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江西省九江第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若，则（    ）
A． B．
C． D．
2．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（    ）
A．－3 B．－4
C．3 D．4
3．已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（    ）
A． B． C． D．
4．在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线 与所成的角大小等于（ ）
A．60° B．45° C．30° D．90°
5．圆的圆心在抛物线上，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题：
① 若，，则   ②若，，则
③若，，则    ④若，，则，其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．椭圆：的左、右焦点分别为，，若与抛物线的焦点重合，椭圆与过点的幂函数的图像交于点，且幂函数在点处的切线过点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知平面向量满足，，，，则与夹角的最小值为（ ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下面结论中正确的是（    ）

A．点到平面的距离为定值
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与直线所成的角为定值
D．直线与平面所成线面角为定值
10．过双曲线的右焦点作直线与该双曲线交于、两点，则（ ）
A．存在四条直线，使
B．存在直线，使弦的中点为
C．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为
D．若，都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是
11．给出下列命题正确的是（ ）．
A．直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平行
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．点到直线的的最大距离为
D．已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
12．某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为C的左､右焦点且，A为C上一动点，直线.说法中正确的有（    ）
A．椭圆C的“蒙日圆”的面积为
B．对直线l上任意点P，都有
C．椭圆C的标准方程为
D．椭圆C的“蒙日圆”的两条弦都与椭圆C相切，则面积的最大值为6

三、填空题
13．若，则 ．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，若点为椭圆上一点，则 的最大值为 .
15．已知分别为双曲线的左右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆半径为的内切圆半径为．若，则
16．如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为 ；过靠近点的三等分点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是

四、解答题
17．在中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积．
18．已知圆的圆心在直线上，且经过点和．
(1)求圆的标准方程；
(2)若自点发出的光线经过轴反射后，其反射光线所在的直线与圆相切，求反射光线所在直线的方程．
19．如图，在四棱锥中，面，，，，，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足．

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
20．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为，且点到焦点的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交抛物线于点，求面积的最小值（其中为坐标原点）.
21．已知是等边三角形，点满足，，将△AMN沿MN折起到的位置，使．

(1)求证：平面MBCN；
(2)在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
22．已知为圆：上任一点，，，，且满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线与轨迹相交于,两点，是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.

试卷第5页，共5页

参考答案：
1．B
2．A
3．C
4．A
5．B
6．B
7．B
8．D
9．ABC
10．ACD
11．CD
12．AC
13．
15．
16．
17．(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解；
（2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
又，所以，
又，所以，故，所以.
（2）由余弦定理得，所以，
故．
18．(1)
(2)或

【分析】（1）由已知设圆心，根据，可解得与半径，即可得圆的方程；
（2）求点关于轴的对称点，可知直线过点，设直线方程，利用圆心到直线的距离为半径，列方程，可得直线方程.
【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，
设，
由可得，解得，
可知圆心，半径，
所以圆的标准方程为；
（2）取点关于轴的对称点，
可知直线过点，且与圆相切，
若直线的斜率不存在，则，
此时圆心到直线的距离，不合题意；
所以直线的斜率存在，设为，则，即，
则圆心到直线的距离，整理得，
解得或，
所以直线的方程为或.
19．(1)证明见解析；
(2)

【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，可得，进而得证；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）取的中点，连接，又因为是的中点，
所以且
因为且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
则，设，
故，
因为，
所以，解得，
所以，则，
因为轴垂直平面，
则可取平面得一条法向量为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

20．(1)
(2)

【分析】（1）借助抛物线的定义即可求解；
（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，再用韦达定理表示面积，借助基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意知，准线方程：，
由抛物线定义可知：点到焦点的距离即为点到准线的距离，
所以  ， 解得.
所以.
（2）由（1） 知， 抛物线，直线过，
可设直线的方程为，，不妨设，
联立消得，
所以，，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴面积最小值为.

21．(1)证明见解析；
(2)存在，或

【分析】（1）先通过勾股定理证明，再由线面垂直判定定理证明即可；
（2）先通过两两垂直构建空间直角坐标系，分别求出两个面的法向量，再由二面角的夹角的平面角求出参数即可.
【详解】（1）设△ABC是边长为6，
因为点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且，，
所以，
所以，
所以，所以，即且，
因为，所以，
因为，且平面，平面
所以平面；
（2）由（1）可知两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
，
则，
所以，
因为，，
因为平面平面，所以平面的法向量为，
假设线段BC上存在点D，设，，
则，
所以，即
所以,
设平面的法向量为，则
，
令，则，所以，
因为平面与平面所成夹角的余弦值为
所以，
化简得，解得或，
当时， ；当时，，
所以在线段BC上是存在点，使平面与平面所成锐二面角的余弦值为，此时或.
22．(1)
(2)存在，R的坐标为

【分析】（1）由可得，根据向量的加法以及数量积运算可，从而得到，结合椭圆的定义即可求出其轨迹方程.
（2）当过点的直线平行于轴时和垂直于轴时，求得，当不平行于轴时且不垂直于轴时，联立方程，利用韦达定理和点关于轴的对称点，结合，求得三点共线，从而满足，即可判断存在点不同的定点.
【详解】（1）圆：，圆心，半径为，因为，则，
因为，，则在线段上，即，
又因为，所以，即，
所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆方程为，则，，则，，
所以，则动点的轨迹的方程为.

（2）设过点的直线为，
当平行于轴时，直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，
则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；
当垂直于轴时，直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，则有，即，解得或，
所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为，
当不平行于轴时且不垂直于轴时，设直线方程为，，
联立，得，
因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立， ，
又因为点关于轴的对称点的坐标为，
又，，
则，
所以，则三点共线，所以，
综上，存在与点不同的定点，使恒成立，且.

答案第7页，共8页