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高中思维训练班《高一数学》
第1讲-----集合及函数(上)
『本讲要点』:复杂的集合关系及运算、函数定义的深化
『重点掌握』:函数的迭代
1.定义M及P的差集为M-P={x | x∈M且x不∈P} ,若A={y | y=x2 }B={x | -3≤x≤3} ,再定义 M△N =（M-N)∪(N-M），求A△B
2.集合A=中,任意取出一个非空子集,计算它的各元素之和.则所有非空子集的元素之和是 ________ .若A=,则所有子集的元素之和是 .
3.已知集合,,其中,并且都是正整数.若,.且中的所有元素之和为124,求集合A、B.
*4. 函数，求(本讲重点迭代法)
5. 练习:定义:.已知是一次函数.当．求的解析式．(本讲重点迭代法)
*6.设f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋xy。求f(x) (本讲重点顺序拼凑法)
『课后作业』:
7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f（7）(本讲重点迭代法)
*8. 已知f(1)=且当n＞1时有=2(n＋1)。求f(n) (n∈N+)(本讲重点顺序拼凑法)
9.求集合A = 所有非空子集的元素之和
10.已知不等式ax2+bx+c＞0,的解集是{x|m＜x＜n},m＞0,求不等式cx2+bx+a＜0的解集
作业答案:7.8,8.1/n2+3n+1,9.略,10. x<1/n或x>1/m
答案:
1. 【解】 A{x|x≥0} B={x|-3≤x≤3} A-B={x|x＞3} B-A={x|-3≤x＜0} A△B={x|-3≤x＜0或x＞3}
2. 【解】〖分析〗已知的所有的子集共有个.而对于,显然中包含的子集及集合的子集个数相等.这就说明在集合的所有子集中一共出现次,即对所有的求和,可得 集合的所有子集的元素之和为
3. 【解】,且,,又,所以
又,可得,并且或
若,即,则有解得或(舍)
此时有
若,即,此时应有,则中的所有元素之和为100124.不合题意.
综上可得,
5【解】
解：设f(x)=ax＋b (a≠0)，记f{f[f…f(x)]}=fn(x)，则
n次
f2(x)=f[f(x)]=a(ax＋b)＋b=a2x＋b(a＋1)
f3(x)=f{f[f(x)]}=a[a2x＋b(a＋1)]＋b=a3x＋b(a2＋a＋1)
依次类推有：f10(x)=a10x＋b(a9＋a8＋…＋a＋1)=a10x＋
由题设知：
a10=1024 且=1023
∴a=2，b=1 或 a=－2，b=－3
∴f(x)=2x＋1 或 f(x)=－2x－3
8. 解：令y=1，得f(x＋1)=f(x)＋x＋1
再依次令x=1，2，…，n－1，有
f(2)=f(1)＋2
f(3)=f(2)＋3
f(n－1)=f(n－2)＋(n－1)
f(n)=f(n－1)＋n
依次代入，得
f(n)=f(1)＋2＋3＋…＋(n－1)＋n=
∴f(x)=
(x∈N+)
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第2讲-----函数(下)
『本讲要点』:1.单调函数不等式的解法 2.根据抽象的函数条件拼凑出特定值的方法 3.抽象函数的周期问题
*1例 f(x)在x>0上为增函数,且.求:
(1)的值.
(2)若,解不等式
2例 f(x)对任意实数x及y都有f(x) + f(y) = f(x+y) + 2,当x>0时,f(x)>2
(1) 求证:f(x)在R上是增函数
(2) 若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3
3练f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1.
(1) 求f(1)和f(1/9)的值
(2) 证明f(x)在x>1上是增函数
(3) 在x > 1上,若不等式f(x) + f(2-x) < 2成立,求x的取值范围
4例几个关于周期的常见的规律:
5练习:f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x-2) = -f(x),以下结论正确的是(多选):______________
A.f(2) = 0
B.f(x) = f(x+4)
C.f(x)的图象关于直线x=0对称
D.f(x+2) = f(-x)
『课后作业』:
6 定义在x>0上,当x>1时,f(x)>0;对任意的正实数x和y都有f(xy) = f(x) + f(y).
(1) 证明f(x)在x>0上为增函数
(2) 若f(5) = 1,解不等式f(x+1) – f(2x) > 2
*7已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－,求证f(x)是周期函数
7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f（7）(本讲重点迭代法)
*8. 已知f(1)=且当n＞1时有=2(n＋1)。求f(n) (n∈N+)(本讲重点顺序拼凑法)
9.求集合A = 所有非空子集的元素之和
10.已知不等式ax2+bx+c＞0,的解集是{x|m＜x＜n},m＞0,求不等式cx2+bx+a＜0的解集
作业答案:6. 0<x<1/49 7.周期T=4m
7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f（7）(本讲重点迭代法)
*8. 已知f(1)=且当n＞1时有=2(n＋1)。求f(n) (n∈N+)(本讲重点顺序拼凑法)
9.求集合A = 所有非空子集的元素之和
10.已知不等式ax2+bx+c＞0,的解集是{x|m＜x＜n},m＞0,求不等式cx2+bx+a＜0的解集
『上讲课后作业回顾』:化学
5.有4.0克+2价金属的氧化物及足量的稀盐酸反应后，完全转化为氯化物，测得氯化物的质量为9.5克，通过计算指出该金属的名称。(差量法)

6.取100克胆矾，需加入多少克水才能配成溶质质量分数为40%的硫酸铜溶液?( 十字交叉法)
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第3讲-----函数的周期专题(下)、简单的函数对称问题
『本讲要点』:函数的周期和对称问题一直是高考的难点,本讲对此进行专题性讲解
『重点掌握』:凑f(x)法计算函数的周期
『需要的知识背景』:函数的奇偶性,一次函数、二次函数
1例已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+1）= - f（x）
（1）证明：f（x）是周期函数，并求最小正周期
（2）当x∈[0,1）时，f（x）=x ，求在 [-1,0）上的解析式
（T=2 ，已求好）（f（x）=-x -1 ，已求好）
**2例f(x)图像满足下列条件，试证明f(x)为周期函数
（1）关于x=a, x=b 对称. （2）关于(a,0), (b,0)对称. （3）关于(a,0), x=b对称.
*3练对函数f(x),当x∈（-∞，+∞）时，f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),证明函数y=f(x)为周期函数,并求出最小正周期
f(x)=f(4-x)=f(14-x) f(x)=f(x+10) T=10
推广该题，对任意不相等的两个实数a,b,如果对任意x满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x)，则该函数是以2(b-a)为周期的周期函数，证明同上面类似
4例设f(x)和g(x)均为周期函数，f(x)的周期为2，g(x)的周期为3，问： f(x)±g(x), f(x)g(x) 是否是周期函数?若是,求出它们的周期?
f(x)的周期为2，--->f(x+2m)=f(x)
g(x)的周期为3，--->g(x+3n)=g(x)
2及3的最小公倍数是6，--->f(x+6s)=f(x),g(x+6s)=g(x)
f(x+6s)±g(x+6s)=f(x)±g(x)---->f(x)±g(x)是周期为6的周期函数；
f(x+6s)g(x+6s)=f(x)g(x)-------->f(x)g(x)也是周期为6的周期函数。
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第4讲----- 函数的对称专题(下)
第5讲----- 对称及周期的关系
『本讲要点』:较复杂的对称及周期、函数的对称及周期之间的关系
知识点1:两个函数的图象对称性
性质1：及关于轴对称。
换种说法：及若满足，即它们关于对称。
性质2：及关于Y轴对称。
换种说法：及若满足，即它们关于对称。
性质3：及关于直线对称。
换种说法：及若满足，即它们关于对称。
性质4：及关于直线对称。
换种说法：及若满足，即它们关于对称。
性质5：关于点对称。
换种说法：及若满足，即它们关于点对称。
性质6：及关于直线对称。
知识点2:单个函数的对称性
性质1：函数满足时，函数的图象关于直线对称。
证明：
性质2：函数满足时，函数的图象关于点（，）对称。
证明：
性质3：函数的图象及的图象关于直线对称。
证明：
知识点3:对称性和周期性之间的联系
性质1：函数满足，，求证：函数是周期函数。
证明：
性质2：函数满足和时，函数是周期函数。（函数图象有两个对称中心（a，）、（b，）时，函数是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期）
证明：
性质3：函数有一个对称中心（a，c）和一个对称轴（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是。
证明：
推论：若定义在上的函数的图象关于直线和点对称，则是周期函数，是它的一个周期
证明：
性质4：若函数对定义域内的任意满足：,则为函数的周期。（若满足则的图象以为图象的对称轴，应注意二者的区别)
证明：
性质5：已知函数对任意实数,都有，则是以为周期的函数
证明：
『例题及习题』:
1例（2005高考·福建理）是定义在上的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
*2例 的定义域是，且,若. 求 f(2008)的值。
3练 函数对于任意实数满足条件，若则_______________。
解：由得，所以，则
*4例 若函数在上是奇函数，且在上是增函数，且.
①求的周期；
②证明的图象关于点中心对称;关于直线轴对称, ;
③讨论在上的单调性；
解: ①由已知，故周期.
②设是图象上任意一点,则,且关于点对称的点为.P关于直线对称的点为
∵,∴点在图象上,图象关于点对称.
又是奇函数,
∴点在图象上,图象关于直线对称.
③设，则，
∵在上递增, ∴……(*)
又 ∴, .
所以： ，在上是减函数.
5例 已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数.又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值.
（1）证明：；
（2）求的解析式；
**（3）求在上的解析式.
解：∵是以为周期的周期函数，且在上是奇函数，∴，∴.
②当时，由题意可设，
由得，∴，
③∵是奇函数，∴，
又知在上是一次函数，∴可设
而，
∴，∴当时，，
从而时，，故时，.
∴当时，有，∴.
当时，，
『课后作业』:
6练 已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ B ）
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
解：因为是定义在上的奇函数
所以，又，故函数，的周期为4
所以，选B
7练定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ A ） （第十二届高中数学希望杯 第二题）
(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数
(C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数
解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).
∴f (x)有两条对称轴 x = 5及x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。
故选(A)
8练设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f (x) = x，则f (7.5 ) = （B ）
(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5
解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；
又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。
∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)
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第6讲-----归纳总结,作业回顾
物理**5例如图1一8所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为 和，它们的下端在C点相连接并悬挂一质量为m的重物，上端分别及质量可忽略的小圆环A、B相连，圆环套在圆形水平横杆上．A、B可在横杆上滑动，它们及横杆间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，且。试求μ1和μ2在各种取值情况下，此系统处于静态平衡时两环之间的距离AB。
物理6作业A跳伞运动员打开伞后经过一段时间,将在空中保持匀速降落,已知运动员和他身上装备的总重量为G1，圆顶形降落伞伞面的重量为G2，有12条相同的拉线（拉线重量不计）,均匀分布在伞面边缘上,每根拉线和竖直方向都成30°角。则每根拉线上的张力大小为：(答案在本页最下边)
A、 B、 C、 D、
物理
7作业如图2—7所示，AO是质量为m的均匀细杆，可绕O轴在竖直平面内自动转动。细杆上的P点及放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡，已知杆的倾角为θ ，AP长度是杆长的，各处的摩擦都不计，则挡板对圆柱体的作用力等于 。(答案在本页最下边)
化学*5作业三氟化溴溶于水可发生如下反应： BrF3 ＋ H2O HBrO3＋ Br2＋ HF＋ O2↑
(1)其中发生自身氧化还原反应的物质是____________；
(2)当有5.0 mol水参加反应时，由水还原的BrF3的物质的量为____________，由BrF3还原的BrF3的物质的量为____________；
(3)当有5.0 mol水作还原剂参加化学反应时，由水还原的BrF3的物质的量为____________，由BrF3还原的BrF3的物质的量为____________；
(4)当有5.0 mol水未参加氧化还原反应时，由水还原的BrF3的物质的量为____________，由BrF3还原的BrF3的物质的量为____________。
答案：(1)BrF3 (2)1.3 mol 0.67 mol (3)3.3 mol 1.7 mol(或1.8 mol) (4)2.2 mol 1.1 mol
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第6讲-----第一阶段考试(数学)
满分:150分 时间:120分钟 姓名 分数
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题只有一项是符合要求的）
1、 已知集合A=，B=，则A及B的关系是
A A B C B D
2、设全集={1，2，3，4，5},，则集合的子集个数最多为
A. 3　　　　 B. 4 C. 7　　　　　D. 8
3、设A={}, B={}, 下列各图中能表示从集合A到集合B的映射是
4、已知函数，且的解集为（－2，1）则函数的图象为
5、设集合A=, B=, 函数f(x)=若x, 且f [ f (x)],则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，
那么函数解析式为，值域为{1，7}的“孪生函数”共有 （ ）
A．10个 B．9个 C．8个 D．4个
7、函数是 （ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．是奇函数又是偶函数
8、已知 y = f ( x ) 是定义在R 上的偶函数, 且在( 0 , + )上是减函数，如果x1 < 0 , x2 > 0 ,
且| x1 | < | x2 | , 则有（ ）
A．f (－x1 ) + f (－x2 ) > 0 B. f ( x1 ) + f ( x2 ) < 0
C. f (－x1 ) －f (－x2 ) > 0 D. f ( x1 ) －f ( x2 ) < 0
9、设函数若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程的解的个数为
(A). 1 （B）2 （C）3 （D）4 （ ）
10、一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；C②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水. 则正确论断的个数是
A． 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本答题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。
11、设f（x）是定义在（0，+¥）上的减函数，那么f（2）及f（a2+2a+2）的大小关系是___________________
12、满足条件｛0，1｝∪A={0,1}的所有集合A的个数是 个
13、已知，则不等式的解集是
14、 如果函数满足：对任意实数都有,且，则:
______________
15、已知
三、解答题：（满分75分，要求写出详细的解题过程）
16、（满分12分）设A={x∈Z| ，，求：
（1）； （2）
17、（满分12分）若集合，且，求实数的值。
18、（满分12分）设的解集是（－3，2）.
（1）求f（x）；
（2）当函数f（x）的定义域是[0，1]时，求函数f（x）的值域.
19、（满分12分）已知奇函数
（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出的图象；
（2）若函数f（x）在区间[－1，|a|－2]上单调递增，试确定a的取值范围.
20、（满分13分）某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润及投资成正比，其关系如图1，B产品的利润及投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润及投资单位是万元）
（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式。
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元。（精确到1万元）。
21、（满分14分）若非零函数对任意实数均有，且当时，；
（1）求证： ；（2）求证：为减函数 （3）当时，解不等式
参考答案
一、选择题：CDBDC BBCCB
二、填空题：11. f（2）> f（a2+2a+2）； 12. 4 ； 13. ； 14. 2010 ； 15. 6
三、解答题：16、解：……………2分
（1）又……6分
（2）又得
……………12分
17、解： A={-3, 2}
⑴ 当△<0，即时，B= ， B成立 …………………4分
⑵ 当△=0，即时，B={}, B不成立……………8分
⑶ 当△>0，即时，若B成立 则：B={-3, 2}
∴ a= -3x2=-6 ………………………………………12分
18、解：（1）由已知方程f（x）=0的两根为－3和2（a<0）
由韦达定理得
从而…………………………………………6分
（2）=
而对称轴从而上为减函数
所以，当
故所求函数的值域为[12，18]…………………………12分
19、（1）当 x<0时，－x>0，
又f（x）为奇函数，∴，∴ f（x）＝x2＋2x，∴m＝2 ……………4分
y＝f（x）的图象如右所示 ……………6分
（2）由（1）知f（x）＝，…8分
由图象可知，在[－1，1]上单调递增，要使在[－1，|a|－2]上单调递增，只需 ……………10分
解之得 ……………12分
20、（1）投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，
由题设=，=，.
由图知，又
从而=，=， ……………6分
（2）设A产品投入万元，则B产品投入10-万元，设企业的利润为y万元
Y=+=，（），
令
当，，此时=3.75
当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，
企业获得最大利润约为4万元。 ……………12分
21、解：（1）
又若f(x0)=0, 则f(x)=f(x- x0+ x0)=f(x-x0)f(x0)=0及已经矛盾，
故 f(x)> 0 …………………………4分
（2）设则 又 ∵为非零函数
为减函数 …………………………9分（3）由原不等式转化为，结合（2）得：
故不等式的解集为； …………………………14分
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第8讲-----指数及对数(一)
『本讲要点』:利用对数增减性比较大小、对数方程
1.试比较及的大小
　　解：对于两个正数的大小，作商及1比较是常用的方法，记122003=a＞0，则有
故得：>
*2.已知函数f(x)=logax (a>0,a≠1,x>0)若x1,x2∈R+,试比较及的大小
解：f(x1)+f(x2)=loga(x1x2) ∵x1,x2ÎR+,∴ (当且仅当x1=x2时，取“=”号)，
当a>1时，有，∴
即 (当且仅当x1=x2时，取“=”号)
当a>1时，有，∴
即 (当且仅当x1=x2时，取“=”号)
*3例.设a、b分别是方程log2x + x – 5 = 0和2x + x – 5 = 0的根，求a + b及log2a + 2b
解：在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y =log2x的图象，再作直线y=x和y= -x+5，由于y=2x和y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程log2x+x-5=0的根a就是直线y= -x+5及对数曲线y=log2x的交点A的横坐标，方程2x+x-5=0的根b就是直线y= -x+5及指数曲线y=2x的交点B的横坐标
设y= -x+5及y=x的交点为M，则点M的横坐标为(2.5,2.5)，
所以a+b=2xM=5　 log2a+2b=2yM=5
4练.设f(x)=min(3+，log2x),其中min(p,q)表示p、q中的较小者，求f(x)的最大值
解：易知f(x)的定义域为(0,+无穷)
因为y1=3+在(0,+¥)上是减函数，y2=log2x在(0,+¥)上是增函数，而当y1=y2，即
3+=log2x时，x=4，所以由y1=3+和y2=log2x的图象可知
故当x=4时，得f(x)的最大值是2
5例. 设y=log1/2[a2x+2(ab)x-b2x+1](a＞0,b＞0)，求使y为负值的x的取值范围
　　解：∵(1/2)＜1,要使y＜0,只要
a2x+2(ab)x-b2x+1＞1，
　　即a2x+2(ab)x-b2x＞0
　　→b2x[(a/b)2x+2(a/b)x-1]＞0
　　→[(a/b)x]2+2(a/b)x-1＞0
　　→>
　　→∵
　　1°当a＞b＞0时,a/b＞1,；
　　2°当b＞a＞0时,0＜a/b＜1,
　　3°当a=b＞0时，x∈R
6.解方程:
(1)x + log2(2x - 31) = 5
解：(1)原方程即：log22x+log2(2x-31) =5
log2[2x(2x -31)]=5　 (2x)2-31×2x = 32 解得：2x=32, ∴x=5
*(2) 2lgx×xlg2 - 3×xlg2-21+lgx + 4 = 0
(2)原方程即：(2lgx)2-5×2lgx+4 = 0 解得：x1=100,x2=1
*7.设a>0且a≠1,求证：方程ax+a-x=2a的根不在区间[-1,1]内
解：设t=ax,则原方程化为：t2-2at+1=0　 (1) 由Delta = 4a2-4>0得a>1
令f(t)= t2-2at+1 ,f(a)=a2-2a2+1=1-a2<0
所以f(t)的图象及横轴有的交点的横坐标在之外，故方程t2-2at+1=0在之外有两个实根，原方程有两实根且不在区间[-1,1]内
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