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高等数学（上）重要知识点归纳

第一章 函数、极限和连续
一、 极限的定义和性质
1、 定义（以数列为例）
当时，
2、 性质
(1) ，其中为某一个无穷小。
(2)(保号性）若，则当时，。
(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。
二、 求极限的主要方法和工具
1、 *两个重要极限公式 (1) (2)
2、 两个准则 (1) *夹逼准则 (2)单调有界准则
3、 *等价无穷小替换法
常用替换：当时
（1) （2）
（3） （4)
（5） （6）
（7） （8）

4、 分子或分母有理化法 5、分解因式法 6用定积分定义
三、 无穷小阶的比较* 高阶、同阶、等价
四、 连续和间断点的分类
1、 连续的定义*
在点连续

2、 间断点的分类
3、 曲线的渐近线*

五、 闭区间连续函数性质
1、 最大值和最小值定理
2、 介值定理和零点定理

第二章 导数和微分
一、 导数的概念
1、 导数的定义*

2、左右导数
左导数
右导数
3、 导数的几何意义*

4、 导数的物理意义

5、 可导和连续的关系:
二、 导数的运算
1、 四则运算
2、 复合函数求导 设，一定条件下
3、 反函数求导 设互为反函数，一定条件下：
4、 求导基本公式*（要熟记）
5、 隐函数求导* 方法：在两端同时对求导，其中要注意到：是中间变量，然后再解出
6、 参数方程确定函数的求导*，一定条件下（可以不记）
7、 常用的高阶导数公式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5） （莱布尼茨公式）
三、 微分的概念和运算
1、 微分定义 *
若，则可微，记
2、 公式：
3、 可微和可导的关系* 两者等价
4、 近似计算 当，

第三章 导数的应用
一、 微分中值定理*
1、柯西中值定理*

当取时，定理演变成：
2、拉格朗日中值定理*

当加上条件则演变成：
3、罗尔定理*
4、泰勒中值定理
在一定条件下：

其中介于之间.
当公式中n=0时，定理演变成拉格朗日定理.
当时，公式变成:
5、 麦克劳林公式

6、常用麦克劳林展开式
（1）
（2）
（3）
（4）
二、 罗比达法则*
记住：法则仅能对型直接用，对于转化后用. 幂指函数恒等式*
三、 单调性判别*
1、
2、 单调区间分界点：驻点和不可导点.
四、 极值求法*
1、 极值点来自：驻点或不可导点（可疑点）.
2、 求出可疑点后再加以判别.
3、 第一判别法：左右导数要异号，由正变负为极大，由负变正为极小.
4、 第二判别法：一阶导等于0，二阶导不为0时，是极值点.正为极小，负为极大.
五、 闭区间最值求法*
找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小.
六、 凹凸性和拐点*
1、
2、 拐点：曲线上凹凸分界点.
横坐标不外乎，找到后再加以判别附近的二阶导数是否变号.
七、 曲率和曲率半径
1、 曲率公式
2、 曲率半径

第四章 不定积分
一、 不定积分的概念*
若在区间上，，
则称
称全体原函数F(x)+c为f(x)的不定积分，记为.
二、 微分和积分的互逆关系
1、
2、
三、 积分法*
1、 凑微分法*
2、 第二类换元法
3、 分部积分法*
4、 常用的基本积分公式(要熟记).

第五章 定积分
一、 定积分的定义
二、 可积的必要条件 有界.
三、 可积的充分条件 连续或只有有限个第一类间断点或单调.
四、 几何意义 定积分等于面积的代数和.

五、 主要性质*
1、 可加性
2、 估值 在[a,b]上，
3、 积分中值定理*
当f(x)在[a,b]上连续时：
4、 函数平均值：
六、 变上限积分函数*
1、
2、
七、 牛-莱公式*

八、 定积分的积分法*
1、 换元法 牢记：换元同时要换限
2、 分部积分法
3、 特殊积分
（1）
（2） 当f(x)为周期为T的周期函数时：

（3） 一定条件下:
（4）
（5）
九、 反常积分*
1、 无穷区间上
其他类似
2、 p积分：
3、 瑕积分：若a为瑕点：
则 其他类似处理
第六章 定积分应用
一、 几何应用
1、 面积
（1）
（2） 则
（3）
2、 体积*
（1）旋转体体积* 或
（2）截面面积为的立体体积为

3、弧长
（1）
（2）
（3）
二、物理应用
1、变力作功
一般地：先求功元素：，再积分
克服重力作功的功元素dw=体积位移
2、水压力
dP=水深面积

第七章 微分方程
一、 可分离变量的微分方程
形式：
二、一阶线性微分方程*
1、线性齐次：
通解公式*：
2、 线性非齐次
通解公式*：

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