资源描述
2017年广东省梅州市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．已知集合M={x|（x+2）（x﹣2）＞0}，N={﹣3，﹣2，2，3，4}，则M∩N=（ ）
A．{3，4} B．{﹣3，3，4} C．{﹣2，3，4} D．{﹣3，﹣2，2，3，4}
2．若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（ ）
A． B．﹣i C．i D．4
3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n D．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β
4．已知命题p：∀x∈R，2x+＞2，命题q：∃x∈[0，]，使sinx+cosx=，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．￢p∧￢q B．￢p∧q C．p∧￢q D．p∧q
5．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从这6名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a=（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
8．若向量，的夹角为，且||=2，||=1，则与+2的夹角为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数f（x）=cos（2x+）﹣cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论
①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；
②函数f（x）图象的一条对称轴是x=
③函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）
④函数f（x）的递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
则正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=ex，则有（ ）
A．f（2）＜f（3）＜g（0） B．g（0）＜f（3）＜f（2） C．f（2）＜g（0）＜f（3） D．g（0）＜f（2）＜f（3）
11．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A．4 B．8 C． D．
12．函数f（x）的定义域为实数R，f（x）=对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰好有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A= ．
14．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为 ．
15．设l1为曲线f（x）=ex+x（e为自然对数的底数）的切线，直线l2的方程为2x﹣y+3=0，且l1∥l2，则直线l1与l2的距离为 ．
16．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为 ．
三、解答题
17．（12分）设数列{an}的前项与为Sn，且Sn=，{bn}为等差数列，
且a1=b1，a2（b2﹣b1）=a1．
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项与Tn．
18．（12分）如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求此多面体的全面积．
19．（12分）中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：
井号I
1
2
3
4
5
6
坐标（x，y）（km）
（2，30）
（4，40）
（5，60）
（6，50）
（8，70）
（1，y）
钻探深度（km）
2
4
5
6
8
10
出油量（L）
40
70
110
90
160
205
（Ⅰ）1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；
（Ⅱ）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的，的值（，精确到0.01）与（I）中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式与计算结果：
=，=﹣，=94，=945）
（Ⅲ）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望．
20．（12分）已知动圆C过点F（1，0），且与直线x=﹣1相切．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；并求当圆C的面积最小时的圆C1的方程；
（Ⅱ）设动圆圆心C的轨迹曲线E，直线y=x+b与圆C1与曲线E交于四个不同点，从左到右依次为A，B，C，D，且B，D是直线与曲线E的交点，若直线BF，DF的倾斜角互补，求|AB|+|CD|的值．
21．（12分）已知函数f（x）=alnx+2a，g（x）=x+（其中a为常数，a∈R）．
（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，是否存在实数a，使得对于任意x1、x2∈[1，e]时，不等式f（x1）﹣g（x2）＞0恒成立？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）
四、选修题
22．（10分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；
（Ⅱ）A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．
五、选修题
23．（10分）设函数f（x）=|x+|+|x﹣2m|（m＞0）．
（Ⅰ）求证：f（x）≥8恒成立；
（Ⅱ）求使得不等式f（1）＞10成立的实数m的取值范围．
2017年广东省梅州市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解+析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．已知集合M={x|（x+2）（x﹣2）＞0}，N={﹣3，﹣2，2，3，4}，则M∩N=（ ）
A．{3，4} B．{﹣3，3，4} C．{﹣2，3，4} D．{﹣3，﹣2，2，3，4}
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】求出M中不等式的解集，确定出M，求出M与N的交集即可．
【解答】解：集合M={x|（x+2）（x﹣2）＞0}=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
∵N=N={﹣3，﹣2，2，3，4}，
∴M∩N={﹣3，3，4}，
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（ ）
A． B．﹣i C．i D．4
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】数系的扩充与复数．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、虚部的定义即可得出．．
【解答】解：∵|4+3i|==5．
∴（3﹣4i）z=|4+3i|，
化为===，
则z的虚部为．
故选：A
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、虚部的定义，属于基础题．
3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n D．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】综合题；运动思想；分析法；空间位置关系与距离；简易逻辑．
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一核对四个命题得答案．
【解答】解：对于A，如图，m∥α，α∩β=n，此时m，n异面，故A错误；
对于B，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故B错误；
对于C，若n⊥β，α⊥β，则n∥α或n⊂α，又m⊥α，∴则m⊥n，故C正确；
对于D，若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m可能与β相交，也可能与β平行，也可能在β内，故D错误．
∴正确的选项为C．
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间直线与直线、直线与平面位置关系的判断，是中档题．
4．已知命题p：∀x∈R，2x+＞2，命题q：∃x∈[0，]，使sinx+cosx=，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．￢p∧￢q B．￢p∧q C．p∧￢q D．p∧q
【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．
【专题】计算题；转化思想；简易逻辑．
【分析】判断两个命题的真假，然后利用复合命题的真假判断选项即可．
【解答】解：命题p：∀x∈R，2x+＞2，当x=0时，命题不成立．所以命题p是假命题，则￢p是真命题；
命题q：∀x∈[0，]，使sinx+cosx=sin（x+）∈[1，]，所以∃x∈[0，]，使sinx+cosx=，不正确；
则￢q是真命题，所以￢p∧￢q．
故选：A．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查复合命题真假的判断，考查三角函数以及基本不等式的应用，考查计算能力．
5．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从这6名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；方程思想；定义法；概率与统计．
【分析】先求出基本事件总数n=，再求出选出的2名教师来自同一学校包含的基本事件个数m==6，由此能求出选出的2名教师来自同一学校的概率．
【解答】解：甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，
从这6名教师中任选2名，
基本事件总数n=，
选出的2名教师来自同一学校包含的基本事件个数m==6，
选出的2名教师来自同一学校的概率为p==．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
6．设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】椭圆的标准方程．
【专题】计算题；分析法．
【分析】先求出抛物线的焦点，确定椭圆的焦点在x轴，然后对选项进行验证即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线的焦点为（2，0），椭圆焦点在x轴上，排除A、C，
由排除D，
故选B
【点评】本题主要考查抛物线焦点的求法与椭圆的基本性质．圆锥曲线是高考的必考内容，其基本性质一定要熟练掌握．
7．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a=（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【考点】程序框图．
【专题】计算题；图表型；试验法；算法与程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
a=6102，b=2016，
执行循环体，r=54，a=2016，b=54，
不满足退出循环的条件，执行循环体，r=18，a=54，b=18，
不满足退出循环的条件，执行循环体，r=0，a=18，b=0，
满足退出循环的条件r=0，退出循环，输出a的值为18．
故选：D．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题．
8．若向量，的夹角为，且||=2，||=1，则与+2的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用数量积运算性质、向量的夹角公式即可得出．
【解答】解：∵向量，的夹角为，且||=2，||=1，
∴===1．
∴==22+2×1=6，==．
∴与+2的夹角为．
故选：A．
【点评】本题考查了数量积运算性质、向量的夹角公式，属于基础题．
9．已知函数f（x）=cos（2x+）﹣cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论
①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；
②函数f（x）图象的一条对称轴是x=
③函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）
④函数f（x）的递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
则正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】展开两角与的余弦公式后合并同类项，然后化积化简f（x）的解+析式．
①由周期公式求周期，再由f（0）≠0说明命题错误；
②③直接代值验证说明命题正确；
④由复合函数的单调性求得增区间说明命题正确．
【解答】解：∵f（x）=cos（2x+）﹣cos2x====﹣．
∴，即函数f（x）的最小正周期为π，
但，函数f（x）不是奇函数．命题①错误；
∴函数f（x）图象的一条对称轴是x=．命题②正确；
∴函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）．命题③正确；
由，得：
∴函数f（x）的递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．命题④正确．
∴正确结论的个数是3个．
故选：C．
【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，考查了复合函数的单调性的求法，关键是对教材基础知识的记忆，是中档题．
10．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=ex，则有（ ）
A．f（2）＜f（3）＜g（0） B．g（0）＜f（3）＜f（2） C．f（2）＜g（0）＜f（3） D．g（0）＜f（2）＜f（3）
【考点】函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合．
【专题】压轴题．
【分析】因为函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）．
用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣f（x）﹣g（x）=e﹣x，又由f（x）﹣g（x）=ex联立方程组，可求出f（x），g（x）的解+析式进而得到答案．
【解答】解：用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=e﹣x，即f（x）+g（x）=﹣e﹣x，
又∵f（x）﹣g（x）=ex
∴解得：，，
分析选项可得：
对于A：f（2）＞0，f（3）＞0，g（0）=﹣1，故A错误；
对于B：f（x）单调递增，则f（3）＞f（2），故B错误；
对于C：f（2）＞0，f（3）＞0，g（0）=﹣1，故C错误；
对于D：f（x）单调递增，则f（3）＞f（2），且f（3）＞f（2）＞0，而g（0）=﹣1＜0，D正确；
故选D．
【点评】本题考查函数的奇偶性性质的应用．另外还考查了指数函数的单调性．
11．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥与一个三棱锥组成的组合体，画出几何体的直观图，求出两个棱锥的体积，相加可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：
该几何体是一个四棱锥A﹣CDEF与一个三棱锥组F﹣ABC成的组合体，
四棱锥A﹣CDEF的底面面积为4，高为4，故体积为：，
三棱锥组F﹣ABC的底面面积为2，高为2，故体积为：，
故这个几何体的体积V=，
故选：C．
【点评】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状．
12．函数f（x）的定义域为实数R，f（x）=对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰好有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】由函数的性质得到周期性，由函数零点转换为两图象相交，由数形结合得到m的范围．
【解答】解：∵任意的x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．
∴函数f（x）的周期是4，
∵在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰好有三个不同的零点，
即函数f（x）与函数h（x）=mx﹣m在区间[﹣5，3]上有三个不同的交点，
在同一直角坐标系上画出两个函数的图象：
得到≤m＜
即﹣≤m＜﹣，
故选B．
【点评】本题考查函数的性质，函数零点转换，数形结合．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A= 30° ．
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．
【解答】解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，
代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，
∴由余弦定理得：cosA===，
∵A为三角形的内角，
∴A=30°．
故答案为：30°
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
14．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为 ﹣2 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；数形结合；函数思想；方程思想；不等式．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=2x﹣y的最小值．
【解答】解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），
平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，
经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z取得最小值，
由，解得x=﹣1，y=0，
即A（﹣1，0），代入z=﹣2，
即目标函数z=2x﹣y的最小值为﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
15．设l1为曲线f（x）=ex+x（e为自然对数的底数）的切线，直线l2的方程为2x﹣y+3=0，且l1∥l2，则直线l1与l2的距离为 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；直线与圆．
【分析】利用切线的斜率，求出切点坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：曲线f（x）=ex+x，可得f′（x）=ex+1，设l1为曲线f（x）=ex+x（e为自然对数的底数）的切线，直线l2的方程为2x﹣y+3=0，且l1∥l2，
可得：切点的横坐标x，ex+1=2，解得x=0，纵坐标为：1，
则直线l1与l2的距离为：=．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的导数的应用，平行线之间的距离的求法，考查计算能力．
16．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由∠MF2N=60°，可得∠F1PF2=60°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，即可求出双曲线C的离心率．
【解答】解：由题意，|PF1|=2|PF2|，
由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，
可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，
由四边形PF1MF2为平行四边形，
又∠MF2N=60°，可得∠F1PF2=60°，
在三角形PF1F2中，由余弦定理可得
4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，
即有4c2=20a2﹣8a2，即c2=3a2，
可得c=a，
即e==．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线C的离心率，注意运用双曲线的定义与三角形的余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
三、解答题
17．（12分）设数列{an}的前项与为Sn，且Sn=，{bn}为等差数列，
且a1=b1，a2（b2﹣b1）=a1．
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项与Tn．
【考点】数列的求与；等差数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）由可求数列{an}的通项公式，进而可求数列{bn}通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，故可用错位相减法来求数列的前n项与．
【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（）﹣（ ）=，
经验证当n=1时，此式也成立，所以，从而b1=a1=1，，
又因为{bn}为等差数列，所以公差d=2，∴bn=1+（n﹣1）•2=2n﹣1，
故数列{an}与{bn}通项公式分别为：，bn=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
所以+（2n﹣1）•2n﹣1①
①×2得+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n②
①﹣②得：﹣（2n﹣1）•2n
==1+2n+1﹣4﹣（2n﹣1）•2n=﹣3﹣（2n﹣3）•2n．
∴数列{cn}的前n项与．
【点评】本题为数列的求通项与求与的综合应用，涉及等差等比数列以及错位相减法求与，属中档题．
18．（12分）如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求此多面体的全面积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积；直线与平面垂直的判定．
【专题】综合题；对应思想；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）在△BAD中，由余弦定理求得BD=，可得AB2=AD2+BD2，得AD⊥BD．再由已知可得CD⊥BD，由线面垂直的判定可得BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）由已知可得，AG∥EF，AE∥GF，得四边形AEFG为平行四边形，然后求出各面面积得答案．
【解答】（Ⅰ）证明：在△BAD中，∵AB=2AD=2，∠BAD=60°，
∴由余弦定理可得BD=，
则AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD．
在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴CD⊥BD，
又AD∩GD=D，∴BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）由已知可得，AG∥EF，AE∥GF，
∴四边形AEFG为平行四边形，
GD=AD=1，∴EF=AG=．
EB=AB=2，∴GF=AE=2．
过G作GH∥DC交CF于H，得FH=2，∴FC=3．
过G作GM∥DB交BE于M，得GM=DB=，ME=1，∴GE=2．
cos∠GAE=，∴sin∠GAE=．
该几何体的全面积S=．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查柱、锥、台体表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，属中档题．
19．（12分）中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：
井号I
1
2
3
4
5
6
坐标（x，y）（km）
（2，30）
（4，40）
（5，60）
（6，50）
（8，70）
（1，y）
钻探深度（km）
2
4
5
6
8
10
出油量（L）
40
70
110
90
160
205
（Ⅰ）1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；
（Ⅱ）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的，的值（，精确到0.01）与（I）中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式与计算结果：=，=﹣，=94，=945）
（Ⅲ）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【专题】转化思想；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）利用前5组数据与平均数的计算公式可得=5，=50，代入y=6.5x+a，可得a，进而定点y的预报值．
（Ⅱ）根据计算公式可得，，=≈6.83，=18.93，=6.83，计算可得并且判断出结论．
（Ⅲ）由题意，1、3、5、6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，勘察优质井数X的可能取值为2，3，4，P（X=k）=，可得X的分布列及其数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）利用前5组数据得到=（2+4+5+6+8）=5，=（30+40+60+50+70）=50，
∵y=6.5x+a，
∴a=50﹣6.5×5=17.5，
∴回归直线方程为y=6.5x+17.5，
当x=1时，y=6.5+17.5=24，
∴y的预报值为24．
（Ⅱ）∵=4，=46.25，=94，=945，
∴==≈6.83，
∴=46.25﹣6.83×4=18.93，
即=6.83，=18.93，b=6.5，a=17.5，≈5%，≈8%，均不超过10%，
∴使用位置最接近的已有旧井6（1，24）．
（Ⅲ）由题意，1、3、5、6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，
∴勘察优质井数X的可能取值为2，3，4，
P（X=k）=，可得P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=．
∴X的分布列为：
X
2
3
4
P
EX=2×+3×+4×=．
【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的概率与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）已知动圆C过点F（1，0），且与直线x=﹣1相切．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；并求当圆C的面积最小时的圆C1的方程；
（Ⅱ）设动圆圆心C的轨迹曲线E，直线y=x+b与圆C1与曲线E交于四个不同点，从左到右依次为A，B，C，D，且B，D是直线与曲线E的交点，若直线BF，DF的倾斜角互补，求|AB|+|CD|的值．
【考点】轨迹方程．
【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆．
【分析】（Ⅰ）由题意圆心为M的动圆M过点（1，0），且与直线x=﹣1相切，利用抛物线的定义，可得圆心M的轨迹是以（1，0）为焦点的抛物线；圆心C在原点时，圆C的面积最小，可得圆C1的方程；
（Ⅱ）先求出b，再利用韦达定理，结合|AB|+|CD|=（x1﹣x3）+（x2﹣x4）=（x1+x2﹣x3﹣x4），可得结论．
【解答】解：（I）∵动圆圆心到点F（1，0）的距离等于到定直线x=﹣1的距离，
∴动圆圆心的轨迹C为以F为焦点，以直线x=﹣1为准线的抛物线，
∴动圆圆心的轨迹方程为y2=4x．
圆心C在原点时，圆C的面积最小，此时圆C1的方程为x2+y2=1；
（II）F（1，9），设B（x1，y1），D（x2，y2），A（x3，y3），C（x4，y4），
由，得x2+（4b﹣16）x+4b2=0，△＞0，b＜2，
x1+x2=16﹣4b，x1x2=4b2，
∵直线BF，DF的倾斜角互补，
∴kBF+kDF=0，
∵kBF+kDF=+，
∴y2（x1﹣1）+y1（x2﹣1）=0，
∴x1x2+（b﹣）（x1+x2）﹣2b=0，
代入解得b=，
由，得5x2+2x﹣25=0，∴x3+x4=﹣，
∴|AB|+|CD|=（x1﹣x3）+（x2﹣x4）=（x1+x2﹣x3﹣x4）=．
【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=alnx+2a，g（x）=x+（其中a为常数，a∈R）．
（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，是否存在实数a，使得对于任意x1、x2∈[1，e]时，不等式f（x1）﹣g（x2）＞0恒成立？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题等价于f（x）min＞g（x）max，x∈[1，e]，通过讨论a的范围，集合函数的单调性求出a的具体范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）g′（x）=，（x≠0），
①a≤0时，g′（x）＞0恒成立，
于是g（x）的递增区间是（﹣∞，0）与（0，+∞）；
②a＞0时，由g′（x）＞0，解得：x＜﹣或x＞，
由g′（x）＜0，解得：﹣＜x＜0或0＜x＜，
故g（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）递增，在（﹣，0），（0，）递减，
综上，a≤0时，g（x）在（﹣∞，0）与（0，+∞）递增，
a＞0时，g（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）递增，在（﹣，0），（0，）递减；
（Ⅱ）a＞0时，对于任意x1，x2∈[1，e]时，不等式f（x1）﹣g（x2）＞0恒成立，
等价于f（x）min＞g（x）max，x∈[1，e]，
∵a＞0，∴f（x）=alnx+2a在[1，e]递增，
∴f（x）min=f（1）=2a；
由（Ⅰ）得，
①当≥e，即a≥e2时，g（x）在[1，e]递减，
g（x）max=g（1）=1+a，2a＞1+a，∴a＞1；
故a≥e2时，f（x）min＞g（x）max，x∈[1，e]成立，
②1≤＜e时，g（x）max=max{g（1），g（e）}，
当e≤a＜e2时，g（1）＞g（e），g（x）max=g（1）=1+a，
2a＞1+a，∴a＞1，
故e≤a＜e2时，f（x）min＞g（x）max，x∈[1，e]成立，
当1≤a＜e时，g（x）max=g（e）=e+，
2a＞e+，得a＞，又1≤a＜e，
故＜a＜e时，f（x）min＞g（x）max，x∈[1，e]成立；
③当≤1，即0＜a≤1时，g（x）max=g（e）=e+，
2a＞e+，得a＞与0＜a≤1矛盾，
综上，存在实数a∈（，+∞）时，对于任意x1，x2∈[1，e]时，不等式f（x1）﹣g（x2）＞0恒成立．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．
四、选修题
22．（10分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；
（Ⅱ）A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；数形结合；转化法；坐标系与参数方程．
【分析】（Ⅰ）求出曲线C1，C1的平面直角坐标方程，把两式作差，得y=﹣x，代入x2+y2=4y，能求出曲线C1与C2交点的平面直角坐标．
（Ⅱ）作出图形，由平面几何知识求出当|AB|最大时|AB|=2，O到AB的距离为，由此能求出△OAB的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程是（θ为参数），
∴曲线C1的平面直角坐标方程为（x+2）2+y2=4．
又由曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ，
得ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，
把两式作差，得y=﹣x，
代入x2+y2=4y，得2x2+4x=0，
解得或，
∴曲线C1与C2交点的平面直角坐标为（0，0），（﹣2，2）．
（Ⅱ）如图，由平面几何知识可知：
当A，C1，C2，B依次排列且共线时，
|AB|最大，此时|AB|=2，
O到AB的距离为，
∴△OAB的面积为S=．
【点评】本题考查两曲线交点的平面直角坐标的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程间的相互转化及应用．
五、选修题
23．（10分）设函数f（x）=|x+|+|x﹣2m|（m＞0）．
（Ⅰ）求证：f（x）≥8恒成立；
（Ⅱ）求使得不等式f（1）＞10成立的实数m的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
【专题】转化思想；分类法；不等式．
【分析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥8恒成立．
（Ⅱ）当m＞时，不等式即 +2m＞10，即m2﹣5m+4＞0，求得m的范围．当0＜m≤时，f（1）=1++（1﹣2m）=2+﹣2m关于变量m单调递减，求得f（1）的最小值为17，可得不等式f（1）＞10恒成立．综合可得m的范围．
【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）=|x+|+|x﹣2m|（m＞0），
∴f（x）=|x+|+|x﹣2m|≥|x+﹣（x﹣2m）|=|+2m|=+2m≥2=8，
当且仅当m=2时，取等号，故f（x）≥8恒成立．
（Ⅱ）f（1）=|1+|+|1﹣2m|，当m＞时，f（1）=1+﹣（1﹣2m），不等式即 +2m＞10，
化简为m2﹣5m+4＞0，求得m＜1，或m＞4，故此时m的范围为（，1）∪（4，+∞）．
当0＜m≤时，f（1）=1++（1﹣2m）=2+﹣2m关于变量m单调递减，
故当m=时，f（1）取得最小值为17，
故不等式f（1）＞10恒成立．
综上可得，m的范围为（0，1）∪（4，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、基本不等式的应用，绝对值不等式的解法，注意分类讨论，属于中档题．
第 32 页
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
