5.甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题.docx

甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（    ）
A． B． C． D．
2．已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（    ）
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4
3．已知5对成对样本数据成线性关系，样本相关系数为，去掉1对数据后，剩下的4对成对样本数据成线性关系，样本相关系数为，则（    ）
A． B．
C． D．的大小无法确定
4．假设有两个分类变量与，它们的可能取值分别为和，其列联表为：

10
18

26
则当取下面何值时，与的关系最弱（    ）
A．8 B．9
C．14 D．19
5．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ）
A． B．
C． D．
6．已知为随机试验的样本空间，事件满足，则（    ）
A． B． C． D．
7．在长方体中，分别是为和的中点，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（    ）
A． B．6 C． D．
8．乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.已知某次乒乓球比赛单局赛制为：每两球交换发球权，每赢1球得1分，先得11分者获胜.当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜.若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为.某局打成平后，甲先发球，则“两人又打了4个球且甲获胜”的概率为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．无人机在农业领域的应用对提高农业生产效率，促进农业产业的发展有着极为重要的意义．某地统计了该地近5年的农业无人机保有量，其中用了两种记录方式：
年份代码
1
2
3
4
5
无人机数量（架）
490
510
550
570
580
无人机数量（百架）
4.9
5.1
5.5
5.7
5.8
根据上表中的数据，可得关于的经验回归方程为，则（   ）
A．与的样本相关系数
B．
C．预测第6年该地农业无人机的保有量约为612架
D．关于的经验回归方程为
10．已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列说法正确的是（    ）

-2
1
3

0.25

A． B．
C． D．
11．如图，为正方体，边长为1，下列说法正确的是（    ）

A．平面 B．到面的距离为
C．异面直线与的距离为 D．异面直线与的夹角为

三、填空题
12．随机变量，，若，则 .
13．已知离散型随机变量X服从二项分布，且，，则的最小值为 ．
14．已知且，设是空间中个不同的点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上，表示点间的距离，记集合.若四面体满足：平面，且，则 .

四、解答题
15．某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有1分､2分､3分､4分､5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示.
评分
款式
1分
2分
3分
4分
5分
基础版
基础版1
2
2
3
1
0
基础版2
4
4
5
3
1
豪华版
豪华版1
1
3
5
4
1
豪华版2
0
0
3
5
3
(1)求这四款车得分的平均数；
(2)约定当得分不小于4时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下列联表，取显著性水平，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由.
款式
性能
基础版
豪华版
合计
一般

优秀

合计

附：.
16．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.

(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
17．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.

2017.5
80.4
1.5
40703145.0
1621254.2
27.7
1226.8
其中，.
(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率；
(2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2､0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A､B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题：
（i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；
（ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地的概率.（保留3位小数）
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
参考数据：，，.
18．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值.
19．某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图：

(1)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望；
(2)以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取且名学生，求证：当时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大.

试卷第5页，共6页

参考答案：
1．A 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．C 8．B
9．BC 10．ACD 11．ABC
12．/ 13． 14．
15．(1)3
(2)列联表见解析，能，理由见解析
【详解】（1）解：由题意，这四款车得分的平均数为
，
所以这四款车得分的平均数为3.
（2）假设：汽车的性能与款式无关.
由题意，列联表如下：
款式
性能
基础版
豪华版
合计
一般
20
12
32
优秀
5
13
18
合计
25
25
50
则，
所以能在犯错误概率不超过0.05的前提下认为汽车的性能与款式有关.
16．(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）平面平面，
平面平面，
平面平面，
则以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
.
，
设平面的法向量为，则，
令，解得：，
又，即，
又平面平面；
（2）假设在线段上存在点，使二面角的大小为.
设，则.
设平面的一个法向量为，
则，
令，解得：，
又平面的一个法向量为，
，
即，解得：或（舍去），
此时，
在线段上存在点，使二面角的平面角的大小为，
此时.

17．(1)适宜，，
(2)（i）0.778；（ii）
【详解】（1）由散点图判断适宜作为该机场飞往地航班放行准点率关于年份数的经验回归方程类型.
令，先建立关于的线性回归方程，
由于，
，
该机场飞往地航班放行准点率关于的线性回归方程为，
因此关于年份数的回归方程为，
所以当时，该机场飞往地航班放行准点率y的预报值为
，
所以2023年该机场飞往地航班放行准点率的预报值为.
（2）设“该航班飞往地”，“该航班飞往地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”，
则，，，
，，.
（i）由全概率公式得，

，
所以该航班准点放行的概率为.
（ii）该航班飞往地的概率为
，
即若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地的概率约为.
18．(1)；
(2)递减区间是，递增区间是；
(3)3.
【详解】（1）函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程是.
（2）函数的定义域是，，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（3），，
令，求导得，
由（2）知，在上单调递增，，，
因此存在唯一，使得，即，
当时，，即，当时，，即，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，则，
所以整数的最大值是3.
19．(1)分布列见解析，
(2)证明见解析
【详解】（1）因为体育活动时间位于和的频率分别为0.28和0.2，
所以抽取的12名学生中位于的有人，
位于的有人，
所以随机变量所有可能取值为，且服从超几何分布，
故，
，
所以的分布列为：

0
1
2
3

所以.
（2）由频率分布直方图可知，每天的运动时间不低于40分钟的频率为：
.
设“抽取的名学生中每天的运动时间不低于40分钟的人数”为，则，
，
设，
则当“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大时，
有，
即，
化简得，解得，
因为且，所以时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大.

答案第5页，共5页