二次函数的实际应用之利润最大值面积最值问题.doc

二次函数的实际应用——最大利润问题、面积最大(小)值问题
一：最大利润问题
知识要点：
二次函数的一般式()化成顶点式，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．
即当时，函数有最小值，并且当，；
当时，函数有最大值，并且当，．
如果自变量的取值范围是，如果顶点在自变量的取值范围内，则当，，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内随的增大而增大，则当时，，当时，；
如果在此范围内随的增大而减小，则当时，，当时，．
商品定价一类利润计算公式：
经常出现的数据：商品进价；商品售价；商品销售量；涨价或降价；销售量变化；其他成本。
u 总利润=总售价-总进价-其他成本=单位商品利润×总销售量－其他成本
u 单位商品利润=商品定价－商品进价
u 总售价=商品定价×总销售量；总进价=商品进价×总销售量
[例1]：某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18 元，试销过程中发现，每月销售量y （万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y= ﹣2x+100 ．（利润= 售价﹣制造成本）
（1 ）写出每月的利润z （万元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；
（2 ）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
（3 ）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32 元，如果厂商要获得每月不低于350 万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
解：（1 ）z= （x -18 ）y= （x -18 ）（-2x+100 ）= -2x2+136x-1800 ，
∴z 与x 之间的函数解析式为z= -2x2+136x-1800 ；
（2 ）由z=350 ，得350= -2x2+136x -1800 ， 解这个方程得x1=25 ，x2=43
所以，销售单价定为25 元或43 元，
将z =-2x2+136x-1800 配方，得z=-2 （x-34 ）2+512 ，
因此，当销售单价为34 元时，每月能获得最大利润，最大利润是512 万元；
（3 ）结合（2 ）及函数z=-2x2+136x ﹣1800 的图象（如图所示）可知，
当25≤x ≤43时z ≥350 ，
又由限价32 元，得25 ≤x ≤32 ，
根据一次函数的性质，得y=-2x+100 中y 随x 的增大而减小，
∴当x=32 时，每月制造成本最低
最低成本是18 ×（-2 ×32+100 ）=648 （万元），
因此，所求每月最低制造成本为648 万元．
[练习]：1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
解：设涨价（或降价）为每件元，利润为元，
为涨价时的利润，为降价时的利润
则：
当，即：定价为65元时，（元）
当，即：定价为57.5元时，（元）
综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．
[例2]： 市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量(千克)与销售单价(元)
(）存在如下图所示的一次函数关系式．
⑴试求出与的函数关系式；
⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围(直接写出答案)．
解：⑴设y=kx+b由图象可知，
即一次函数表达式为．
∵ ∴P有最大值．
当时，（元）
（或通过配方，，也可求得最大值）
答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．
∴31≤x≤34或36≤x≤39．
练习 2．某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x（元），年销售量为y（万件），当35≤x＜50时，y与x之间的函数关系式为y=20﹣0.2x；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元（含）到45元（含）之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．
（1）当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y（万元）与x（元）之间的函数关系式．
（2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润=年销售收入﹣生产成本）为W（万元），那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？
（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x（元）在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资成本）不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围．

解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
∵函数图象经过点（50，10），（70，8），
∴，
解得，
所以，y=﹣0.1x+15；
（2）∵乙种产品的销售单价在25元（含）到45元（含）之间，
∴，解之得45≤x≤65，
①45≤x＜50时，W=（x﹣30）（20﹣0.2x）+10（90﹣x﹣20），
=﹣0.2x2+16x+100，=﹣0.2（x2﹣80x+1600）+320+100，
=﹣0.2（x﹣40）2+420，
∵﹣0.2＜0，
∴x＞40时，W随x的增大而减小，
∴当x=45时，W有最大值，W最大=﹣0.2（45﹣40）2+420=415万元；
②50≤x≤65时，W=（x﹣30）（﹣0.1x+15）+10（90﹣x﹣20），
=﹣0.1x2+8x+250，
=﹣0.1（x2﹣80x+1600）+160+250，
=﹣0.1（x﹣40）2+410，
∵﹣0.1＜0，
∴x＞40时，W随x的增大而减小，
∴当x=50时，W有最大值，W最大=﹣0.1（50﹣40）2+410=400万元．
综上所述，当x=45，即甲、乙两种产品定价均为45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是415万元；
（3）根据题意得，W=﹣0.1x2+8x+250+415﹣700=﹣0.1x2+8x﹣35，
令W=85，则﹣0.1x2+8x﹣35=85，解得x1=20，x2=60．
又由题意知，50≤x≤65，根据函数性质分析，50≤x≤60，
即50≤90﹣m≤60，∴30≤m≤40．
二、 面积最大（最小）值问题
实际问题中图形面积的最值问题分析思路为：
（1） 分析图形的成因（2）识别图形的形状（3）找出图形面积的计算方法
（4） 把计算中要用到的所有线段用未知数表示
（5） 把线段长度代入计算方法形成图形面积的函数解析式，注意自变量的取值范围
（6） 根据函数的性质以及自变量的取值范围求出面积的最值。
[例1]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？
解：设花圃的宽为米，面积为平方米
则长为：(米)
则：
∵，∴与的二次函数的顶点不在自变量的范围内，
而当内，随的增大而减小，
∴当时，(平方米)
答：可设计成宽米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．
练习1 在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．
（1）运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm²)是多少？
（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
（3）t为何值时s最小，最小值时多少？
例2.如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；
（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．
解：（1）设正方形的边长为cm，
则． 即．
解得（不合题意，舍去），．
剪去的正方形的边长为1cm．
（2）有侧面积最大的情况．
设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，
则与的函数关系式为：
． 即．
改写为．
当时，．
即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，
长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．
（3）有侧面积最大的情况．
设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2．
若按图1所示的方法剪折，
则与的函数关系式为：
即．
当时，．
若按图2所示的方法剪折，
则与的函数关系式为：
． 即．
当时，．
比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2．
例3、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意可知：解得：
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC∵BC是定值，
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，
∵点A、点B关于对称轴I对称，∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点
∵AP=BP∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC
∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），
∴AC=3，BC=；故△PBC周长的最小值为3+．
（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）
∵A（﹣3，0）∴直线AD的解析式为y=2x+6
∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）
∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）=﹣m2﹣4m﹣3
∴S=S△DEF+S△AEF=EF•GH+EF•AG=EF•AH
=（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3；
②S=﹣m2﹣4m﹣3=﹣（m+2）2+1；
∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1
此时点E的坐标为（﹣2，2）．
练习2 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），
∴，解得，
所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）∵点A、B关于对称轴对称，
∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，解得，
所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，
∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当x=2时，y=2﹣1=1，
∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；
（3） 过点E作EF垂直于x轴交AC于F
设E（m，m2-4m+3）则F（m，m-1）
∴EF=m-1-（m2-4m+3）=-m2+5m-4
∴S△ACE=（-m2+5m-4）×3=-（m-）2+
∴当m=时，△ACE的最大面积为，此时，m2-4m+3=-，∴E（，-）.
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