中考数学——二次函数的应用(含4种解题技巧))(含答案).docx

第三章 函数
第14讲 二次函数的应用
（思维导图+考点+11种题型（含4种解题技巧））

1
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
04题型精研·考向洞悉
►题型01 最大利润问题
►题型02 方案选择问题
►题型03 行程问题
►题型04 拱桥问题
►题型05 隧道通车问题
►题型06 喷水问题
►题型07 投球问题
►题型08 利用图像构建函数模型解决问题
►题型09 图形最大面积问题
►题型10 图形问题
►题型11 图形运动问题

01考情透视·目标导航
中考考点
考查频率
新课标要求
二次函数的实际应用-图形面积问题
★★
通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；
能解决相应的实际问题.
二次函数的实际应用-利润最值问题
★★
二次函数的实际应用-其他问题
★★
【考情分析】二次函数的实际应用多以解答题形式出现，难度中等，考查类型包括销售问题，拱桥、投篮等抛物线型问题. 一般需要根据题目条件列出二次函数关系式，再利用其性质确定最大利润/最大面积等.

02知识导图·思维引航

03考点突破·考法探究
1. 用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1）审：仔细审题，理清题意；
2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题；
5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
2. 利用二次函数解决实际问题的常见类型
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题.
04题型精研·考向洞悉
►题型01 最大利润问题
利用二次函数解决利润最值的方法：利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题.
1．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元
…
12
14
16
18
20
…
销售量y/盒
…
56
52
48
44
40
…
(1)求y与x的函数表达式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
2．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
3．（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有A、B两种客房、其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天营业额为7200元；若A、B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．
(1)求A、B两种客房每间定价分别是多少元？
(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？
4．（2023·辽宁营口·中考真题）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．
(1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
►题型02 方案选择问题
5．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景
背景1
◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．
◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件．
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
背景2
每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
②“正”服装：48元/件；
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理
现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：
服装种类
加工人数（人）
每人每天加工量（件）
平均每件获利（元）
风
y
2
24
雅
x
1

正

1
48

探究任务
任务1
探寻变量关系
求x、y之间的数量关系．
任务2
建立数学模型
设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3
拟定加工方案
制定使每天总利润最大的加工方案．

6．（2022·湖南湘潭·中考真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：

(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
7．（2024·浙江宁波·模拟预测）请阅读信息，并解决问题：
优化产品分配方案
素材1
某工厂每月生产800件产品，每件产品成本100元．这个工厂将这800件产品分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道一起销售，每月都能售完．
素材2
线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：y=−18x+230．
素材3
优秀方案
月总利润≥46000元
（销售利润=销售收入−成本）
良好方案
44000元<月总利润<46000元
合格方案
40000元<月总利润≤44000元

任务1
①线下直营店的月销售量为m件．
若0<m≤400，则这m件产品的销售利润为________元．
若400<m≤800，则这m件产品的销售利润为________元．
②线上旗舰店的月销售量为n件，则这n件产品的销售利润为________元．
任务2
①若平均分配给两个渠道销售，求这800件产品的销售总利润．
②请设计一种与①不同的分配方案，并判断方案类型．（设计优秀方案得3分，良好方案得2分，合格方案得1分．）

8．（2024·湖北宜昌·模拟预测）某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
(1)求该商品原来的进价；
(2)在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润为2000元，且销售量尽可能大时，该商品的售价是多少元/件？
(3)在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．
方案A：每件商品涨价不超过5元；
方案B：每件商品的利润至少为16元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
►题型03 行程问题
9．（2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程sm与时间ts的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为s=kt2k≠0；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程sm与时间ts的函数表达式为s=kt−702+ℎk≠0．

(1)求出启航阶段sm关于ts的函数表达式（写出自变量的取值范围），
(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s．
①当t=90s时，求出此时龙舟划行的总路程，
②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，t≤85.20s视为达标，请说明该龙舟队能否达标；
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．
10．（2024·广西南宁·三模）根据物理学知识可知，物体匀加（减）速运动时的路程=平均速度v×时间t．v=v0+vt2，其中v0是开始时的速度，vt是t秒时的速度．如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s．

(1)直接写出钢球在斜面滚动t秒时的速度vt．
(2)求钢球在斜面滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式．
(3)如果斜面的长是3m，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？
(4)在（3）的条件下，钢球从斜面顶端滚到底端后，继续在水平地面上滚动，速度每秒减少0.5m/s，求钢球静止时在水平地面上滚动的路程．
11．（2024·广西柳州·三模）每年的12月2日为“全国交通安全日”，考虑将数字“122”作为我国道路交通事故报警电话，不仅群众对此认知度高，而且方便记忆和宣传，遇车减速是行车安全常识，公路上正在行驶的甲车发现前方10m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数（如图1）和一次函数（如图2）表示．

(1)直接写出s关于t的函数表达式和v关于t的函数表达式．（不要求写出t的取值范围）
(2)当甲车减速至10m/s时，它行驶的路程是多少？
(3)若乙车以12m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
12．（2024·浙江嘉兴·一模）汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离ym与刹车时间的速度xm/s有以下关系式：y=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）．某车辆测试结果如下：当车速为10m/s时，刹车距离y为3m；当车速为15m/s，刹车距离y为7.5m．
(1)求出a，b的值；
(2)行车记录仪记录了该车行驶一段路程的过程，汽车在刹车前匀速行驶了20s，然后刹车直至停下．测得刹车距离为5m，问：记录仪中汽车行驶路程为多少米？
►题型04 拱桥问题
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题.
13．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF'为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100m，AO=BC=17m，缆索L1的最低点P到FF'的距离PD=2m（桥塔的粗细忽略不计）
(1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索L2上，EF⊥FF'，且EF=2.6m，FO<OD，求FO的长．
14．（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON'=8m，拱高P'E'=6m其中，点N'在x轴上，P'E'⊥O'N'，O'E'=E'N'．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上，现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'=3m时，S2=122m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：

(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．
15．（2024·贵州黔南·模拟预测）贵州都匀是一座以河为伴、山水交融的“山水桥城”，大大小小的桥梁随处可见，被誉为“桥梁博物馆”．都匀市某石拱桥如图1，拱桥截面可视为抛物线的一部分，若拱顶到水面的距离为2m，水面宽度为4m，以水面与桥截面左侧的交点为原点，水面为横轴建立平面直角坐标系（如图2）．

(1)求桥拱所在抛物线的函数解析式．
(2)若水位下降1m，有一只宽为2m，高为2.4m的清洁船能否顺利通过该石拱桥？请说明理由．
(3)某相关部门要对石拱桥进行维护，为了安全，现将一块三角形形状的安全围布△CDE通过平移后遮住桥体（如图3）．已知C9,0，CD=7m，且tan∠ECD=43，tan∠CDE=1．若安全围布△CDE向桥拱所在抛物线方向平移a个单位长度后，桥体全部在安全围布△CDE内部（不包括边界），求a的取值范围．
16．（2024九年级上·全国·专题练习）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中AB，CD为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体AB的水平距离为2米，且点P离地面的高度为3.75米．

数学建模
(1)在图1中，以B为原点，水平直线BC为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为y（米），该处离墙体AB的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式；
问题解决
(2)为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段AE，FG组成，其中点E，F在顶棚抛物线形骨架上，FG⊥AE于点G．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为1.5米．
①点E的坐标为______，AE的长为______；
②请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到0.1米．参考数据：17≈4.12）
►题型05 隧道通车问题
17．（2024·陕西西安·模拟预测）如图①，是某高速公路正在修建的隧道．图②是其中一个隧道截面示意图，由矩形OACB和抛物线的一部分CDB构成，矩形OACB的边OA=12m，AC=2m，抛物线的最高点D离地面8m．

(1)以点O为原点、OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．求抛物线的表达式；
(2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移1m所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为 m2；
(3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于13m的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度．
18．（2024·湖北荆州·二模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度OM为16米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．

(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A，D在抛物线上．点B，C在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
19．（2024·河南平顶山·三模）小明发现有一处隧道的截面由抛物线的一部分和矩形构成，他对此展开研究：测得矩形的宽为OC=2m，长为OA=8m，最高处点P到地面的距离PQ为6m，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 y=ax−ℎ²+k，其中ym表示抛物线上任一点到地面OA的高度，xm表示抛物线上任一点到隧道一边OC的距离．

(1)求抛物线的解析式．
(2)为了保障货车在道路上的通行能力及行车安全，根据我国交通运输部的相关规定，普通货车的宽度应在2m−2.55m之间，高度应在3.8m−4.2m之间，小明发现隧道为单行道，一货车EFGH沿隧道中线行驶，宽FG为2.4m，货车的最高处与隧道上部的竖直距离DE约为1.3m，通过计算，判断这辆货车的高度是否符合规定．
20．（2024·河南周口·二模）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，其中长方形的长OA=12m，宽OB=4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=−16x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为172m．为安全起见，隧道正中间有宽为0.4m的隔离带．

(1)求b，c的值，并计算出拱顶D到地面OA的距离．
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
21．（2023·广东深圳·模拟预测）按要求解答
(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高OM=10.8米．建立如图所示的直角坐标系．
①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示）
②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米．
③已知人行道台阶CE，DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？说明理由．
+
►题型06 喷水问题
22．（2023·山东·中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置OA的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点M处，另一端与路面的垂直高度NC为1.8米，且与喷泉水流的水平距离ND为0.3米．点C到水池外壁的水平距离CE=0.6米，求步行通道的宽OE．（结果精确到0.1米）参考数据：2≈1.41

23．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为ℎ（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．

(1)若ℎ=1.5，EF=0.5m；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；
(2)若EF=1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出ℎ的最小值．
24．（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=ax−ℎ2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．

(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
25．（2024·广西南宁·三模）美丽邕城四季常青，这与南宁市重视城市绿化密不可分，市区很多公园广场都安装有绿地喷淋系统．现准备在某草坪上安装一个自动喷水装置，其示意图如图1，喷水装置喷射出来的水流可以近似的看成抛物线，点A、M在抛物线上，A为出水口，M为水流与地面的交点．如图2，若水流距离地面的高度y（单位m）与水流距离出水口的水平距离x（单位m）之间具有函数关系：y=13x−12+34．

(1)自动喷水装置喷水口距离地面的高度OA=_____m；
(2)如图1，该自动喷水装置能旋转240°，它的喷灌区域是一个扇形，求它能喷灌的草坪面积（结果保留π）；
(3)如图3，若喷水口正后方1米处有一条人行步道l，为行人安全，水流不能喷溅到步道上，请通过计算说明喷水装置安装位置是否合理？
26．（2024·湖北武汉·二模）某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径CD=8m，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为32m处达到最高258m．

(1)求图1中右边抛物线的解析式；
(2)计划在图1中的线段OD上的点B处竖立一座雕像，雕像高BE=98m，若想雕像不碰到水柱，请求出线段OB的取值范围；
(3)圆形水池的直径为12m，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线y=2512x上，当喷出的抛物线水柱最大高度为254m时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由．
►题型07 投球问题
27．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点A3,32处．小球在空中所经过的路线是抛物线y=−x2+bx的一部分．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线最高点的坐标；
(3)斜坡上点B处有一棵树，点B是OA的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．
28．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数y=ax2+bxa<0刻画，斜坡可以用一次函数y=14x刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
x
0
1
2
m
4
5
6
7
…
y
0
72
6
152
8
152
n
72
…
(1)①m=______，n=______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系y=−5t2+vt．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
29．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
30．（2023·河南·中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，CA=2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度ym与水平距离xm近似满足一次函数关系y=−0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度ym与水平距离xm近似满足二次函数关系y=ax−12+3.2．

(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
31．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点A0,2处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为4,3.6，落在x轴上的点C处．

(1)求抛物线的解析式；
(2)某市男子实心球的得分标准如表：
得分
100
95
90
85
80
76
70
66
60
50
40
30
20
10
掷远（米）
12.4
11.2
9.6
9.1
8.4
7.8
7.0
6.5
5.3
5.0
4.6
4.2
3.6
3.0
请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；
(3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由．
32．（2024·贵州贵阳·一模）小明和小亮参加了一次篮球比赛，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球在O点正上方1.8m的点 P处出手，篮球的高度ym与水平距离xm之间满足函数表达式y=−18x2+x+c．

(1)求c的值；
(2)求篮球在运动过程中离地面的最大高度；
(3)小明传球给小亮，小亮手举过头顶在对方球员后方接球，已知小亮跳起后，手离地面的最大高度为BC=2.8m，则球在下落过程中，若小亮要想顺利接住球，求他至少距离小明多远的距离．
►题型08 利用图像构建函数模型解决问题
33．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75 cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．

乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：
水平距离x/cm
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度y/cm
28.75
33
45
49
45
33
0
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点x,y，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；

(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________cm；
②求满足条件的抛物线解析式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．
34．（2024·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表：
滑行时间ts
0
1
2
3
4
滑行速度ym/s
60
57
54
51
48
已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：m/s）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离=平均速度v×时间t，v=v0+vt2，其中v0是初始速度，vt是t秒时的速度．

(1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围；
(2)求飞机滑行的最远距离；
(3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了450m，求此时飞机的滑行速度；
(4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方300m有一辆通勤车正以54km/h的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？
35．（2024·贵州黔东南·二模）据统计，每年因汽车追尾而造成的交通事故占交通事故总数的70%以上．注意车速，保持车距是行车安全中必须遵守的．某公路上正在行驶的甲车，发现前方道路有一辆乙车并开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系如表所示．
时间t（单位：s）
0
1
2
3
4
…
行驶的路程s（单位：m）
0
15
28
n
48
…

(1)根据所得数据中甲车行驶的路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的变化规律，利用初中所学函数知识求出s与t之间的函数关系式，并写出n的值；
(2)若乙车因事故抛锚在距甲车50米处，甲车是否会追尾抛锚的车辆？试说明理由；
(3)乙车以4m/s的速度匀速行驶，若要避免发生追尾事故，甲车至少在距离乙车多少米处开始刹车？
36．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．
生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离
背景
现代社会汽车大量增加，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车．驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段时间，这段时间叫反应时间，在这段时间里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离．
素材1
《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格：
车速x（千米/时）
30
60

90
反应距离s（米）
2.5
5

7.5
注意：1千米/时=518米/秒
（1）已知反应时间=反应距离（米）车速（米/秒），则驾驶员正常的反应时间为 秒．
素材2
制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关．下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表：
刹车时车速x（千米/时）
0
5
10
15
20
25
30
刹车距离y（米）
0
0.1
0.3
0.6
1
1.6
2.1

素材3
相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里．
任务1
（2）请根据素材2回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图1），以所测得数据刹车时车速x为横坐标，刹车距离y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式；

任务2
（3）请根据素材2和3相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32.5米，请推测汽车是否超速行驶；
任务3
（4）请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的C点时与轿车的距离s=4.6米（见图2）．测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线CE前停车（见图3），汽车刹车前的最大速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离）

37．（2024·贵州·模拟预测）数学建模社团的同学们想要研究植物园某圆形草坪自动浇水装置的喷洒范围，他们发现：自动浇水装置竖直立于草坪中心处，且喷出的水流的最上层呈抛物线形，此时草坪边缘处恰好能喷洒到水．他们将水流最上层各点到浇水装置的水平距离记为xm，到地面的竖直高度记为ym，得到部分数据如下：
x/m
0
0.5
1
1.5
2
…
y/m
1
1.15
1.2
1.5
1
…
根据以上数据，完成下列问题．
(1)测量数据中，哪一组是错误的？
A．0,1B．0.5，1.15C．1，1.2
D．1.5，1.5E．2，1
(2)以草坪的中心为原点，浇水装置所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
①以表格中的各组数据为坐标的点已在图中标出，请将错误数据对应的点改正过来重新在图上标出，并用平滑的曲线画出函数图象；

②求图象所在抛物线的函数表达式．
(3)经调查，该自动浇水装置的推力不变（抛物线的形状不变），喷水口可以从现有位置向上移动，移动范围是m≤0.6m．若植物园计划在圆形草坪外围种一圈宽度相等的花卉，请对花卉的宽度提出合理建议．
38．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设置“绿波带”？
素材1：某市为新路段设置“绿波带”，车辆驶入绿波带后，若以一定速度行驶，到达下个路口时会遇到绿灯，可节约能源．如图，A，B两路口停车线之间距离为900米，两个交通信号灯的绿灯持续时间均为a秒，A处绿灯亮起53秒后B处绿灯第一次亮起．

素材2：第1辆车的车头与停车线平齐，后面相邻两车的车头相距5米，绿灯亮起时第一辆车立即启动，后面每一辆车在