别生产x、y件,4,象这样关于x,y一次不等,式组的约束条件称为,线性约束,条件,Z=2x+3y称为目标函数,(因这里,目标函数为关于x,y的一次式,又,称为,线性目标函数,在线性约束下求线性目标函数,的最值问题,统称为,线性规划,二、基本概念,5,二、基本概念,y,x,4,8,4,3,o,满足线性约束的解（x，y）叫做可行解。,由所有可行解组成的集合叫做可行域。,使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。,可行域,可行解,最优解,6,可行域,线性规划概念理解,问题：,设,z,=2,x,+,y,，式中变量满足,下列条件：,求z的最大值与最小值。,目标函数,（线性目标函数）,线性约,束条件,7,变式：,求利润z=x+4y的最大值.,8,解:,按甲、乙两种产品分别生产x、y件，,目标函数,为Z,那么：,约束条件,为,目标函数为,作出上述约束条件所表示的,可行域如下：,y,x,4,8,o,M,将 变形为,这是斜率为 ，随z变化的平,行直线系，是 直线在Y轴上的截距，当 最大时，z取得最大值。所以直线,与可行域相交且在Y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值,。,N,由图可见，当 直线 经过可行域上的N点时 最大，即 最大。,9,解方程组 得N点的坐标为（2，3）。,所以,10,线性规划：,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题,可行解：,满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；,可行域：,由所有可行解组成的集合叫做可行域；,最优解：,使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。,可行域,2x+y=3,2x+y=12,(1,1),(5,2),复习,线性规划,11,练习解下列线性规划问题：,1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：,12,x,O,y,A,B,C,y=x,x+y=1,y=-1,2x+y=0,B:(-1,-1),C:(2,-1),Zmin=-3,Zmax=3,目标函数：Z=2x+y,13,14,解线性规划问题的步骤：,（1）,2、,画,：,画出线性约束条件所表示的可行域；,（2）,3、,移,：,在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点,且纵截距最大或最小的直线；,（3）,4、,求,：通过解方程组求出最优解；,（4）,5、,答：作出答案。,1、找,找出线性约束条件、目标函数；,14,例2：,x,y,0,15,二、练习,1、,求z3x5y的最小值，使x、y满足约束条件：,16,1.解：作出平面区域,x,y,o,A,B,C,z3x5y,作出直线3x5y z 的图像，可知直线经过A点时，Z取最大值；直线经过B点时，Z取最小值。,求得A（1.5，2.5），B（2，1），则Zmax=17，,Z,min,=11。,17,第二课时,简单的线性规划问题,x,y,o,18,复习线性规划,线性规划：,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题,可行解：,满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；,可行域：,由所有可行解组成的集合叫做可行域；,最优解：,使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。,可行域,2x+y=3,2x+y=12,(1,1),(5,2),19,20,解线性规划问题的步骤：,（1）,2、,画,：,画出线性约束条件所表示的可行域；,（2）,3、,移,：,在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点,且纵截距最大或最小的直线；,（3）,4、,求,：通过解方程组求出最优解；,（4）,5、,答：作出答案。,1、找,找出线性约束条件、目标函数；,20,一、线性规划在实际中的应用：,线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，,一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，,如何使用它们来完成最多的任务；,二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、,物力、资金等资源来完成该项任务,下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：,21,二、例题,例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？,分析：将已知数据列成表格,食物kg,碳水化合物kg,蛋白质/kg,脂肪kg,A,0.105,0.07,0.14,B,0.105,0.14,0.07,22,解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么,目标函数为：z28x21y,作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域,1、找,23,把目标函数z28x21y 变形为,x,y,o,/57,5/7,6/7,3/7,3/7,6/7,它表示斜率为 纵截距随z变化的一组平行直线,是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。,M,如图可见，当直线z28x21y 经过可行域上的点M时，纵截距最小，即z最小。,2、画,3、,移,24,M点是两条直线的交点，解方程组,得M点的坐标为：,所以z,min,28x21y16,由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。,4、,求,5、,答,25,例6、,要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：,规格类型,钢板类型,第一种钢板,第二种钢板,A规格,B规格,C规格,2,1,2,1,3,1,今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。,解：设需截第一种钢板x张、第二种钢板y张，可得,26,x,0,y,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y=0,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,xN,*,y0 yN,*,经过可行域内的整点,B(3,9)和C(4,8),且和原点距离最近的直线是,x+y=12,，,它们是最优解.,答:(略),作出一组平行直线z=x+y,，,目标函数,z=x+y,B(3,9),C(4,8),A(18/5,39/5),打网格线法,在可行域内打出网格线，,当直线经过点A时,z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，,将直线x+y=11.4继续向上平移,27,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y=0,直线,x+y=12,经过的整点是,B(3,9)和C(4,8),，它们是最优解.,作出一组平行直线,z,=,x+y,，,目标函数,z=x+y,B(3,9),C(4,8),A(18/5,39/5),当直线经过点A时,z=x+y=11.4,但它不是最优整数解.作直线,x+y=12,x+y=12,解得交点B,C的坐标,B(3,9)和C(4,8),调整优值法,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,xN,*,y0 yN,*,x,0,y,28,即先求非整数条件下的最优解，调整Z的值使不定方程Ax+By=Z存在最大（小）的整点值，最后筛选出整点最优解,即先打网格，描出可行域内的整点,，,平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标即为最优整解,线性规划求最优整数解的一般方法:,1.平移找解法：,2.调整优解法,：,小结：,29,例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t，获利10000元；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t，获利5000元。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？,解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：,x,y,o,30,解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Zx0.5y，可行域如图：,把Zx0.5y变形为y2x2z，它表示斜率为,2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。,x,y,o,由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，,截距2z最大，即z最大。,故生产甲种、乙种肥料各,2车皮，能够产生最大利润，,最大利润为3万元。,M,容易求得M点的坐标为,（2，2），则Z,min,3,31,例8、某人准备投资1200万元兴办一所完全中学。对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）,分别用数学关系式和图形表示上述限制条件,。,若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600元，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？,学段,班级学生数,配备教师数,初中,45,2,26班,2人,高中,40,3,54班,2人,32,把上面四个不等式合在一起，,得到,y,x,20,30,40,20,30,o,另外，开设的班级不能为负，则x0，y0。,而由于资金限制,，26x54y22x23y1200,解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以2030个班为宜，所以，20 xy30,33,y,x,20,30,40,20,30,o,由图可以看出，当直线Z7.2x10.8y经过可行域上的点M时，截距最大，即Z最大。,设收取的学费总额为Z万元，则目标函数,Z0.1645x0.2740y7.2x10.8y。,Z7.2x10.8y,变形为,它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关。,M,易求得M（20，10），则Z,max,7.2x10.8y,252,故开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最多，为252万元。,34,咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉9g、咖啡4g、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g、咖啡5g、糖10g已知每天原料的使用限额为奶粉3600g，咖啡2000g糖3000g,如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大,？,解：将已知数据列为下表：,3,原,料,每配制1杯饮料消耗的原料,奶粉(g),咖啡(g),糖(g),甲种饮料,乙种饮料,9,4,3,4,5,1.2,原 料限 额,3600,2000,3000,利 润(元),0.7,1.2,x,y,设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则,目标函数为：z=0.7x+1.2y,巩固练习一,35,解:设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则,把直线l向右上方平移至l,1,的位置时，,直线经过可行域上的点C，且与原点距 离最大，,此时z=0.7x+1.2y取最大值,解方程组,得点C的坐标为（200，240）,_,0,_,9,x,+,4,y,=,3600,_,C,(,200,240,),_,4,x,+,5,y,=,2000,_,3,x,+,10,y,=,3000,_,7,x,+,12,y,=,0,_,400,_,400,_,300,_,500,_,1000,_,900,_,0,_,x,_,y,目标函数为：z=0.7x+1.2y,答:每天配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯可获取最大利润.,小结,作出可行域：,目标函数为：z=0.7x+1.2y,作直线l:0.7x+1.2y=0，,36,巩固练习二,某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，在每台A、B上加工1件乙所需工时分别为2h、1h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大？,设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z，目标函数为Z3x2y，满足的条件是,37,Z,3x2y,变形为,它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关。,X,Y,O,400,200,250,500,当直线经过点M时，截距最大，Z最大。,M,解方程组,可得M（200，100）,Z 的最大值Z,3x2y800,故生产甲产品200件，乙产品100件，收入最大，为80万元。,38,四.,课时小结,线性规划的两类重要实际问题的解题思路：,1.应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，,确定线性目标函数。,2.用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，,在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(一般最优解,在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较。）,3.要根据实际意义将数学模型的解转化为实际,问题的解，即结合实际情况求得最优解。,39,例2：,x,y,0,40,x,y,0,例2：,41,x,y,0,例2：,42,x,y,0,例2：,43,x,y,0,44,1)求z=2x-y的最值,例3：,x,y,0,45,2)求z=x+2y的最值,例3,：,x,y,0,46,3)求z=3x+5y的最值,例3,：,x,y,0,47,例3,：,x,y,0,P,48,例3,：,x,y,0,P,49,6)若 z=ax+y取得最,大,值的最优解有无数个,求实数a的值,例3,：,x,y,0,50,7)若 z=ax+y取得最,小,值的最优解有无数个,求实数a的值,例3,：,x,y,0,51,