你今年几岁了与解方程及日历中的方程.doc

你今年几岁了与解方程及日历中的方程（全面版）资料
一、你今年几岁了与解方程及日历中的方程
班级：_____________姓名：______________
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1.方程、方程的解与解方程的方法.
2.用方程的思想解决年龄、日历等实际问题.
一、填空题
1.现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的，而九年前弟弟的年龄，只是哥哥年龄的，则哥哥现在的年龄是__________岁.
2.已知3x－1=4x－7，那么x=__________.
3.某月日历，一个竖列上相邻的三个数中，如果中间的数为10，则这三个数由小到大的顺序为__________.
4.小明年龄的2倍加7，正好是爸爸前年的年龄.爸爸今年35岁，则小明今年______岁.
5.如果2x3m－5+2=0是一元一次方程，那么m=__________.
6.如果两个数中较大数的3倍是较小数的4倍，且这两个数之差是8，则较大的数是__________.
7.小明外出一周，已知第一天与最后一天的和为15则小明出走的日期是__________号.
8.无论x取何值时，3x－a=bx+5恒成立.则a=__________，b=__________.
9.甲队人数是乙队人数的2倍，若设乙队有x人，则甲队有__________人，若从甲队调12人到乙队，则甲队剩下______人，乙队现有______人.
二、选择题
10.下列方程中解为x=－3的是（ ）
A.x－5=4x－4 B.x+5=4x+4
C.x－5=4x+4 D.x+5=4x－4
11.代数式3a3b与a3是同类项，则x的值等于（ ）
A. B.1 C.2 D.
12.若方程ax+b=0(a≠0)的解是正数，则a、b的值应满足（ ）
A.a、b异号 B.b是正数
C.a、b同号 D.a、b都是正数
13.三个小孩分一包糖果，第一人得总数的还多1粒，第二人得剩下的，第三人发现他的糖果，刚好是第2人的2倍，则糖果总数是（ ）
A.8 B.20 C.14 D.无法确定
14.方程3－=0可以变形为（ ）
A.3－x－1=1 B.6－x－1=2
C.6－x+1=1 D.6－x+1=0
三、解答题
15.已知x=－8是方程3x+8=－a的解，求a2－的值.

16.求作一个解为x=3的方程，且满足条件分别为
（1）使x的系数为；
（2）使方程的一边为x＋１.

17.一个四口之家，由丈夫、妻子、女儿和儿子组成它们的年龄之和为73岁，丈夫比妻子大3岁，女儿比儿子大2岁，4年前这个家庭成员的年龄之和为58岁，请问这个家庭每个成员现在的年龄各是多少岁？

二、我变胖了、打折销售与“希望工程”义演
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体会打折、利润等有关概念，会用方程的思想处理，打折销售与商品利润等问题.
一、填空题
1.小明在书市花12元买了一本打八折的书，则该书定价为__________元.
2.要锻选一个直径为2 cm高为8 cm的圆柱形零件坯子，需要截取直径为4 cm的圆钢_____米.
3.一商店把货物打七折出售，仍可获利每件6元，如果该货物的标价为每件20元，则进价______元.
4.某人以8折优惠价格购买一件衣服节省了15元，那么他购买这件衣服实际用了__________元.
5.今有儿童、成人共27人组成的参观团，已知成人是儿童的2倍，那么该参观团有儿童__________人，成人__________人.
二、选择题
6.某商品原价是60元，现降价15%，售价为（ ）
A.9元 B.51元 C.6元 D.54元
7.某年数学竞赛共出了15道选择题，选对一题得4分，选错一题扣2分，若某学生做了全部15道题得了36分，他选对了（ ）
A.10道题 B.11道题 C.12道题 D.13道题
8.一家三口（父亲、母亲、儿子）准备外出旅游，甲旅行社说：“若父亲买全票一张，其他人可享受七折优惠.”乙旅行社说：“家庭旅游可按团体票计价即按原票的收费”，若两家旅行社的原价相同则（ ）
A.甲比乙优惠 B.乙比甲优惠
C.甲、乙收费相同 D.以上结论都有可能
三、解答题
9.一桶油第一次用去5千克，第二次用去全部油的，第三次用完全部油的，问桶内装油有多少千克？

10.今有三个底面为正方形，且高度相等的长方体容器，如果甲、乙、丙的底面长分别为5、12、13，今将甲、乙两个容器装满水倒入丙器中，水是否会溢出？

11.某个体经销商分两次购进收音机，第一次以每台40元购进60台，第二次以每台35元的价格购进40台，现在对这100台收音机以总进价为15%利润售出，请问每件商品的价格为多少元？

12.甲、乙两人捐书给贫困山区，共捐54本，如果甲给乙一本，则乙是甲的2倍，问甲、乙各捐书多少本？

13.某纸品加工厂制作甲、乙两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，各可以做多少个？

参考答案
一、你今年几岁了与解方程及日历中的方程
一、1.24 2.6 3.3，10，17 4.13
5.2 6.32 7.4 8.－5 3
9.2x 2x－12 x+12
二、10.C 11.D 12.A 13.D 14.D
三、15.195
16.①x－1=1 ②+1=
17.儿子3岁，女儿5岁，妻子31岁，丈夫34岁（提示：73－58=15，可得出4年前儿子尚未出生，由女儿比儿子大２岁知儿子第二年出生）
二、我变胖了、打折销售 与“希望工程”义演
一、1.15 2.2 3.8 4.60 5. 9 18
二、6.B 7.B 8.C

12.甲19；乙35 13.略

4．2解一元一次方程（第一课时）
南京市天景山中学 夏荣刚
教学目标：1、了解与一元一次方程有关的概念
2、理解等式的性质，并会用等式的性质解简单的一元一次方程。
教学重点：用等式的性质解方程
教学难点：等式的性质的理解
教学资源：多媒体辅助教学
教学过程：
教师活动
学生活动
点评
一、情境创设：
同学们，我们来看看图片中的天平,如果设小球的质量为xg,可列出的方程是： 2x+1=5
问:你知道方程中的x是多少吗?
其他同学同意他的答案吗?
你怎么知道是正确的解？

提问快速解出答案的同学

把X=2分别代入两个方程的两边，发现两边值相等

通过学生熟悉的情景,引入方程的解和解方程的学习
二、方程的解、解方程
方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
教师：刚才这位同学是什么求出方程的解？
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
做一做：分别把0、1、2、3、4代入方程
3x—2=4x—3，哪个值能使方程两边相等(填表)

学生：用小学学过的加法与减法是互逆运算的方法

学生尝试解方程

回顾小学解方程的方法

加强对方程的解的概念的理解。

学生感受小学方法的局限性，产生对新知识的渴望。
x
0
1
2
3
4

3X—2

4x—3

由上表知：当X= 时，3x—2=4x—3左右两边相等
所以，X= 是方程3x—2=4x—3的解。

提问：你能快速地求出下列方程的解吗？

教师归纳：用小学的方法或用数值代入检验的方法均得知方程的解，但对于解较复杂的方程这些方法不便于操作，下面我们探讨另一种解法。
三、等式的性质
利用天平原理解方程：
图（1）：设每个小球的质量为xg,每个小正体的质量为1g，则有方程：2X+1=5
图（2）：两边各拿走一个小球，天平仍平衡，即：
2X=4
图（3）两边各减去一半重量，天平仍平衡，即；
X=2
所以，每个小球的质量为2g

议一议：结合上面的做法，看着投影上的天平，方程怎样变形？

得出等式的性质1：等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍为等式。

两边拿走两个小球，即有：
3X-2X=3+2X-2X
X=3

提问：如果天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数(或同时缩小为原来的几分之一)，那么天平还能保持平衡吗？于是 , 你又能得出等式的什么性质?

得出等式的性质2：等式两边都乖或除以同一个不等于0的数，所得结果仍为等式。
学生：性质1可以两边加减同一个任意数或同一整式，而性质2只可以两边乘或除以同一个不是0的数

学生要结合平时用天平的实际

例1：用等式的性质解下列一元一次方程：
（1）X+5=2 （2）-2X=4
解：（1）两边都减去5，得：
X+5-5=2-5 （等式性质1）
合并同类项，得
X=-3
提问：怎样检验解方程是否正确？
（2）两边都除以-2，得
（等式性质2）
即 X=-2

练一练：用等式性质解下列方程：
（1）X-2=-6
（2）6X= —2
（3）—X=4

归纳反思
1、把求得值代入原方程两边，观察两边是否相等，若相等则是方程的解。
2、求方程的解就是将方程变形为X=a的形式

例2：用等式性质解下列方程：
（1）4X= —1+3X
练一练：用等式性质解下列方程：

(1)-3X=3-4X

学以致用
在公元1600年左右遗留下来的古埃及文献中,有这样一个问题：“它的全部,它的 ,和等于19”.你能求出这个数吗?

把求得值代入原方程两边，可以检验解方程是否正确。

学生：两边加上4X，是为了消去右边的未知项

教师要强调每步用了哪一个等式的性质，让学生了解每一步都有依有据

教师随堂检查，强调书写的规范化
四、课堂总结：
这节课我们学习了什么？
1.方程的解; 解方程.
2.等式的性质：
等式两边都加上或减去同一个数或同一个等式，所得结果仍是等式.(等式性质1）等式两边都乘或除以同一个不等于零的数，所得结果仍是等式. (等式性质2)
3.如何检验一个数是不是方程的解.

五、布置作业。

学生思考归纳

题目 第七章直线和圆的方程直线方程
高考要求
理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程
知识点归纳
1数轴上两点间距离公式：
2直角坐标平面内的两点间距离公式：
3直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角
当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°
可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
4直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα（α≠90°）
倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）
5直线的方向向量：设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量=（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量
向量=（1，）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率特别地，垂直于轴的直线的一个方向向量为＝(0,1)
6求直线斜率的方法
①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα
②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=
③方向向量法：若=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=
平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率
对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90°；当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k≥0时，α=arctank；k＜0时，α=π+arctank
7直线方程的五种形式
点斜式：， 斜截式：
两点式：， 截距式：
一般式：
题型讲解
例1 已知△ABC的三个顶点是A（3，－4）、B（0，3）、C（－6，0），求它的三条边所在的直线方程
分析：一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式使用时，应根据题目所给的条件恰当选择某种形式，使得解法简便由顶点B与C的坐标可知点B在y轴上，点C在x轴上，于是BC边所在的直线方程用截距式表示，AB所在的直线方程用斜截式的形式表示，AC所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可，最后为统一形式，均化为直线方程的一般式
解：①因△ABC的顶点B与C的坐标分别为（0，3）和（－6，0），
故B点在y轴上，C点在x轴上，
即直线BC在x轴上的截距为－6，在y轴上的截距为3，
利用截距式，直线BC的方程为+=1，
化为一般式为x－2y+6=0
②由于B点的坐标为（0，3），故直线AB在y轴上的截距为3，利用斜截式，得直线AB的方程为y=kx+3
又由顶点A（3，－4）在其上，所以－4=3k+3故k=－
于是直线AB的方程为y=－x+3，化为一般式为7x+3y－9=0
③由A（3，－4）、C（－6，0），
得直线AC的斜率kAC==－
利用点斜式得直线AC的方程为
y－0=－（x+6），
化为一般式为4x+9y+24=0
点评：本题考查了求直线方程的基本方法
例2 已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程
分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答
解：∵P（2，3）在已知直线上，
∴ 2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0
∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即=－
∴所求直线方程为y－b1=－（x－a1）
∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0
点评：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙
例3 一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍；
（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）
分析：（2）将面积看作截距a、b的函数，求函数的最小值即可
解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝，tanθ＝tan2α＝，
从而方程为8x－15y+6=0
（2）设直线方程为＋＝1，a＞0，b＞0，
代入P（3，2），得＋＝1≥2，得ab≥24，
从而S△AOB＝ab≥12，
此时＝，∴k＝－＝－
∴方程为2x+3y－12=0
点评：此题（2）也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值
例4 过点(2,1)作直线分别交x,y轴正并轴于A，B两点
(1)当ΔAOB面积最小时，求直线的方程;
(2)当|PA|´|PB|取最小值时，求直线的方程
解：(1)设所求的直线方程为(a>0,b>0),
由已知
于是=,∴SΔ AOB=³4,
当且仅当,即a=4,b=2时取等号,
此时直线的方程为,即x+2y─4=0
(2)解法一:设直线:y─1=k(x─2),分别令y=0,x=0,得A(2─,0), B(0,1─2k)
则|PA|´|PB|==³4,当且仅当k2=1,即k=±1时,取最小值,
又k<0,∴k=─1, 此时直线的方程为x+y─3=0
解法二: 如图,设∠PAO=θ,则|PA|=1/sinθ, |PB|=2/cosθ(0<θ<π/2),
∴|PA|´|PB|=2/(sinθcosθ)=4/sin2θ³4,
∴当且仅当sin2θ=─1即θ=3π/4时，|PA|´|PB|取最小值4,此时直线的斜率为─1,方程为x+y─3=0
点评：本题分别选用了截距式和点斜式，应根据条件灵活选用直线方程的形式
例5 直线被两条直线:4x+y+3=0和:3x─5─5=0截得的线段中点为P(─1,2),求直线的方程
解：设点(a,b)在上，依题意，(─2─a,4─b)在直线上,
∴ ,解之得：
由两点式得直线AB的方程为:3x+y+1=0
例6 已知两点A（－1，2）、B（m，3）
（1）求直线AB的斜率k与倾斜角α；
（2）求直线AB的方程；
（3）已知实数m∈［－－1，－1］，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
解：（1）当m=－1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角α＝．
当m≠－1时，k＝，
当m＞－1时，α＝arctan，
当m＜－1时，α＝π＋arctan．
（2）当m=－1时，AB：x=－1，
当m≠1时，AB：y－2=（x+1）．
（3）①当m=－1时，α＝；
②当m≠－1时，
∵k＝∈（－∞，－］∪［，＋∞），
∴α∈［，）∪（，］
故综合①、②得，直线AB的倾斜角α∈［，］
例7 求满足下列条件的直线的方程
⑴在y轴上的截距为，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6
⑵与直线的夹角为，且焦点在x轴上
解：⑴设直线的方程为，由题意得，
当时，直线的方程为即
当时，直线的方程为即
⑵直线交x轴于点（），可设的方程为由两直线夹角公式有，或
的方程为或，
即或
点评：求直线方程时，可根据题中已知条件适当地选择所求直线的形式，再根据题中其他条件确定方程中的待定系数
小结：
1直线的倾斜角、斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的基本量，应正确理解；直线方程有五种形式，其中点斜式要熟练掌握，这五种形式的方程表示的直线各有适用范围，解题时应注意不要丢解；含参数的直线方程问题用数形结合法常常简捷些
2注意斜率和倾斜角的区别
3直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，其中点斜式是最基本的，其他形式的方程皆可由它推导直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，因此应用时要注意它们各自适用的范围，以避免漏解
4如何建立平面坐标系内满足一定条件的直线的方程通用的解决方法是待定系数法；根据所知条件选择恰当的直线方程的形式是解题的关键；克服各类方程局限性的手段是分类讨论；开阔思路分析问题的措施是数形结合
学生练习
1直线xtan+y=0的倾斜角是
A－ B C D
解析：k=－tan=tan（π－）=tan且∈［0，π）
答案：D
2过两点（－1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距是
A－ B－ C D2
解析：求出过（－1，1）、（3，9）两点的直线方程，令y=0即得
答案：A
3直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角范围是
A［，）∪（，］ B［0，］∪［，π）
C［0，］ D［，］
解析：设直线的倾斜角为θ，
则tanθ=－cosα又－1≤cosα≤1，
∴－≤tanθ≤∴θ∈［0，］∪［，π）
答案：B
4直线y=1与直线y=x+3的夹角为___________
解法一：l1：y=1与l2：y=x+3的斜率分别为k1=0，k2=由两直线的夹角公式得 tanα=｜｜=，所以两直线的夹角为60°
解法二：l1与l2表示的图象为y=1与x轴平行，y=x+3与x轴倾斜角为60°，所以y=1与y=x+3的夹角为60°
答案：60°
5下列四个命题：①经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0=k（x－x0）表示；②经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（x2－x1）（x－x1）=（y2－y1）（y－y1）表示；③不经过原点的直线都可以用方程+=1表示；④经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示其中真命题的个数是
A0 B1 C2 D3
解析：对命题①④，方程不能表示倾斜角是90°的直线，对命题③，当直线平行于一条坐标轴时，则直线在该坐标轴上截距不存在，故不能用截距式表示直线只有②正确
答案：B
6．过点(10,─4)且倾角的正弦为5/13的直线方程是
(5x─12y─98=0或5x+12y─2=0);注意两种情况
7．过点(1,2)且与圆x2+y2=1相切的直线方程为
(x=1或3x─4y+5=0);注意点斜式的使用范围
8．若直线(m2─1)x─y─2m+1=0不经过第一象限，则实数m的取值范围是
(1/2£m£1);从直线的斜率或截距去观察
9．过点A(2,1),且在x,y轴上截距相等的直线方程是
(x+y=3或y=x/2)强调：截距式的使用范围
10．如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是
( ─1/3)
解：由于将直线平移不影响其斜率的值,故可设点O(0,0)在直线上，则依题意O点经平移后的坐标为P(─3,1), 故直线l过两点P,O,求出斜率即可
课前后备注 　

论费马猜想“不定方程”与“一般方程”的双重性质

（2021年 — 2021年1月13日）

王 德 忱

黑龙江省农业科学院黑河分院 黑河市 164300

【提要】 费马猜想n＞2时zn = xn + yn 无正整数解是一个不定方程，深入研究发现它从分解“约数方程”在因式关系上又同于一般方程，因而这一方程具有“不定方程”与“一般方程”的双重性质。
【关键词】 费马猜想 不定方程 因式关系

费马猜想：即当n＞2时，zn = xn + yn 无正整数解。
对于zn = xn + yn不可质疑地是一个不定方程；但是，深入研究之后发现它是一个具有“一般方程”性质的不定方程。从形式上未知数存在F（z，x，y）= 0不同组解，因而它是多元不定方程；从“约数方程”在“因式关系”上，它不同于一些“不定方程”的约数因式分解，且同于“一般方程”确定的因式关系。如果“ xn + yn ”为一个代数值 “rn” 则有F（z）= zn – rn = 0或F（z）=（z – r）n = 0，是特殊F（z）= 0的一般方程。为了明确费马猜想方程的特殊性质，必须对相关的不定方程与一般方程进行比较分析。
1.“权元不定方程”约数解法的因式关系
确定“权元不定方程”的定义：有多个未知数的不定方程，至少两个或两个以上的未知数共同决定方程的解，性质是分解的约数方程均为原方程该条件的唯一确定因式。
例如：求x2y + 3xy – 5x – 20 = 0的正整数解。
根据解不定方程“约数分析法” ：把不定方程进行因式分解，然后通过对约数进行分析来求出方程的解，
————————————
著者数学研究简介：职业会计师，数学是业余爱好。1977年 - 1980年著作有《初等数学若干问题新解》（108千字），发现了多条初等数学新定理和一些新算法，1982年由黑龙江省应用数学研究所、黑龙江大学数学系讲师和教授审定，1993年4月黑龙江科学技术出版社出版。近年来论文有《最新证明的勾股弦数公式》（2005年9月-12月）、《二次幂等式通解》（2006年）等，发布在网上。自1979年开始研究费马猜想“美妙证明”至今，完成《“方根（或重根）余约数方程”唯一性定理证明费马猜想》等
不同证法论文，2005年8月在《中国数学在线 数学爱好者论坛》刊发，并悬赏征求讨论。本文为费马猜想“约数分析法”证明
提供理论依据。
将方程
x2y + 3xy – 5x – 20 = 0………………………………………………………………………（1.1）
（x + 3）（xy – 5）= 1 × 5，（-1）（-5）
分解约数得到4组“约数”方程组：
x + 3 = 1 x + 3 = 5 x + 3 = -1 x + 3 = - 5
xy – 5 = 5 xy – 5 = 1 xy – 5 = -5 xy – 5 = -1
解这4组方程，只有第2组符合题义，解为：
x – 2 = 0 ……………………………………………………………………………………（1.2）
xy – 6 = 0……………………………………………………………………………………（1.3）
把约数得到直接能求解或比较简单的方程称为“约数方程”，如（1.2）式；另一个方程称为“余约数方程”，如（1.3）式。（1.2）式、（1.3）式必是（1.1）式的因式。由除式：

xy - 6
x - 2︱x2y + 3xy -5x -20
-（x2y - 2xy
5xy -5x - 20
-（-6x +1 2
5xy +x -32 = 0

但是，又存在另一种结果：

xy + 5y - 5
x - 2︱ x2y + 3xy -5x -20
-（x2y - 2xy
5xy
-（5xy-10y
10y -5x -20
-（-5x +10
10y - 30 = 0

如果xy + 5y – 5也是原方程的因式，则xy + 5y – 5 = 0必是原方程的解：
y（x + 5）= 5
经检验这个方程所有的解不是原方程的解，所以xy + 5y – 5不是原方程的因式。因而（x – 2）（xy – 6）= 0是x2y + 3xy – 5x – 20 = 0符合解条件的唯一分解式。
又由（1.2）式、（1.3）式得：
x = 2
y = 3
只有x = 2不能决定原方程的解，还必有y = 3才能决定原方程的解，也就是由x = 2 与y = 3共同决定原方程的解，称x、y为不定方程的权元。则有
F（x ，y）= x2y + 3xy – 5x – 20 =（x – 2）（xy – 6）= 0
以F表示原不定方程，以F1、F2表示两个约数方程，则“权元不定方程”的一般表达式：
F（x ，y，…，z）= F1（x ，y，…，z）* F2（x ，y，…，z）= 0
F1（x ，y，…，z）= 0
F2（x ，y，…，z）= 0
“权元不定方程”的“约数方程”为原方程的因式，“余约数方程”也是原方程的因式，并且两个约数方程同时成立的解是原方程的组解。
2.“一般方程”约数解法的因式关系
一般方程标准形式：F（x）= a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an = 0。根据高次方程定理：整系数一元n次方程，每一个整数根都是常数项的约数，所以利用约数分析法可以解一些特殊的一元高次方程。
例如：求x3 – 3x2 + x – 3 = 0的整数解。
x3 – 3x2 + x – 3 = 0……………………………………………………………………………（2.1）
x（x2– 3x + 1）= 3 = 1×3，（-1）（-3）
确定符合题义的原方程解，两个“约数方程”及“余约数方程”为
x = 3……………………………………………………………………………………………（2.2）
x2– 3x = 0………………………………………………………………………………………（2.3）
但是，（2.2）式是（2.1）式的因式，（2.3）式却不是（2.1）式的因式。（2.1）式的另一个余因式为：

x2 + 1
x - 3︱ x3 -3x2 + x - 3
-（x3 - 3x2
x -3
-（x -3
0

所以x3 – 3x2 + x – 3 =（x – 3）（x2 + 1）= 0。（2.3）式“余约数方程”的解：
x（x – 3）= 0
其中一个解x – 3 = 0与“约数方程”同解，另一个解x = 0不是原方程的解，为增根。“一般方程”的“约数方程”必为原方程的因式，“余约数方程”不是原方程的因式。
3.“主元不定方程”约数解法的因式关系
确定“主元不定方程”的定义：有多个未知数的不定方程，只一个未知数为主要决定方程的解，其它未知数从属或相当于已知的代数定值，性质是分解的约数方程不均为原方程该条件的确定因式。
例如：求方程x5 – x2 = y2p的质数解。
经过分析y = x，则有
x3 – 1 – p = 0…………………………………………………………………………………（3.1）
因为p是质数，得“约数方程”及“余约数方程”为：
x – 2 = 0………………………………………………………………………………………（3.2）
x2 + x + 1– p = 0………………………………………………………………………………（3.3）
所以x = 2、p = 7。如果按不定方程的因式关系（3.2）式、（3.3）式是（3.1）式的因式，但却不然：

x2 + 2x + 4
x - 2︱ x3 - 1 - p
-（x3 - 2x2
2x2
-（2x2 - 4x
4x-1
-（4x-8
7 - p = 0

由此得x2 – 1 – p =（x – 2）（x2 + 2x + 4）= 0。而（3.3）式
x2 + x + 1 – p = x2 + x – 6 = 0
其中一个根x = 2与（3.2）式同解，另一个根x = - 3是增根。因而余约数方程（3.3）式不是（3.1）式的因式，未知数y从属于x，p是受x有正整数（质数）解所制约的定值。
如果以F表示原不定方程，以F1、F2表示两个约数方程，F0表示原方程F1的余因式，X为主元，则“主元不定方程”的一般表达式：
F（X ，y，…，z）= F1（X ，y，…，z）* F0（X ，y，…，z）= 0
F1（X ，y，…，z）= 0 （是约数方程，为原方程的因式）
F2（X ，y，…，z）= 0 （是余约数方程，非原方程因式）
F0（X ，y，…，z） （是原方程的余因式）
4.费马猜想不定方程约数因式的一般性与特殊性
不定方程zn = xn + yn的特殊性在于其中zn、xn、yn任何一个n次方数对于相互制约的另两个n次方数关系是确定的，根据它方根的唯一性，以“z”为主元便是“z”的方根问题。主元不定方程zn = xn + yn它关于“z”的正整数根，由《“方根（或重根）余约数方程”唯一性定理证明费马猜想》文中的论证，
（查询 WKew/12/43/085B15D5B15D_1230601203.doc）
仅以其中（8）式、（9）式为例：
z - ( x + cn) = 0 …………………………………………………………F1〔原稿（8）式〕
zn-1+ xzn-2 + x2zn-3 + … + xn-2z +（xn-1 – an）= 0………………………F2〔原稿（9）式〕
又因为在实数集里，正实数开任何次方均只有一个正的方根，0开任何次方均等于0，这就决定了正整数开n次方存在两种情形：
一是“非0正整数方根”存在，即对于任何自然数有
zn = xn + yn = rn
二是“0正整数重根”存在，因为两个相等的正整数之差等于0，所以对于任何自然数有
zn -（xn + yn）=（z - r）n = 0
所以必须全面分析方根“z = n= r”与重根“n= z – r = 0”这两种情形。
当方根zn -（xn + yn）= zn – [xn +（ac）n] = zn -（x + cn ）n = 0时的方根因式为：

zn-1 + xzn-2 + … + xn-2z + xn-1
z - x - cn︱z n -xn - ancn
-[zn - xzn-1 - cnzn-1
cnzn-1 + xzn-1 -xn - ancn
-[ xzn-1 - x2zn-2- cnxzn-2
cnzn-1 + cnxzn-2 + x2zn-2 -xn - ancn
-[…
……

cnzn-1 +cnxzn-2 +…+ cnxn-3z2 + xn-2z2 -xn - ancn
-[xn-2z2 - xn-1z - cnxn-2z
cnzn-1 +cnxzn-2+…+cnxn-3z2+cnxn-2z +xn-1z - xn - ancn
-[xn-1z - xn - cnx