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第十一章 三角形
一、知识框架：
二、知识概念：
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接
2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.
注意：已知两边可得第三边的取值范围是：两边之差<第三边<两边之和
3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.
注意：①三角形的三条高是线段；②画三角形的高时，只需要三角形一个顶点向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点和垂足的线段就是该边上的高．
4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.
注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点，交点叫重心．
②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．
5.角平分线：三角形的一个内角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
注意：①三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法和角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．
6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.
7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.
9.多边形的外角：多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.
12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用
多边形覆盖平面，
13.公式和性质：
⑴三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°
直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.
⑵三角形外角的性质：
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 三角形的一个外角和和之相邻的内角互补.
过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．
⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°
⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.
⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形.②边形共有条对角线.
例题精选
1.(2015·郴州中考)以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A.1 ，2 ，4 B.4 ，6 ，8
C.5 ，6 ，12 D.2 ，3 ，5
2.(2015·恩施中考)如图，∥，直线交于点E，交于点F，平分∠，交于点G，∠1=50°，则∠2等于 ( )
A.50° B.60°
C.65° D.90°
3.(2015·来宾中考)如图，在△中，已知∠80°，
∠60°，∥，那么∠的大小是 ( )
A.40° B.60°
C.120° D.140°
4.(2015·南平中考)正多边形的一个外角等于30°，则这个多边形的内角和为 ( )
A.720 B.1260 C.1800 D.2340
5.(2015·来宾中考)如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是 ( )
A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形
6.(2015·遂宁中考)若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形有 条对角线.
2．下列说法错误的是( )．
A．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点
B．钝角三角形有两条高线在三角形外部
C．直角三角形只有一条高线
D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线
3．如果多边形的内角和是外角和的k倍，那么这个多边形的边数是( )．
A．k B．2k＋1
C．2k＋2 D．2k－2
4．四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是( )．
A．四边形的边长 B．四边形的周长
C．四边形的某些角的大小 D．四边形的内角和
5．如图，在△中，D，E分别为上两点，且＝＝，则图中面积相等的三角形有( )对．
A．4 B．5
C．6 D．7
6．在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C，②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，③∠A＝90°－∠B，④∠A＝∠B－∠C中，能确定△是直角三角形的条件有( )．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7.如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形为( )．
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．以上都不对
8．如图，把△纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，∠A和∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( )．
A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2
C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2(∠1＋∠2)
9．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角之间的关系是( )．
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．互余
10．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有．
11．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：－b＋－－b－＝.
12．等腰三角形的周长为20 ，一边长为6 ，则底边长为．
13．如图，∠和∠是△的两个外角，若∠A＝70°，则∠＋∠＝.
14．四边形的外角之比为1∶2∶3∶4，那么∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝.
15．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，那么这个多边形是边形．
16．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝.
17．如图，点D，B，C在同一直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝.
18．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米．
19．一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，这个正多边形是几边形？
20．如图所示，直线和相交于点O，∥，∠＝95°，∠B＝50°，求∠A和∠D.
21．如图，经测量，B处在A处的南偏西57°的方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东82°方向，求∠C的度数．
22．如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪(图中阴影部分)．
(1)图①中草坪的面积为；
(2)图②中草坪的面积为；
(3)图③中草坪的面积为；
(4)如果多边形的边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为．
7．如图，是△的中线，是△的中线，是△的中线，若S△＝2，则S△等于( )
A．16 B．14 C．12 D．10
9．如图，四边形中，点M，N分别在，上，将△沿翻折，得△，若∥，∥，则∠D的度数为( )
A．115° B．105° C．95° D．85°
10．如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系是( )
A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3
C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3
14．若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，则第三边长为．
24．(1)如图，一个直角三角板放置在△上，恰好三角板的两条直角边，分别经过点B，C，△中，若∠A＝30°，则∠＋∠＝，∠＋∠＝；
(2)若改变直角三角板的位置，但三角板的两条直角边，仍然分别经过B，C，那么∠＋∠的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出∠＋∠的大小．
25．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图①，若∥，点P在，外部，则有∠B＝∠，又因为∠是△的外角，故∠＝∠＋∠D.得∠＝∠B－∠D.将点P移到，内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠，∠B，∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
(2)在如图②中，将直线绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线于点Q，如图③，则∠，∠B，∠D，∠之间有何数量关系？(不需证明)；
(3)根据(2)的结论求如图④中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
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