2025届中学标准能力诊断高三10月考-数学（含答案）.docx

标准学术能力诊断性测试 2024 年 10 月测试
数学试卷
本试卷共 150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
ì
1
ü
A = íx < 2x < 4ý
4
þ
B = {-2,-1, 0,1, 2}，则 AI B =
（
）
î
1
. 已知集合
，
{
-1, 0,1}
{-2,-1, 0,1, 2}
{0, 1}
{-1, 1}
A
B.
B.
C.
D.
z +1
z -1
=
i
，则| z |=
2
. 若
（
）
1
2
2
2
A.
2
C. 1
D.
D.
r
r
ar + b =
，则
( + )
a
^
a 2b
3
. 已知单位向量 a 和b ，若
（
）
A. 2
B. 1
C.
2
3
4
. 已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（
）
A. 1：2
B. 1：1
C. 3：4
D. 2：3
tana
tan b
1
3
. 已知sin(a + b) =
，
= 2 ，则sin(a - b) =
（
）
5
1
3
1
1
3
1
A. -
B. -
C.
D.
9
9
ì
x
,0 < x £1
2
ï
2
f (x) = í
g(x) = f (x) -
6
. 已知函数
1
2
，则函数
的零点个数为（
）
f (x -1), x >1
x
ï
î
A. 2
B. 0
C. 3
D. 无穷
æ
è
π ö
6 ø
y = sin x
y = sinç3x - ÷
7
. 将
的图象变换为
的图象，下列变换正确的是（
）
1
π
A. 将图象上点的横坐标变为原来的 倍，再将图象向右平移 个单位
3
6
π
B. 将图象上点的横坐标变为原来的 3 倍，再将图象向右平移1 个单位
8
π
1
3
C. 将图象向右平移 个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的
倍
6

π
D. 将图象向右平移 个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的 3 倍
6
f (x)
f (-1+ x) - f (-1- x) = 0
f (1+ x) + f (1- x) = 0
xÎ[-1, 1]
，当
8
. 定义在 R 上的函数
满足：
，且
f (x) = ax - 2
f (x)
时，
，则
的最小值为（
）
A. -6
B. -4
C. -3
D. -2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对但不全得 3 分，有错选的得 0 分．
9
. 从{1, 2,3}中随机取一个数记为 a，从{4, 5, 6}中随机取一个数记为 b，则下列说法正确的是（
）
4
A. 事件“ a + b 为偶数”的概率为
9
7
B. 事件“ab 为偶数”的概率为
9
C. 设 X = a + b ，则 X 的数学期望为
D. 设Y = ab ，则在 Y 的所有可能的取值中最有可能取到的值是 12
ABCD 为正方形，CD = 3CC1 = 3
E(X ) = 6
ABCD - A B C D
B C
上动
1
1
0. 在直棱柱
中，底面
， P 为线段
1
1
1
1
点， E ， F 分别为
A D BC
和
的中点，则下列说法正确的是（
）
1
1
uuur
uuuræ
1 ö
CP = lCB ç0 < l < ÷
A. 若
，则经过 P ， E ， F 三点的直棱柱的截面为四边形
1
è
3
ø
6
B C AC
B. 直线
与
所成角的余弦值为
1
1
1
4
P - A1DC
C. 三棱锥
的体积为定值
1
A1P + BP
D.
的最小值为 7
+ y2 =1相切，并与圆
上动点，则下列说法正确的是（
퐴퐵为直径的圆与l
l
1
x
2
x
2
+ y2 = 25
1
1. 一条动直线 与圆
相交于点 A，B，点 P 为定直线
l2 : x + y -10 = 0
）
l
A. 存在直线 ，使得以
相切
1
2
PA|2 + | PB |2
的最小值为150 20 2
B.
|
-
C. AP× PB 的最大值为 -27 +10 2
PA | + | PB |
|
D.
的最小值为8 3

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
m
æ
1
ö
{ }
- x ÷ 的展开式中存在 x2 项，则由满足条件的所有正整数 m 从小到大排列构成的数列
a
1
2. 若ç
n
è
x x
ø
的通项公式为__________．
x
2
2
y
2
2
a > 0,b > 0
）的右顶点为 F，且 F 是抛物线 : y2 4x 的焦点．过点 F 的
3. 设双曲线C :
-
=1（
G
=
1
a
b
直线 l 与抛物线 G 交于 A，B 两点，满足 AF = 2FB ，若点 A 也在双曲线 C 上，则双曲线 C 的离心率为
_
1
_________．
a
f (x) =| ln a - ln x - 2 | + | -1|
f (x)
的最小值为__________．
4. 已知
，则
x
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(
5. 记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，满足
2
a
2
+
3 b2 21．
+ ) =
c
2
1
3
（
（
1）若b = c ，
cos A = ，求VABC
的面积；
4
AD = x
2）记 BC 边的中点为 D，
，若 A 为钝角，求 x 的取值范围．
1
6. 如图所示，在四棱锥 P - ABCD 中， PA = AC = 2 ， BC =1， AB = 3 ．
AD//
平面
PBC
（
（
1）若 AD ^ 平面 PAB ，证明：
；
6
2）若 PA ^ 底面 ABCD ， AD ^ CD ，二面角
A-CP - D
的正弦值为
，求
AD 的长．
3
x
2
2
y
2
2
1
2
+
=1(a > b > 0) ，C 的下顶点为 B ，左、右焦点分别为
F
1
F
2
1
7. 已知椭圆C :
和
，离心率为
，
a
b
F
2
的直线 与椭圆 相交于
C
l
D
E
两点．若直线 垂直于
l
BF ，则VBDE
8
的周长为 ．
过
，
1
（
（
1）求椭圆C 的方程；
2）若直线l 与坐标轴不垂直，点 E 关于
x
轴的对称点为G
DG
，试判断直线 是否过定点，并说明理
由．

1
8. 已知函数
f (x) = ax + sin x ， xÎ[0,π]．
（
（
（
1）若
2）若
3）若
a = -1，证明： f (x) £ 0；
f (x) £ 0，求 a 的取值范围；
1
a ¹ 0
g(x) = f (x) - ln(x +1)，讨论函数 g(x)
，记
的零点个数．
a
1
9. 乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5 局 3 胜制”和“7 局 4 胜制”，“5 局 3 胜制”指 5 局中胜 3 局
的一方取得胜利，“7 局 4 胜制”指 7 局中胜 4 局的一方取得胜利．
（
1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用 5 局 3 胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为 0.8；若采
(
Î )
场比
m m N*
用 7 局 4 胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为 0.9．已知甲、乙两人共进行了
赛，请根据小概率值a = 0.010 的 K 2 独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响．
（2）若甲、乙两人采用 5 局 3 胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为 p，没有平局．记事件“甲只要取得 3
局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为 A，事件“两人赛满 5 局，甲至少取得 3 局比赛胜利且甲获胜”为
P(A) = P(B)
B，试证明：
．
p( p > 0.5)
2n -1
（
3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是
，没有平局．若采用“赛满
P(n)
2n +1局，胜方至少取得
局，胜方至少取得 n 局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为
．若采用“赛满
n +1局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为 P(n +1) ，试比较 P(n)与 P(n +1) 的大小．
n(ad -bc)2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
K
2
2
=
n = a + b + c + d
附：
，其中
．
(
³ )
P K
k
0
3
.05
0.025
0.010
6.635
0
5
024
k0
.841

标准学术能力诊断性测试 2024 年 10 月测试
数学试卷
本试卷共 150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
ì
1
ü
A = íx < 2x < 4ý
4
þ
B = {-2,-1, 0,1, 2}，则 AI B =
（
）
î
1
. 已知集合
，
{-1, 0,1}
{-2,-1, 0,1, 2}
{0, 1}
{-1, 1}
D.
A.
B.
C.
【
【
【
答案】A
解析】
分析】由指数函数性质确定集合 A ，再由交集定义计算．
ì
1
ü
A = íx < 2x < 4ý ={x | -2 < x < 2} B = {-2,-1, 0,1, 2}，
，又
【
详解】
î
4
þ
所以
AI B = {-1, 0,1}，
故选：A．
z +1
z -1
=
i
，则| z |=
（
2
. 若
）
1
2
2
A.
2
B.
C. 1
D.
2
【
【
答案】C
解析】
z +1
z -1
- -
1- i
1
i
=
=
i
=
【
分析】由
可得 z
，利用复数的除法可得 z，结合共轭复数的概念以及模的计算，即得答
案.
z +1
z -1
z +1= i(z -1)
，
i
【
详解】由
，可得
-1
-i (- - )( + )
1 i 1 i
z =
=
= -i
所以
，
-i
(1-i)(1+ i)
1
故
z = i,| z |=1，
故选：C
. 已知单位向量 a 和b ，若
r
r
ar + b =
，则
( + )
a
^
a 2b
3
（
）

A. 2
B. 1
C.
2
D.
3
【
【
答案】B
解析】
r
r r
r
2
(
) 即可求解.
a b
2
a b
+
=
+
【
分析】由
r
r
r
( + )
r
a
^
a 2b
2
【
详解】因为
， a2 1,b =1，
=
r
r
r
r
( + ) =
a a 2b
×
a
2
+
2a ×b = 0，
所以
r
所以 2a ×b = -1，
r
r r
r
b
r r
2a b 1
，
r
r
2
(
)
2
a b
+
=
a b
+
=
a
2
+
2
+
× =
所以
所以
ar + b =1，
故选：B
. 已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（
4
）
A. 1：2
B. 1：1
C. 3：4
D. 2：3
【
【
【
答案】B
解析】
分析】根据圆柱与球的表面积公式求解即可.
S = 4πR2
球
【
详解】设球的半径为 R ，则
，
由题意，圆柱底面半径、圆柱高均为 R ，
所以圆柱的表面积 S = 2πR2 + 2πR× R = 4πR2 ，
所以圆柱与球的表面积之比为 1：1.
故选：B
tana
tan b
1
3
. 已知sin(a + b) =
，
= 2 ，则sin(a - b) =
（
）
5
1
1
9
1
3
1
A. -
B. -
C.
D.
3
9
【
【
【
答案】D
解析】
分析】根据两角和与差的正弦公式以及同角三角函数的关系求解即可.

tana
tan b
=
2
tana =
b
详解】Q
，即
2 tan
，
【
sina 2 sin b
\
=
，即sina cosb = 2 cosa sin b ，
cosa
cos b
1
Q
\
\
\
sin(a + b) = sina cos b + cosa sin b =
，
3
1
1
9
2
cosa sin
b +
cosa sin
b = ，解得
cosa sin
b =
，
3
2
sina cos
b =
，
9
2
1
1
sin(a - b =
) sin cos b -
a
cosa sin
b = - =
.
9
9
9
故选：D.
ì
x
,0 < x £1
2
ï
2
f (x) = í
g(x) = f (x) -
6
. 已知函数
1
2
，则函数
的零点个数为（
）
f (x -1), x >1
x
ï
î
A. 2
B. 0
C. 3
D. 无穷
【
【
答案】A
解析】
1
n-2
【
分析】根据函数表达式确定函数
f (x) 在 (n -1,n]（ nÎ N*）上是增函数且 f (n) =
，零点个数转
2
2
化为函数
f (x) 与 h(x) =
的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论．
x
ì
x
,0 < x £1
2
ï
f (x) = í
f (x)
(n,n +1]
上的函数值都是区间
(n -1,n]上相应函数
【
详解】由
1
2
，得
在区间
f (x -1), x >1
ï
î
值的一半， nÎ N*，
f (x) £ f (1) = 2
0
又
< x £1时， f (x) = 2x
是增函数，即
，
1
n-2
1
2n-2
f (n) =
xÎ(n -1,n]时， f (x) £ f (n) =
所以
，因此
，
2
2
2
h(x) =
(0,+¥)上是减函数， h(n) =
h(1) = 2 = f (1) ， h(2) = 1 = f (2)
令
，它在
，
，
x
n
2
1
当 n ³ 3时，
h(n) =
>
，
n
2n-2
2
y = f (x) 和 h(x) =
(0,+¥)上图象，如图，由图可知：
作出
在
x
在 x > 2 时，
f (x)
的图象与
h(x)
的图象没有交点，所以在
(0,+¥)上，它们只有两个交点，

g(x)
所以
的零点个数为 2.
故选：A．
æ
è
π ö
6 ø
y = sin x
y = sinç3x - ÷
7
. 将
的图象变换为
的图象，下列变换正确的是（
）
1
π
A. 将图象上点的横坐标变为原来的 倍，再将图象向右平移 个单位
3
6
π
B. 将图象上点的横坐标变为原来的 3 倍，再将图象向右平移1 个单位
8
π
1
3
C. 将图象向右平移 个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的
倍
6
π
D. 将图象向右平移 个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的 3 倍
6
【
【
【
答案】C
解析】
分析】根据三角函数的图象变换进行选择.
æ
è
π ö
6 ø
y = sin x
y = sinç3x - ÷
【
（
详解】由
的图象变换为
的图象，有以下两种思路：
π
æ
π ö
y = sin x
y = sinç x - ÷
1）先将
的图象向右平移 个单位，得
的图象，
6
è
6 ø
1
再把所得函数图象上任一点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，
3
æ
è
π ö
6 ø
y = sinç3x - ÷
得
的图象，故 C 正确，D 错误；
1
y = sin x
的图象上任一点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，
（
得
2）先将
3
π
y = sin 3x
的图象，再把所得函数图象向右平移 个单位，
1
8
æ
è
π ö
18 ø
æ
è
π ö
6 ø
y = sin 3ç x - ÷ = sinç3x - ÷
得
的图象，故 AB 错误.
故选：C

f (x)
f (-1+ x) - f (-1- x) = 0
f (1+ x) + f (1- x) = 0
xÎ[-1, 1]
，当
8
. 定义在 R 上的函数
满足：
，且
f (x) = ax - 2
f (x)
时，
，则
的最小值为（
）
A. -6
B. -4
C. -3
D. -2
【
【
答案】B
解析】
分析】根据题意，由条件可得函数 ( )的周期为 ，然后求得其一个周期的值域，即可得到结果.
f x
f (-1+ x) - f (-1- x) = 0
8
【
【
f (-1+ x) = f (-1- x)
详解】由
可得
，
即 ( )关于
x = -1对称，即 f (x)= f (-2 - x)
，
f x
f (1+ x) + f (1- x) = 0
f (x)关于(1, 0)
对称，
由
可得
)，所以 f (-2 - x)= - f (2 - x)
f x =- f 2- x
即 ( )
(
，
f (t)= - f (4 + t)
，代入可得
-2 - x = t
x = -2 -t
令
，则
，
f x = - f 4 + x)，则 f (x +8)= - f (x + 4)= f (x)
即 ( )
(
，
所以 ( )的周期为 ，
f x
8
由 ( )是定义在 R 上的函数，且
f (x)关于(1, 0)
对称，
f x
可得 f (1)= 0
xÎ[-1,1]时， f (x) = ax - 2
，又当
，
即 f (1)= a - 2 = 0
a = 2
，所以
，
当
xÎ[-1,1]时， f (x)Î[-4, 0]
，
且 ( )关于
x = -1对称，则 xÎ[-3,-1]时， f (x)Î[-4, 0]
，
f x
又 ( )关于
(1, 0)
对称，则
xÎ[1, 5]
时，
f (x)Î[0, 4]，
f x
即 ( )在一个周期内的值域为
[-4, 4]，
f x
f (x)
-4
则
的最小值为
.
故选：B
【
（
点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：
æ
è
a + b c ö
f x + a + f -x + b = c
1）若 (
)
(
)
f (x)
, ÷
，则函数
关于
ç
中心对称；
2
2 ø

a + b
f x + a = f -x + b
2）若 (
)
(
)，则函数
f (x)
x =
关于
（
（
（
对称；
2
f x + a = f x - a)，则函数
3）若 (
)
(
f (x)
的周期为 2a；
f x + a = - f x
4）若 (
)
( )，则函数
f (x)
的周期为 2a.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对但不全得 3 分，有错选的得 0 分．
9. 从{1, 2,3}中随机取一个数记为 a，从{4, 5, 6}中随机取一个数记为 b，则下列说法正确的是（
）
4
A. 事件“ a + b 为偶数”的概率为
9
7
B. 事件“ab 为偶数”的概率为
9
C. 设 X = a + b ，则 X 的数学期望为
E(X ) = 6
D. 设Y = ab ，则在 Y 的所有可能的取值中最有可能取到的值是 12
【
【
答案】ABD
解析】
【分析】确定从{1, 2,3}中随机取一个数，从{4, 5, 6}中随机取一个数的所有可能取法数，根据古典概型的
概率计算可判断 ABD；根据数学期望的计算可判断 C；
【详解】从{1, 2,3}中随机取一个数记为 a，从{4, 5, 6}中随机取一个数记为 b，
共有3´3 = 9
（种）可能；
对于 A，当
a =1,3时，b = 5
时，
a + b a = 2时，b = 4,6
为偶数；当
时，
a + b
为偶数；
4
故共有 4 种可能，则事件“ a + b 为偶数”的概率为 ，A 正确；
9
ab 为偶数；当 a = 2
时，b = 4,5,6时，
ab
对于 B，当
a =1,3时，b = 4,6
时，
为偶数；
7
2
´2 + 3 = 7
（种）可能，故事件“ab 为偶数”的概率为 ，B 正确；
此时共有
9
对于 C， X = a + b 的取值可能为5, 6, 7,8,9
，
1
2
3
2
1
P(X = 5) = , P(X = 6) = , P(X = 7) = , P(X = 8) = , P(X = 9) =
则
故
,
9
1
9
3
9
9
9
2
2
1
E(X ) = 5´ + 6´ + 7´ +8´ + 9´ = 7
，C 错误；
9
9
9
9
9
对于 D，Y = ab 的取值可能为
4,5,6,8,10,12,15,18
，
1
1
1
1
1
9
P(Y = 4) = , P(Y = 5) = , P(Y = 6) = , P(Y = 8) = , P(Y =10) =
，
9
9
9
9

2
1
1
9
P(Y =12) = , P(Y =15) = , P(Y =18) =
，
9
9
故在 Y 的所有可能的取值中最有可能取到的值是 12，D 正确，
故选：ABD
ABCD - A B C D
ABCD 为正方形，CD = 3CC1 = 3
B C
， P 为线段 上动
1
0. 在直棱柱
中，底面
1
1
1
1
1
点， E ， F 分别为
A D BC
和
的中点，则下列说法正确的是（
）
1
1
uuur
uuuræ
1 ö
CP = lCB ç0 < l < ÷
A. 若
，则经过 P ， E ， F 三点的直棱柱的截面为四边形
1
è
3
ø
6
B C AC
B. 直线
与
所成角的余弦值为
1
1
1
4
P - A1DC
C. 三棱锥
的体积为定值
1
A1P + BP
D.
的最小值为 7
【
【
答案】BCD
解析】
B C AC
所成的角，利用等
【
分析】作出经过 P ， E ， F 三点的截面，判断 A 的真假；作出异面直线
与
1
1
1
A DC
腰三角形的性质，求角的余弦，判断 B 的真假；判断点 P 到平面
的距离是否为定值，可判断 C 的
1
1
真假；转化成平面上两点之间线段最短，并求出最小值，可判断 D 的真假.
【详解】对 A：如图：
直线 FP 交直线CC1 于 K ，设CK = kCC
.
1
)= lu
uur l uuur
= l (
因为CP lCB
=
CB + CC1
+
，
2 CF
CK
1
k

l
l
1
3
F, P, K
2l + =1 Þ k =
0 < l <
，所以
0 < k <1.
因为
三点共线，所以
上.
，因为
k
1- 2l
所以点 K 在线段CC
1
设射线 FK 与射线 B C 交于点 M ，连接 EM 交
C D
于点
L
.
1
1
1
1
A A
1
上取点 ，使
I
A I = CK
1
J
AJ = C1L
；在线段 AB 上取点 ，使
在线段
.
F, K, L, E, I, J
E
F
依次连接
误；
，可得经过 P ，
，
三点的直棱柱的截面，可见截面不是四边形，故 A 错
对 B：如图：
AC / /AC
ÐB1CA即为异面直线 B C AC 所成的角，设为θ
因为
，所以
与
.
1
1
1
1
1
6
在△AB1C
中，
B A = B C = 2
， BC
=
6
，故 B 正确；
6 ，所以 cosq =
2
2
1
1
=
4
对 C：易知平面 AC D / / 平面 ACB ， B C Ì 平面 ACB ，所以
B C / /
1
平面
AC D
.
1
1
1
1
1
1
1
PÎ B1C
AC D
P - A1DC
的距离为定值，所以三棱锥 的体积为定值.故 C 正确；
点
，所以 P 到平面
1
1
1
对 D：如图
将△BCB B C
绕
旋转，使
A , B , B,C, D
A B £ A P + BP
共面，则
.
1
1
1
1
1
1

A B
过 B 作 BH 与直线
垂直，垂足为 H .
1
1
3
1
2
在△ BB1C
中，
BB1 =1 BC = 2 ÐB1BC = 90°
，
，
，所以
ÐBB1C = 60° B H =
，
，
BH =
，
1
2
2
æ
ö
2
3
æ ö
1
所以 A B = ç 3 +
÷ + ç ÷ = 7 .故 D 正确.
ç
÷
1
2 ø
è 2 ø
è
故选：BCD
l
x
2
+ y2 =1相切，并与圆
x
2
+ y2 = 25
1
1. 一条动直线 与圆
相交于点 A，B，点 P 为定直线
1
l2 : x + y -10 = 0
上动点，则下列说法正确的是（
퐴퐵为直径的圆与l
）
l
A. 存在直线 ，使得以
相切
1
2
PA|2 + | PB |2
的最小值为150 20 2
B.
|
-
C. AP× PB 的最大值为 -27 +10 2
|
PA | + | PB |
D.
的最小值为8 3
【
【
答案】BCD
解析】
1
分析】对 A，数形结合求出点 M 到直线l
距离的最小值与
AB
比较可判断；对 B，C，根据向量数量
【
2
2
PM ³ 5 2 -1，运算得解判断；对 D，直线l
上点 P 使得
PA + PB
最小等同于求直线
积运算结合
2
x = 5 2 上一点Q ， QA + QB
的最小值问题，设
M (x , y )，퐴(
푥 ,푦 ， 푥 ,푦 ，利用直线对称列式
)
퐵(
)
0
0
1
1
2
2
运算求解.
详解】设线段 AB 的中点为 M ，根据圆的对称性可知点 M 在圆
x
2
+ y2 =1上，
【
1
0
2
=
5 2
则 PA+ PB = 2PM ，坐标原点O 到直线l
的距离为
，
2
由图易知
PM ³ 5 2 -1， AB = 2 52 -1 = 4 6
，
1
对于 A，点 M 到直线l
距离的最小值为5 2 1，且
-
5 2 -1> 2 6 = AB
，
2
2
所以以 AB 为直径的圆与l
相离，故 A 错误；
2
u
uur uuur 1 é uuur uuur
uuur uuur ù
2
2
(
) (
)
PA PB
×
=
PA PB
+
-
PA PB
-
对于 C，
ê
ú
û
ë
4

uuuur
1 uuur
uuuur
1
4
u
(2
)
2
2
2
=
PM
-
BA
=
PM
-
24
，
4
uur uuur
uuuur
2
)2
\
AP PB 24 PM
×
=
-
£
24 -(5 2 1
-
=
10 2 - 27
uuur uuur uuur uuur
，故 C 正确；
u
uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuuur
2
)2
(
2
24)
对于 B，(2 ) (
2
2
2
2
PM
=
PA PB
+
=
PA PB 2PA PB PA PB 2 PM
+
+
×
=
+
+
-
，
u
uur uuur
uuuur
2
2
2
(
)2
\
PA PB 2 PM
+
=
+
48 2 5 2 1
³
-
+
48 150 20 2 ，故 B 正确；
=
-
A, B
x
2
+ y2 = 25
AB = 4 6 ，点O 到直线l 的距离5 2 ，求直线l
对于 D，由于
两点在圆
上，且
上点
2
2
PA + PB
Q
QA + QB
的最小值问题，
P 使得
最小等同于求直线 x 5 2 上一点
=
，
(
)，퐴(푥 ,푦 ， 푥 ,푦 ，点 B 关于直线 x 5 2 对称点为
，
M x , y
)
퐵(
)
=
B
1
设
则
0
0
1
1
2
2
(
)
B 10 2 x , y
-
AB : x x y y 1
+
=
x2
0
+
y2
0
=1，
，直线
，
1
2
2
0
0
ì
x x + y y =1
0
0
y
，消去 整理得
2
0
2
1 xx0
+ ( -
)
2
=
25y2
í
y
x
由
，
x
2
+ y2 = 25
0
î
即(x + )
y
x
-
2x x +1- 25y2
=
0
2
0
2
0
2
x
2
-
2x x +1- 25y2 0，
=
，即
0
0
0
0
\
x + x = 2x
= -
2
0
y + y = 2y
y y =1- 25x
，
2
0
x x 1 25y
，
，同理
，
1
2
0
1
2
1
2
0
1
2
(
)
2
= (
)
2
= (
QA + QB
)
2
\
=
PA + PB
QA + QB
1
2
= é
10 2
-( + )2 ù + ( - )2
AB
x
x
2
y
y
ë
û
1
1
1
2
2
=
=
=
(1
0 2 2x
- ) + ( + )2
y
1
y
-
4y1 y2
0
2
2
(1
- ) +
4 1 25x2
- ( -
)
0 2 2x
4y0
2
0
0
100x0
2
- 40 2x + 200 -1£ x £1
，
，
0
0
)2
4´
100´200
-(-40 2
(
)2 的最小值为
\
PA + PB
=192，
4
´100
PA + PB
所以
故选：BCD.
的最小值为8 3 ，故 D 正确.

【点睛】关键点点睛：本题 D 选项解题的关键是将求直线l
上点 P 使得
2
PA + PB
Q
QA + QB
的最小值问题.
最小值转化为求直线 x 5 2 上一点
=
，
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
m
æ
1
ö
{ }
- x ÷ 的展开式中存在 x2 项，则由满足条件的所有正整数 m 从小到大排列构成的数列
a
1
2. 若ç
n
è
x x
ø
的通项公式为__________．
a =4n
【
【
【
答案】
解析】
n
4
k - 4
m =
m
，再根据 为正整数求出数列 的通项
分析】先根据二项展开中含有 x2 的项满足的条件
{푎 }
푛
3
公式.
m
öm-k
4k-3m
æ
1
ö
æ
1
k
( )k
- x ÷
展开式的通项为Tk+1 = Ck
- x = -1 Ck
( )
x
【
详解】ç
è
ç
÷
2
，
m
m
x x
ø
è
x x
ø
由于展开式中存在 x2 项，
4
k -3m
4k - 4
=
2
m =
，则
令
，
2
3
4(
+ )-
3n 1
4
所以 an =
= 4n .
3
a =4n
n
故答案为：
x
2
2
y
2
a > 0,b > 0
）的右顶点为 F，且 F 是抛物线 : y2 4x 的焦点．过点 F 的
3. 设双曲线C :
-
=1（
G
=
1
a
b
2
直线 l 与抛物线 G 交于 A，B 两点，满足 AF = 2FB ，若点 A 也在双曲线 C 上，则双曲线 C 的离心率为
_
_________．
3
3
3
1
3
3
3
【
【
答案】
解析】
##

【
【
分析】求出直线l 的方程，与抛物线方程联立求出点 A 坐标，再结合已知求出双曲线的离心率.
y
，直线 不垂直于 轴，设其方程为 ，
=
+
G
: y2 = 4x
F(1, 0)
l
x ty 1
详解】抛物线
的焦点
ì
x = ty +1
由 í
x
消去 得：
y
2
- 4ty -