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福建省福州市八县（市、区）一中2023-2024学年高一上学期11月期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．设全集，集合，则（    ）
A． B． C． D．
2．以下选项正确的是（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．设，则“函数的图象经过点”是“函数在上递减”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，则的值域是（    ）
A． B． C． D．
5．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（    ）
A． B． C． D．
6．设函数，命题“存在”是假命题，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
7．已知函数，下列推断正确的个数是（    ）
①函数图像关于轴对称；②函数与的值域相同；
③在上有最大值；④的图像恒在直线的下方．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．下列结论中错误的有（    ）
A．集合的真子集有7个
B．已知命题，则
C．函数与函数表示同一个函数
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
10．已知为正实数，则下列说法正确的是（    ）
A．的最小值为2 B．若则的最大值是2．
C．若则的最小值是8． D．若则的最大值是8．
11．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且在单调递增，则以下结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，则以下结论正确的是（    ）
A．当
B．
C．若在上恒成立，则的最小值为6
D．若关于的方程有三个不同的实数根则．

三、填空题
13．不等式的解集为 ．
14．已知函数，若，则实数的值为 ．
15．若函数是奇函数，且，则 ．
16．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ．

四、解答题
17．设，已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，且，求实数的取值范围．
18．已知函数．
(1)求的值；
(2)用定义证明函数在上为增函数；
(3)若，求实数的取值范围．
19．均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：．
(1)证明不等式：.上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数（无需证明）
(2)若一个直角三角形的直角边分别为，斜边，求直角三角形周长的取值范围．
20．福清的观音埔大桥横跨龙江两岸是福清的标志性建筑之一，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为50千米/小时，当时，车流速度是车流密度的一次函数．当桥上的车流密度达到150辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．
21．已知函数
(1)若的解集是或，求实数的值；
(2)当时，若时函数有解，求的取值范围．
22．设函数的定义域分别为，且Ü．若对于任意，都有，则称为在上的一个延伸函数．给定函数．
(1)若是在给定上的延伸函数，且为奇函数，求的解析式；
(2)设为在上的任意一个延伸函数，且是上的单调函数．
①证明：当时，．
②判断在的单调性（直接给出结论即可）；并证明：都有．

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参考答案
1．A 2．C 3．A 4．A 5．D 6．B 7．D 8．A
9．BCD 10．BC 11．AC 12．AB
13． 14．或3 15． 16．
17．(1)或；
(2).
【详解】（1）当时，，且，则，
所以或；
（2）因为，且，所以需满足，解得，
所以实数的取值范围为.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1），
（2）证明：任取，且,

在上为增函数.
（3）若，则
由（2）知，在上为增函数
，，
则实数的取值范围是.
19．(1)证明见解析，三元形式见解析
(2)
【详解】（1）要证即证，
，
，即当且仅当时等号成立.
三元形式：.
（2），
由（1），
当且仅当取“”，又，，
所以三角形周长的取值范围.
20．(1)
(2)75辆/千米，2812辆/小时．
【详解】（1）由题意：当时，；当时，设
再由已知得，解得
故函数的表达式为．
（2）依题并由（1）可得，
当时，为增函数，，
当时，，
即当时，在区间上取得最大值约为2812，
即当车流密度为75辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为2812辆/小时．
21．(1)1
(2)
【详解】（1）依题意，的解集是或，则，
且是方程的两个根，
所以，解得．
（2）时，在有解，
即在有解，
法一：因为的开口向上，对称轴
①即时，函数取得最小值.
②即时，当取得最小值，此时，
解得或.又.
③当即，当时取得最小值，此时不成立，
即无解.
综上，．
法二：在有解，
当时不成立，
当时，即在有解，，
令，，
当且仅当即取“”，，.
22．(1)
(2)①证明见解析；②单调递增，证明见解析
【详解】（1）依题可知，
当时．则，
，
为奇函数，，
.
（2）①证明：当时，

，
.
②当时且单调递增，
在上单调递增，
，
即，即，
同理可得，
将上述两个不等式相加可得．
原不等式成立.

答案第5页，共5页