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福建省莆田市五校联盟2023-2024学年高二上学期期中数学试题
一、单选题
1．直线的倾斜角是（    ）
A． B． C． D．
2．数列，，，，，的一个通项公式为（     ）
A． B．
C． D．
3．已知等差数列{an}中，，则公差d的值为
A． B．1 C． D．
4．已知等比数列中，，则（    ）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
5．已知直线的一个法向量为，且经过点，则直线的方程为（    ）
A． B．
C． D．
6．已知数列满足，，则（    ）
A．2 B． C． D．2023
7．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ）
A． B．
C． D．
8．已知实数x，y满足方程，则的最大值和最小值分别为（    ）
A．、 B．， C．， D．，

二、多选题
9．设等差数列的前项和为，若，且，则（    ）
A． B． C． D．最大
10．直线的方程为：，则（    ）
A．直线斜率必定存在
B．直线恒过定点
C．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为
D．时直线的倾斜角为
11．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（　　）
A． B． C． D．
12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则（    ）
A． B．
C． D．

三、填空题
13．直线的方向向量坐标可以是 （只需写出一个满足条件的一个向量）
14．点到直线的距离为 .
15．点关于直线：的对称点的坐标为 .
16．若数列的通项公式是，则

四、解答题
17．等差数列中，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最大值.

18．已知直线的方程为.
（1）求过点，且与平行的直线方程；
（2）过点，且与垂直的直线方程.

19．在平面直角坐标系中有曲线.如图，点为曲线上的动点，点.

（1）求线段的中点的轨迹方程；
（2）求三角形的面积最大值，并求出对应点的坐标.

20．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn.若a1=b1=3，a4=b2，S4-T2=12.
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）求数列{an+bn}的前n项和.

21．已知圆C过点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程．

22．已知正项数列的前项和满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．B 2．C 3．C 4．C 5．A 6．A 7．B 8．B
9．ABC 10．BC 11．AD 12．BCD
13．（只需满足即可） 14．
15． 16．3036
17．（1）；（2）6.
【详解】（1）设首项为，公差为.因为，
所以解得，所以.
（2）由（1）可得，所以当2或3时，取得最大值.
.
18．（1）；（2）.
【详解】（1）设与平行的直线方程为：，
代入得：，
过点，且与平行的直线方程为.
（2）设与垂直的直线方程为：，
代入得：，
过点，且与垂直的直线方程为：.
19．（1）；（2）三角形的面积最大值为，此时点的坐标为.
【详解】（1）设线段的中点为，设点，则，
由中点坐标公式可得，可得，
由于点在曲线上，则，即，
整理可得，
因此，线段的中点的轨迹方程为；
（2）由于点在曲线上，当点为曲线与轴的交点时，
的面积取最大值，此时点的坐标为.
20．（1）an=2n+1，bn=3n；（2）.
【详解】（1）由a1=b1，a4=b2，则S4-T2=(a1+a2+a3+a4)-(b1+b2)=a2+a3=12，
设等差数列{an}的公差为d，则a2+a3=2a1+3d=6+3d=12，所以d=2.
所以an=3+2(n-1)=2n+1，
设等比数列{bn}的公比为q，由题意知b2=a4=9，即b2=b1q=3q=9，
所以q=3，所以bn=3n.
（2）an+bn=(2n+1)+3n，
所以{an+bn}的前n项和为(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=(3+5+…+2n+1)+(3+32+…+3n)
= .
21．(1)
(2)
【详解】（1）由，得直线AB的斜率为，线段中点
所以，直线CD的方程为，即，
联立，解得，即，
所以半径，
所以圆C的方程为；
（2）由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心，
设点M关于直线的对称点，
则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上，
则有，解得，所以，
所以直线CN即为直线，且，
直线方程为，即.

22．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，.
当时，，…①，，…②
①②得：，
即：.
，
是以为首项，以为公差的等差数列，
；
（2）由（1）可知，则
，…①
两边同乘得：，…②
①②得：
，
.

答案第3页，共4页