江西省新余市2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷.docx

江西省新余市2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．集合，集合，则（    ）
A． B．
C． D．
2．已知，那么是的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的零点所在的区间为（    ）
A． B． C． D．
4．若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
5．已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
6．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)

A． B． C． D．
7．今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（ ）（参考数据:）
A．年 B．年 C．年 D．年
8．对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．已知一组样本数据，，…，均为正数且互不相等．若由生成一组新的数据，，…，，则这组新数据与原数据可能相等的是（    ）
A．中位数 B．极差 C．平均数 D．标准差
10．下列说法正确的是（    ）
A．数据的分位数是23.5
B．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是
C．函数的定义域为，则的定义域为
D．若，则的值为1
11．伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛郑一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果，设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（    ）．
A．若，则与不互斥 B．若，则与不相互独立
C．若，则与相互独立 D．若，则与互斥
12．设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（    ）
A． B．当时，的取值范围为
C．为奇函数 D．方程仅有6个不同实数解

三、填空题
13．已知函数，则等于 .
14．若函数，函数与函数互为反函数，则的单调减区间是 ．
15．已知，则的最小值为 ．
16．设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是 ．

四、解答题
17．已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若是的必要条件，求实数的取值范围．
18．某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图.

(1)请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数；
(2)样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率.
19．已知函数的图象经过点．
(1)求的值，判断的单调性并说明理由；
(2)若存在，不等式成立，求实数的取值范围．
20．国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第x天的指导价为每件（元），且满足，第天的日交易量（万件）的部分数据如下表：
第x天
1
2
5
10
Q(x)（万件）
14.01
12
10.8
10.38
(1)给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数. 请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式；
(2)若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的.
21．已知函数是奇函数．
(1)求的值和函数在区间上的值域；
(2)若不等式对于任意的上恒成立，求实数的取值范围．
22．已知R.
(1)当时，解不等式；
(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.
(3)若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；

试卷第5页，共5页

参考答案：
1．D
2．A
3．C
4．C
5．B
6．B
7．B
8．A
9．AC
10．ABD
11．ABC
12．BC
13．6
14．
15．
16．
17．(1)
(2)

【分析】（1）代入值，再根据并集和补集的运算即可；
（2）由题意得，分和讨论即可.
【详解】（1）当时，集合，所以或，

.
（2）由已知，，
因为是的必要条件，于是得，
①当时，，解得；
②当时，由得，解得：,
综上所述，.
18．(1)中位数为，平均数为；
(2).

【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再求出中位数和平均数即得.
（2）求出在内抽的人数，再利用列举法结合古典概型概率公式求解即得.
【详解】（1）由频率分布直方图知，解得
语文成绩在的
频率依次为，
显然语文成绩的中位数落在，则，
解得，所以语文成绩的中位数为；
语文成绩的平均数为.
（2）语文成绩在区间内的人数比为，
因此5名学生中分数在的学生应抽4名，记为，在的学生应抽1名，记为，
则所有抽取情况有，共10种，
恰有一人成绩在有，共4种，
所以这5名学生中随机选出2人，恰有一人成绩在中的概率为.
19．(1)；是上的单调递增函数，理由见解析；
(2),

【分析】（1）由函数经过点求的值，得到的解析式，用定义法证明函数的单调性；
（2）根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为在,上有解，利用参数分离法结合基本不等式可求出实数的取值范围．
【详解】（1）函数经过点，
所以，解得，即，
，
则是上的单调递增函数，理由如下：
任取、x2∈R，且，则，
则，
所以，即，
所以是定义域上的单调递增函数．
（2）因为，
故是奇函数且在上单调递增，
则不等式等价于，
所以，即，
即存在,不等式有解，
即在,上有解，
由,，可得，
由对勾函数性质易知：在单调递减，在单调递增，
且，故在的最大值为，
所以，即
所以，
即实数的取值范围是,．
20．(1)选择模型②，
(2)，4

【分析】（1）根据数据的变化得到选择模型②，并选择中间两组数据，待定系数法求出，检验后得到答案；
（2）求出的解析式，分和两种情况，结合函数单调性求出最小值，比较后得到结论.
【详解】（1）由给出数据可知：随着自变量增大，函数值在变小，同时函数模型①是递增的指数型函数，
又模型②为递减的反比型函数，故选择模型②，
观察表格中的4组数据，
从数据简洁并且易于计算的角度，理应选择中间两组数据，
即，解得，
可以检验相对合理，
从而；
（2）由（1）可得 ，
当时，由基本不等式得，
当且仅当时取到最小值，
当时，，
由单调性的性质可得在上单调递减，
故在时，有最小值，最小值为万元，
又，
综上所述，当时取得最小值.
21．(1)；
(2)

【分析】（1）由奇函数代特值求出，再利用复合函数单调性求值域；
（2）先化简，再分离参数结合基本不等式求出函数最值可得解.
【详解】（1）由得，
所以定义域为，
由是奇函数，则，
即，解得.
所以经检验满足.
令，易知在单调递减，则
故，所以函数在区间上的值域为.
（2），其中，
所以，即，所以，
令，
则恒成立，
因为，当且仅当即等号成立，
所以，所以
22．(1)；
(2)；
(3)0或.

【分析】（1）根据对数的计算法则解不等式即可；
（2）求出f(x)的单调性，再求出f(x)在区间上的最大值与最小值之差，问题转为为该差值小于或等于1对恒成立，根据二次函数单调性求最值即可求解；
（3）分类讨论解方程即可.
【详解】（1）当时，，
，
∴不等式解集为；
（2）∵y＝在u＞0时单调递增，u＝在x＞0时单调递减，
∴在上单调递减，
∴函数在区间上的最大值与最小值的差为，
因此，
即对任意恒成立，
∵，∴，∴在上单调递增，
∴，
因此；
（3），
①当时，仅有一解，满足题意；
②当时，则，
若时，解为，满足题意；
若时，解为，
此时
即有两个满足原方程的的根，∴不满足题意；
综上，或.

答案第7页，共7页