山西建筑职业技术学院数学教研室市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,山西建筑职业技术学院,数学教研室,应用数学基础,1/48,第一章 函数与极限,第一节 函数,第二节 反函数与初等函数,第三节 极限定义,第四节 无穷小量与无穷大量,第五节 极限运算,第六节 函数连续性与间断点,第七节 初等函数连续性 闭区间上连续函数性质,2/48,第一节 函数,区间、邻域,函数概念,函数几个特征,单调性,奇偶性,周期性,有界性,3/48,区间,定义：区间是用得较多一类数集，它是介于某两个实数之间全体实数。这两个实数又称为区间端点，比如：设,a,、,b,都是实数，且,a,b,数集,x,a,x,0,),；y=x,2,(,x,任意）,12/48,确定反函数步骤,：,（1）从,函数,y=f(x),中解出,x,，得到,x=g(y),（2）交换变量,x,与,y，,得到反函数为,y=g(x),例3 求函数,反函数,例2 求以下函数反函数,（1）(2),二、基本初等函数（略）,13/48,三、复合函数,引例 某汽车每公里耗油量为0.2公升/公里，速度为60公里/小时，求耗油量与时间关系。,注意,：,（1）,u=g(x),值域与,y=f(u),定义域交集要非空，这是两个函数能够复合前提条件。称为外函数，,u=g(x),为内函数。（2）复合函数定义域有时与内函数定义域相同，有时是其一部分。,定义 设,y,是,u,函数,y=f(u),，,u,是,x,函数,u=g(x),，且,g(x),函数值全体或部分在,f(u),定义域内，那么,y,也是,x,函数，记作,y=,f,g(,x),。称这个函数为由,y=f(u),，,u=g(x),复合而成函数。其中,u,是中间变量。,14/48,复合函数分解,标准：由整体到局部，由外层到内层，逐层分解。,四、初等函数,定义：由基本初等函数及常数经过有限次四则运算及有限次复合步骤组成，而且能够用一个式子表示函数，称为初等函数。,例10,y=,cos,2,x+,ln,5x,例11,y,=ln(arctan(5+,x,)-3,x,2,15/48,五、建立函数关系式举例,例12 有一个底半径为，高为圆锥形量杯，为了在它侧面刻上表示容积刻度，需要找出溶液容积与其对应高度之间函数关系，试写出表示式，并指明定义域。,例14,建筑一个容积为8000m,3,，深为6m长方体蓄水池，池壁每平方米造价为15元，池底每平方米造价为30元，把总造价,y,（元）表示为水池长,x,(m)函数，并求出函数定义域。,建立函数关系式普通步骤：（1）区分问题中变量与常量，并给出变量表示字母（2）画出简图或依据详细问题包括到学科知识建立变量之间关系式。（3尽可能确定函数定义域。,例13 已知水渠横断面为等腰梯形，倾斜角,=40，如图,ABCD,叫做过水断面（即垂直于水流断面），,L,=,AB+BC+CD,叫做水渠温周，当过水断面面积为定值时S0时，求湿周,L,与水渠深,h,之间函数关系式，并指明定义域。,16/48,第三节 极限定义,一、数列极限定义,二、函数极限定义,17/48,一 数列极限定义,（一）问题引入,例1 1，1，1，1，,例2 1，-1，1，-1，1，-1，1，-1,例3 战国时期庄子天下篇：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”,例4 1，2，3，,n,，,例5,（二）数列极限描述定义,定义1：当n无限增大时，一个数列无限靠近于某一个常数a，则称此数列以a为极限，或称此数列收敛于a。记作：,18/48,（三）数列极限严格定义,x,n,与,a,距离用绝对值来刻划,n,无限增大用,N,以后全部项来描述,假如数列没有极限,则称该数列是发散.,19/48,20/48,(技巧:不等式放大),(四)数列极限几何意义,21/48,二 函数极限,（一）问题引入,22/48,（二）函数极限定义,函数极限是研究在自变量某一改变过程中函数改变趋势。依据自变量改变过程，可分以下两种情形：,1）当,x,时，函数极限,描述定义：假如|,x,|无限增大时，函数,f(x),总能与某常数,A,无限靠近，则称常数,A,是,x,趋于无穷时，函数,f(x)极限.,准确定义：设函数,y=f(x),，若对任意给定正数,0,，总存在正数X，当,|x|X,时，恒有,|f(x)-A|0,，总存在正数X，当,|x|X,时，函数,f(x),图形位于直线,y=A,和,y=A+,所夹横条区域内。,类似可定义：,三者关系：,23/48,2）,xx,0,时，函数,f(x),极限,三者关系：函数,f(x),当,x,x,0,时极限存在充分必要条件是,f(x),在,x,0,点左极限，右极限分别存在且相等。,定义1：设函数,y=f(x),在,x,0,某个邻域内有定义，假如对于任意给定正数,（不论它多么小），总存在正数,，使得当0|,x,-,x,0,|,时，总有|,f(x)A,|,恒成立，则称常数,A,为函数,y=f(x),在,x,x,0,时极限，记为 或,定义2：，只需把 0|,x,-,x,0,|,改为,定义3：，只需把 0|,x,-,x,0,|,改为,(左极限）,(右极限）,24/48,例1：求 当,x,0时左、右极限，并说明当,x,0时极限是否存在,例2：讨论函数 当,x,1，,x,2时极限是否存在,25/48,第四节 无穷小量与无穷大量,一、无穷小量,二、无穷大量,三、无穷小性质,四、无穷小与无穷大关系,五、无穷小比较,26/48,第四节 无穷小量与无穷大量,一、无穷小量,定义：假如函数,f(x),当,x,x,0,（或,x,)时极限为零，则称函数,f(x),为,x,x,0（或,x,)时无穷小量，简称为无穷小。即,注,：（1）,无穷小量是一个变量，并非常数。常函数中只有,y,=0能够看作无穷小量。,（2）说一个变量是无穷小，必须指明自变量改变趋势。,27/48,二、无穷大量,定义：假如当,x,x,0,（或,x,)时函数,f(x),绝对值无限增大,，则称函数,f(x),为,x,x,0,（或,x,)时无穷大量，简称为无穷大。可记为 或,注,：（1）,无穷大量是一个变量，不能把绝对值很大数与无穷大混为一谈。,（2）说一个变量是无穷大，必须指明自变量改变趋势。,（3）在自变量某种改变趋势下，假如f(x)取值无限增大，,绝对值无限增大，,则可称函数为正无穷大；若f(x)取值无限减小，,绝对值无限增大，,则可称函数为负无穷大。分别记为,28/48,三、无穷小性质,在自变量同一改变过程中，无穷小含有以下性质,（1）有限个无穷小代数和为无穷小,（2）有限个无穷小乘积是无穷小。,（3）有界函数与无穷小乘积为无穷小。,注：假如将性质中有限个无穷小换为无限个无穷小，则结论不一定成立。如,函数极限与无穷小关系,定理：在自变量同一改变过程,x,x,0,（或,x,)中，含有极限函数等于它极限与一个无穷小之和；反之，假如函数能够表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这个函数极限。,关于性质（）应用,29/48,四、无穷大与无穷小关系,在自变量同一改变过程中，假如,f(x),为无穷大，则,为无穷小。反之,f(x),假如为无穷小，且不为零则 为无穷大。,如若,f(x),5,是,x,3,时无穷小，则 ；反,之，则,f(x),5一定,是,x,3,时无穷小,30/48,等价无穷小可替换定理,三、渐近线,五、无穷小阶比较,31/48,第五节 极限运算,一、四则运算法则,二、两个主要极限,32/48,一、四则运算法则,设lim,f,(,x,)=,A,，lim,g,(,x,)=,B,，则,(1)lim,f,(,x,),g,(,x,)=,lim,f,(,x,),lim,g,(,x,)=,A,B,(2)lim,f,(,x,),g,(,x,)=,lim,f,(,x,),lim,g,(,x,)=,A,B,(3),33/48,求以下极限：,例,解：,例 2,解：,例 3,解：,例 4,解：,34/48,例 5,解：,例 6,解：,例 7,例 8,例 9,已知 ，求,a,值,解：,，,即 所以,35/48,小结：求极限惯用方法,四则运算法则,无穷小量性质,分子分母同除以最高次幂,分解因式，约去奇异因子,有理化,一个公式：,36/48,二、两个主要极限,37/48,第六节 函数连续性与间断点,一、函数改变量二、函数连续性三、函数间断点,38/48,一、函数改变量,变量改变量：,变量,t,从它初值,t,1,变到它终值,t,2,，终值与初值之差,t,2,-,t,1,称为变量,t,改变量，记作,t,=,t,2,-,t,1,t,可正可负。,函数改变量：,对于函数,y,=,f,(,x,)，当自变量,x,从,x,0,变到,x,0,+,x,(自变量改变量为,x,),必定引发,y,有对应增量，我们把它记作,y,y=f,(,x,0,+x,),-f,(,x,0,)。,例1：当正方形边长,x,产生一个改变量,x,时，问面积,y,改变多少？,39/48,二、函数连续性,A,1、函数在一点 连续性,函数在一点连续需满足,三个条件：,（1）函数在,x,0,处有定义（2）函数在,x,0,处有极限,（3）极限值等于该点函数值。,定义1：,定义2：,40/48,例2：设函数,f,(,x,)在,x=-,1处不,连续,解：,f,(,x,)在,x=,2处,连续,41/48,三、间断点分类,第一类：左右极限都存在间断点,可去间断点：极限存在，但不等于函数值。,跳跃间断点：左右极限不相等。,第二类：不是第一类间断点,无穷间断点,振荡间断点,2、函数在区间上连续性,定义：,假如函数在区间上每一点都连续，则称函数在该区间上连续。它图形是一条连续不间断曲线。,42/48,例 题 选 讲,43/48,第七节 初等函数连续性闭区间上连续函数性质,一、初等函数连续性二、闭区间上连续函数性质,44/48,一、初等函数连续性,由连续函数和、差、积、商（不为零）组成函数仍连续,由复合函数组成函数仍连续,一个函数在某区间上单值、单调且连续，则它反函数在对应区间上也单值、单调且连续,结论：初等函数在其定义区间内均连续。,45/48,应用之一：求极限,例1：,应用之二：确定函数连续性及间断点,例2：求函数 间断点、连续区间，并指明间断点类型。,46/48,二、闭区间上连续函数性质,闭区间上连续函数在该区间内一定存在最大值与最小值。,（若函数,y,=,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续，则它在该区间上有界）,若,y,=,f,(,x,)在闭区间上连续，则它在区间,a,b,内能取得介于最大值与最小值之间任何数。,（若,f,(,x,)在,a,b,上连续，且,f,(,a,),f,(,b,)0，则最少存在一点c,使,f,(,c,)=0,例3：证实方程,x,3,-3,x,2,-9,x,+1-0在区间(0,1)内有唯一实根。,47/48,小结与思索,极限是数学中一个主要概念，其它主要概念，比如连续、导数、定积分都是用极限定义，能够说没有极限就没有高等数学严格结构。,极限思想是一个处理问题有效方法，在这一方法使用过程中，充分表达了从有限到无限，从近似到准确，从量变到质变辩证关系，是从改变观点出发研究问题，从改变中认识处理问题典范。,连续是函数一个主要性态，连续函数含有许多优良性质，比如闭区间上连续函数一定有界，一定存在最大值与最小值，连续函数一定可积等，它是反应现实问题一个最常见，最简单函数。,48/48,