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单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,山西建筑职业技术学院,数学教研室,应用数学基础,1/48,第一章 函数与极限,第一节 函数,第二节 反函数与初等函数,第三节 极限定义,第四节 无穷小量与无穷大量,第五节 极限运算,第六节 函数连续性与间断点,第七节 初等函数连续性 闭区间上连续函数性质,2/48,第一节 函数,区间、邻域,函数概念,函数几个特征,单调性,奇偶性,周期性,有界性,3/48,区间,定义：区间是用得较多一类数集，它是介于某两个实数之间全体实数。这两个实数又称为区间端点，比如：设,a,、,b,都是实数，且,a,b,数集,x,a,x,0,),；y=x,2,(,x,任意）,12/48,确定反函数步骤,：,（1）从,函数,y=f(x),中解出,x,，得到,x=g(y),（2）交换变量,x,与,y，,得到反函数为,y=g(x),例3 求函数,反函数,例2 求以下函数反函数,（1）(2),二、基本初等函数（略）,13/48,三、复合函数,引例 某汽车每公里耗油量为0.2公升/公里，速度为60公里/小时，求耗油量与时间关系。,注意,：,（1）,u=g(x),值域与,y=f(u),定义域交集要非空，这是两个函数能够复合前提条件。称为外函数，,u=g(x),为内函数。（2）复合函数定义域有时与内函数定义域相同，有时是其一部分。,定义 设,y,是,u,函数,y=f(u),，,u,是,x,函数,u=g(x),，且,g(x),函数值全体或部分在,f(u),定义域内，那么,y,也是,x,函数，记作,y=,f,g(,x),。称这个函数为由,y=f(u),，,u=g(x),复合而成函数。其中,u,是中间变量。,14/48,复合函数分解,标准：由整体到局部，由外层到内层，逐层分解。,四、初等函数,定义：由基本初等函数及常数经过有限次四则运算及有限次复合步骤组成，而且能够用一个式子表示函数，称为初等函数。,例10,y=,cos,2,x+,ln,5x,例11,y,=ln(arctan(5+,x,)-3,x,2,15/48,五、建立函数关系式举例,例12 有一个底半径为，高为圆锥形量杯，为了在它侧面刻上表示容积刻度，需要找出溶液容积与其对应高度之间函数关系，试写出表示式，并指明定义域。,例14,建筑一个容积为8000m,3,，深为6m长方体蓄水池，池壁每平方米造价为15元，池底每平方米造价为30元，把总造价,y,（元）表示为水池长,x,(m)函数，并求出函数定义域。,建立函数关系式普通步骤：（1）区分问题中变量与常量，并给出变量表示字母（2）画出简图或依据详细问题包括到学科知识建立变量之间关系式。（3）尽可能确定函数定义域。,例13 已知水渠横断面为等腰梯形，倾斜角,=40，如图,ABCD,叫做过水断面（即垂直于水流断面），,L,=,AB+BC+CD,叫做水渠温周，当过水断面面积为定值时S0时，求湿周,L,与水渠深,h,之间函数关系式，并指明定义域。,16/48,第三节 极限定义,一、数列极限定义,二、函数极限定义,17/48,一 数列极限定义,（一）问题引入,例1 1，1，1，1，,例2 1，-1，1，-1，1，-1，1，-1,例3 战国时期庄子天下篇：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”,例4 1，2，3，,n,，,例5,（二）数列极限描述定义,定义1：当n无限增大时，一个数列无限靠近于某一个常数a，则称此数列以a为极限，或称此数列收敛于a。记作：,18/48,（三）数列极限严格定义,x,n,与,a,距离用绝对值来刻划,n,无限增大用,N,以后全部项来描述,假如数列没有极限,则称该数列是发散.,19/48,20/48,(技巧:不等式放大),(四)数列极限几何意义,21/48,二 函数极限,（一）问题引入,22/48,（二）函数极限定义,函数极限是研究在自变量某一改变过程中函数改变趋势。依据自变量改变过程，可分以下两种情形：,1）当,x,时，函数极限,描述定义：假如|,x,|无限增大时，函数,f(x),总能与某常数,A,无限靠近，则称常数,A,是,x,趋于无穷时，函数,f(x),极限.,准确定义：设函数,y=f(x),，若对任意给定正数,0,，总存在正数X，当,|x|X,时，恒有,|f(x)-A|0,，总存在正数X，当,|x|X,时，函数,f(x),图形位于直线,y=A,和,y=A+,所夹横条区域内。,类似可定义：,三者关系：,23/48,2）,xx,0,时，函数,f(x),极限,三者关系：函数,f(x),当,x,x,0,时极限存在充分必要条件是,f(x),在,x,0,点左极限，右极限分别存在且相等。,定义1：设函数,y=f(x),在,x,0,某个邻域内有定义，假如对于任意给定正数,（不论它多么小），总存在正数,，使得当0|,x,-,x,0,|,时，总有|,f(x)-A,|,恒成立，则称常数,A,为函数,y=f(x),在,x,x,0,时极限，记为 或,定义2：，只需把 0|,x,-,x,0,|,改为,定义3：，只需把 0|,x,-,x,0,|,改为,(左极限）,(右极限）,24/48,例1：求 当,x,0时左、右极限，并说明当,x,0时极限是否存在,例2：讨论函数 当,x,1，,x,2时极限是否存在,25/48,第四节 无穷小量与无穷大量,一、无穷小量,二、无穷大量,三、无穷小性质,四、无穷小与无穷大关系,五、无穷小比较,26/48,第四节 无穷小量与无穷大量,一、无穷小量,定义：假如函数,f(x),当,x,x,0,（或,x,)时极限为零，则称函数,f(x),为,x,x,0（或,x,)时无穷小量，简称为无穷小。即,注,：（1）,无穷小量是一个变量，并非常数。常函数中只有,y,=0能够看作无穷小量。,（2）说一个变量是无穷小，必须指明自变量改变趋势。,27/48,二、无穷大量,定义：假如当,x,x,0,（或,x,)时函数,f(x),绝对值无限增大,，则称函数,f(x),为,x,x,0,（或,x,)时无穷大量，简称为无穷大。可记为 或,注,：（1）,无穷大量是一个变量，不能把绝对值很大数与无穷大混为一谈。,（2）说一个变量是无穷大，必须指明自变量改变趋势。,（3）在自变量某种改变趋势下，假如f(x)取值无限增大，,绝对值无限增大，,则可称函数为正无穷大；若f(x)取值无限减小，,绝对值无限增大，,则可称函数为负无穷大。分别记为,28/48,三、无穷小性质,在自变量同一改变过程中，无穷小含有以下性质,（1）有限个无穷小代数和为无穷小,（2）有限个无穷小乘积是无穷小。,（3）有界函数与无穷小乘积为无穷小。,注：假如将性质中有限个无穷小换为无限个无穷小，则结论不一定成立。如,函数极限与无穷小关系,定理：在自变量同一改变过程,x,x,0,（或,x,)中，含有极限函数等于它极限与一个无穷小之和；反之，假如函数能够表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这个函数极限。,关于性质（）应用,29/48,四、无穷大与无穷小关系,在自变量同一改变过程中，假如,f(x),为无穷大，则,为无穷小。反之,f(x),假如为无穷小，且不为零则 为无穷大。,如若,f(x),5,是,x,3,时无穷小，则 ；反,之，则,f(x),5一定,是,x,3,时无穷小,30/48,等价无穷小可替换定理,三、渐近线,五、无穷小阶比较,31/48,第五节 极限运算,一、四则运算法则,二、两个主要极限,32/48,一、四则运算法则,设lim,f,(,x,)=,A,，lim,g,(,x,)=,B,，则,(1)lim,f,(,x,),g,(,x,)=,lim,f,(,x,),lim,g,(,x,)=,A,B,(2)lim,f,(,x,),g,(,x,)=,lim,f,(,x,),lim,g,(,x,)=,A,B,(3),33/48,求以下极限：,例,解：,例 2,解：,例 3,解：,例 4,解：,34/48,例 5,解：,例 6,解：,例 7,例 8,例 9,已知 ，求,a,值,解：,，,即 所以,35/48,小结：求极限惯用方法,四则运算法则,无穷小量性质,分子分母同除以最高次幂,分解因式，约去奇异因子,有理化,一个公式：,36/48,二、两个主要极限,37/48,第六节 函数连续性与间断点,一、函数改变量二、函数连续性三、函数间断点,38/48,一、函数改变量,变量改变量：,变量,t,从它初值,t,1,变到它终值,t,2,，终值与初值之差,t,2,-,t,1,称为变量,t,改变量，记作,t,=,t,2,-,t,1,t,可正可负。,函数改变量：,对于函数,y,=,f,(,x,)，当自变量,x,从,x,0,变到,x,0,+,x,(自变量改变量为,x,),必定引发,y,有对应增量，我们把它记作,y,y=f,(,x,0,+x,),-f,(,x,0,)。,例1：当正方形边长,x,产生一个改变量,x,时，问面积,y,改变多少？,39/48,二、函数连续性,A,1、函数在一点 连续性,函数在一点连续需满足,三个条件：,（1）函数在,x,0,处有定义（2）函数在,x,0,处有极限,（3）极限值等于该点函数值。,定义1：,定义2：,40/48,例2：设函数,f,(,x,)在,x=-,1处不,连续,解：,f,(,x,)在,x=,2处,连续,41/48,三、间断点分类,第一类：左右极限都存在间断点,可去间断点：极限存在，但不等于函数值。,跳跃间断点：左右极限不相等。,第二类：不是第一类间断点,无穷间断点,振荡间断点,2、函数在区间上连续性,定义：,假如函数在区间上每一点都连续，则称函数在该区间上连续。它图形是一条连续不间断曲线。,42/48,例 题 选 讲,43/48,第七节 初等函数连续性闭区间上连续函数性质,一、初等函数连续性二、闭区间上连续函数性质,44/48,一、初等函数连续性,由连续函数和、差、积、商（不为零）组成函数仍连续,由复合函数组成函数仍连续,一个函数在某区间上单值、单调且连续，则它反函数在对应区间上也单值、单调且连续,结论：初等函数在其定义区间内均连续。,45/48,应用之一：求极限,例1：,应用之二：确定函数连续性及间断点,例2：求函数 间断点、连续区间，并指明间断点类型。,46/48,二、闭区间上连续函数性质,闭区间上连续函数在该区间内一定存在最大值与最小值。,（若函数,y,=,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续，则它在该区间上有界）,若,y,=,f,(,x,)在闭区间上连续，则它在区间,a,b,内能取得介于最大值与最小值之间任何数。,（若,f,(,x,)在,a,b,上连续，且,f,(,a,),f,(,b,)0，则最少存在一点c,使,f,(,c,)=0,例3：证实方程,x,3,-3,x,2,-9,x,+1-0在区间(0,1)内有唯一实根。,47/48,小结与思索,极限是数学中一个主要概念，其它主要概念，比如连续、导数、定积分都是用极限定义，能够说没有极限就没有高等数学严格结构。,极限思想是一个处理问题有效方法，在这一方法使用过程中，充分表达了从有限到无限，从近似到准确，从量变到质变辩证关系，是从改变观点出发研究问题，从改变中认识处理问题典范。,连续是函数一个主要性态，连续函数含有许多优良性质，比如闭区间上连续函数一定有界，一定存在最大值与最小值，连续函数一定可积等，它是反应现实问题一个最常见，最简单函数。,48/48,
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