2023-2024学年广东省广州大学附中七年级（下）期中数学试卷（含答案）.docx

2
023-2024 学年广东省广州大学附中七年级（下）期中数学试卷
一.选择题(本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)
1
．（3 分）下列方程中，是二元一次方程的是 (
A． 3x − 2y = 4z B． x + 4y = 6
)
2
C． 6x2 + 9x −1= 0
D． x = +1
y
2．（3 分）下列说法正确的是 (
)
A． 9 = ±3
B．若两个数平方后相等，则这两个数也相等
C． (−6) 是 36 的平方根
D．算术平方根一定是正数
3．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，OP = 13 ，以点 O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交 x 轴的负
半轴于点 A ，则点 A 的横坐标介于 (
)
A．3 和 4 之间
B．4 和 5 之间
C． −4 和 −3之间
D． −5 和 −4 之间

x…1
4
．（3 分）如图，不等式组 
的解集在数轴上表示正确的是 (
)
x > 2

A．
B．
C．
D．
5
)
．（3 分）在平面直角坐标系中， P(2,3) ，若 PQ 是平行于坐标轴的线段，且 PQ = 4 ，则 Q 点不能在 (
A．第二、第三象限
B．第三、第四象限
C．第三象限
D．第四象限

x + y = −7 − k
6
．（3 分）已知关于 x ， y 的二元一次方程组 
的解 y 为非正数，则 k 的取值范围为 (
)
x − y =1+ 3k

3
3
2
A． k… − 2
B． k„ − 2的
C． k„ −
D． k… −
2
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7．（3 分）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若 ∠3 = 28° ，则 ∠1的度数为 (
)
A． 28°
B．52°
C．56°
D． 62°
8．（3 分）如图， AB / /CD ， EG 、 EM 、 FM 分别平分 ∠AEF ，∠BEF ，∠EFD ，则图中与 ∠DFM 相等
的角（不含它本身）的个数为 (
)
A．5
B．6
C．7
D．8

x − a > 0
9
．（3 分）若关于 x 的不等式组 
的解集中任何一个 x 值均不在 3„x„5 范围内，则 a 的取值范围为 (
x − a <1

)
A． a„2 或 a…5
B． a < 2 或 a > 5
C．3 < a < 4
D．3„a < 4
1
0．（3 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (a,0) ，点 B 的坐标为 (b,2) ，点C 的坐标

a − 2b + c =12
为 (c,d) ，其中 a ，b ，c 满足方程组 
，连接 AB ， AC ， BC ．若 ∆ABC 的面积等于 10，则
2a − b − c = 3

d 的值为 (
)
A．1
6
或
4
5
B． −
4
5
或
16
C．
24 16
或
16
D． 或 −
24
5
5
5
5
5
5
二.填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）81 的算术平方根是
．
1
2．（3 分）如图，点 A 、 B 的坐标分别为 (0, 2) ， (3, 0) ，若将线段 AB 平移至 CD ，则 c2 + d
的值为
2
第 2 页（共 22 页）

1
1
3．（3 分）已知 x = 3 + t ， y = −2t ，则用含 x 的代数式表示 y 为
．
4．（3 分）已知 m ， n 是整数，3m + 2 = 5n + 3，且3m + 2 > 30 ，5n + 3 < 40 ，则 mn 的值为
、

−5„3x + 2„9
1
5．（3 分）如果关于 x 的不等式组 
的所有整数解和为 2，则 a 的取值范围为
．
x − a…0

1
6．（3 分）某项工程，乙队单独完成任务的时间是甲队的 2.5 倍，若甲工程队先做 20 天，则乙队只需再
单独做 50 天就能恰好完成任务．现甲，乙工程队共同承包此工程，若甲工程队先做 x(x„15) 天后，由乙队
工程队接替，乙队再做 y(y < 70) 天恰好完成，其中 x ， y 是正整数，则完成此工程共耗时
天．
三.解答题（本题共 8 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1
7．（6 分）计算下列各式：
（
1） (−2)2 8 ；
+
3
（2）| 6 − 2 | +(−1)2018
．
1
8．（4 分）如图，点 D ， F 在直线 AB 上．若 ED / /FH ， ∠1= ∠2 ，求证： CD / /FG ．
1
9．（8 分）解下列方程组（不等式组）:

3x − 2(x − 2)…4

4x − 3y = 5

（
1） 
；
（2） x
x
．
2x − y = 2
−1<



2
3
第 3 页（共 22 页）

2
0．（10 分）如图，在边长为 1 的正方形网格中，将 ∆ABC 的三个顶点 A ，B ，C 分别关于 x 轴对称得到 ∆DEF ，
A ， B ， C 的对应点分别为 D ， E ， F ．
1）请在图中画出 ∆DEF ，并直接写出 D ， F 的坐标， D :
（
， F :
；
（
（
2）三角形 DEF 的面积为：
；
3）在 x 轴上有一点 P ，使得 ∆PAB 的面积为 2，求 P 点的坐标．
2
1．（10 分）根据如表回答下列问题：
x
1
7.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
17.7
17.8
17.9
x
2
292.41
295.84
299.29
302.76
306.25
309.76
313.29
316.84
320.41
（
（
1）295.84 的算术平方根是
2） 29241 = . 3.1329 =
，316.84 的平方根是
；
，
（
（
3）若 n 介于 17.6 与 17.7 之间，则满足条件的整数 n 为
4）若 325 的整数部分为 m ，求 3m − 5 的值．
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2．（10 分）如图，已知 ∠1= ∠BDC ， ∠2 + ∠3 =180° ，
（
1）求证： AD / /CE ；
（
2）若 DA 平分 ∠BDC ，CE ⊥ AE 于点 E ， ∠1= 64° ，试求 ∠FAB 的度数．
2
3．（12 分）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生健康安全，欲从商场购买一批免洗手液和 84 消毒液，
已知购买情况如表：
免洗手液
40 瓶
84 消毒液
90 瓶
总花费
1320 元
1860 元
第一次购买
第二次购买
60 瓶
120 瓶
（
1）求每瓶免洗手液和每瓶 84 消毒液的价格．
2）学校打算购买 84 消毒液和免洗手液共 100 瓶，若总花费不超过 1100 元，则至多可以购买免洗手液
（
多少瓶？
（
3）若购买参与活动物品不少于 105 瓶，商场有三种促销方案（每次消费只可选择一种促销方式）；
方案一：所有商品九折出售
方案二：每购买 5 瓶免洗手液送 2 瓶 84 消毒液
方案三：每购买 10 瓶 84 消毒液送 1 瓶免洗手液
学校打算购进 80 瓶 84 消毒液，40 瓶免洗手液，请问学校选用哪种促销方式购买更省钱？
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2
4．（12 分）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了 A ， D
两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即 PQ / /CN ， A ， B 为 PQ 上两点， AD 平分 ∠CAB 交 CN 于
点 D ， E 为 AD 上一点，连接 BE ， AF 平分 ∠BAD 交 BE 于点 F ．
（
1）若 ∠C = 40° ，求 ∠EAP 的大小；
1
6
（
2）作 AG 交CD 于点G ，且满足 ∠1= ∠ADC ，当 ∠2 + ∠GAF =180° 时，试说明： AC / /BE ；
3
5
（
3）在（1）问的条件下，探照灯 A 、 D 照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线 AC 以每秒
4
度的速度逆时针转动，探照灯 D 射出的光线 DN 以每秒 12 度的速度逆时针转动，光线 DN 转至射线 DC
后立即以相同速度顺时针回转，若它们同时开始转动，设转动时间为t 秒，当光线 DN 回到出发时的位置
时同时停止转动，则在转动过程中， t 为何值时光线 AC 与光线 DN 互相平行或垂直，请直接写出 t 的值．
第 6 页（共 22 页）

2
023-2024 学年广东省广州大学附中七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)
1．（3 分）下列方程中，是二元一次方程的是 (
)
2
A． 3x − 2y = 4z B． x + 4y = 6
C． 6x2 + 9x −1= 0
D． x = +1
y
【
（
（
解答】解：（A）含有三个未知数，故 A 不是二元一次方程．
C）最高次数项为 2 次，没有两个未知数，故C 不是二元一次方程．
D）不是整式方程，故 D 不是二元一次方程．
故选： B ．
2．（3 分）下列说法正确的是 (
)
A． 9 = ±3
B．若两个数平方后相等，则这两个数也相等
C． (−6) 是 36 的平方根
D．算术平方根一定是正数
【
解答】解： A 、 9 = 3 ，故此选项不符合题意；
B 、若两个数平方后相等，则这两个数相等或互为相反数，故此选项不符合题意；
C 、 (−6) 是 36 的平方根，故此选项符合题意；
D 、算术平方根是正数或 0，故此选项不符合题意；
故选： C ．
3．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，OP = 13 ，以点 O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交 x 轴的负
半轴于点 A ，则点 A 的横坐标介于 (
)
A．3 和 4 之间
解答】解：由题意得，OA = OP = 13 ，
点 A 在 x 轴的负半轴，
B．4 和 5 之间
C． −4 和 −3之间
D． −5 和 −4 之间
【
Q
第 7 页（共 22 页）

∴
Q
∴
∴
点 A 表示的数是 − 13 ，
9 < 13 < 16 ，
3 < 13 < 4，
−4 < − 13 < −3，
故选： C ．

x…1
4
．（3 分）如图，不等式组 
的解集在数轴上表示正确的是 (
)
x > 2

A．
B．
C．
D．

x…1
【
解答】解：不等式组 
的解集在数轴上表示正确的是：
x > 2

故选： D ．
5
)
．（3 分）在平面直角坐标系中， P(2,3) ，若 PQ 是平行于坐标轴的线段，且 PQ = 4 ，则 Q 点不能在 (
A．第二、第三象限
B．第三、第四象限
D．第四象限
C．第三象限
【
解答】解：因为点 P 坐标为 (2,3) ，且 PQ = 4 ，
当 PQ / /x 轴时，
− 4 = −2 ， 2 + 4 = 6 ，
2
所以点 Q 的坐标为 (−2, 3) 或 (6,3) ；
当 PQ / / y 轴时，
3
+ 4 = 7 ， 3 − 4 = −1，
所以点 Q 的坐标为 (2,7) 或 (2,−1) ．
显然点 Q 不能在第三象限．
故选： C ．
第 8 页（共 22 页）


x + y = −7 − k
6
．（3 分）已知关于 x ， y 的二元一次方程组 
的解 y 为非正数，则 k 的取值范围为 (
)
x − y =1+ 3k

3
3
A． k… − 2
B． k„ − 2的
x + y = −7 − k①
C． k„ −
D． k… −
2
2

【
解答】解： 
，
x − y =1+ 3k②

①
②得 2y = −8 − 4k ，
解得 y = −4 − 2k ，
Q
y 为非正数，
∴
−4 − 2k„0 ，
解得 k… − 2．
故选： A ．
7．（3 分）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若 ∠3 = 28° ，则 ∠1的度数为 (
)
A． 28°
B．52°
C．56°
D． 62°
【
∴
Q
解答】解：Q纸条两边平行，
∠1 = ∠2， 4 = ∠3 = 28°，
∠2 =180° − 90° − 28° = 62°，
∠
1= 62° ．
故选： D ．
．（3 分）如图， AB / /CD ， EG 、 EM 、 FM 分别平分 ∠AEF ，∠BEF ，∠EFD ，则图中与 ∠DFM 相等
的角（不含它本身）的个数为 (
8
)
A．5
B．6
C．7
D．8
【
解答】解：Q FM 平分 ∠EFD ，
第 9 页（共 22 页）

1
∴
∠EFM = ∠DFM = ∠CFE ，
2
Q
∴
Q
∴
EG 平分 ∠AEF ，
1
∠AEG = ∠GEF = ∠AEF ，
2
EM 平分 ∠BEF ，
1
∠BEM = ∠FEM = ∠BEF ，
2
1
∴
∠GEF + ∠FEM = (∠AEF + ∠BEF) = 90° ，即 ∠GEM = 90° ，
2
1
∠
FEM + ∠EFM = (∠BEF + ∠CFE) ，
2
Q
AB / /CD ，
∴
∠EGF = ∠AEG ， ∠CFE = ∠AEF
1
1
∴
∠FEM + ∠EFM = (∠BEF + ∠CFE) = (BEF + ∠AEF) = 90°，
2
2
∴
∴
∴
∴
在 ∆EMF 中， ∠EMF = 90° ，
∠GEM = ∠EMF ，
EG / /FM ，
与 ∠DFM 相等的角有： ∠EFM 、 ∠GEF 、 ∠EGF 、 ∠AEG 以及 ∠GEF 、 ∠EGF 、 ∠AEG 三个角的对
顶角．
故选： C ．

x − a > 0
9
．（3 分）若关于 x 的不等式组 
的解集中任何一个 x 值均不在 3„x„5 范围内，则 a 的取值范围为 (
x − a <1

)
A． a„2 或 a…5
B． a < 2 或 a > 5
C．3 < a < 4
D．3„a < 4

x − a > 0
【
解答】解：由不等式组 
可得： a < x < a +1，
x − a <1


x − a > 0
Q
关于 x 的不等式组 
的解集中任何一个 x 值均不在3„x„5 范围内，
x − a <1

∴
a +1„3或 a…5，
解得 a„2 或 a…5，
故选： A ．
第 10 页（共 22 页）

1
0．（3 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (a,0) ，点 B 的坐标为 (b,2) ，点C 的坐标

a − 2b + c =12
为 (c,d) ，其中 a ，b ，c 满足方程组 
，连接 AB ， AC ， BC ．若 ∆ABC 的面积等于 10，则
2a − b − c = 3

d 的值为 (
)
A．1
6
或
4
5
B． −
4
5
或
16
C．
24 16
或
16
D． 或 −
24
5
5
5
5
5
5

a − 2b + c =12①
【
解答】解： a ，b ， c 满足方程组 
，
2a − b − c = 3②

①
+ ②得， 3a − 3b =15 ，
化简得， a − b = 5 ③，
将③代入②得， a − c + 5 = 3 ，
化简得， a − c = −2 ，
Q
a − b = 5 ， a − c = −2 ，
点 B 在点 A 左侧，点 C 在点 A 右侧，且 A 、 B 之间横坐标为 5， A 、 C 之间得横坐标为 2，
∴
当点 C 在 x 轴下方时，大致图象如图所示，
，
此时 ∆ABC 的面积 = ∆BCD 的面积 −∆ABE 的面积 −∆ACF 的面积 正方形 AFDE 的面积，
1
2
1
1
即
× 7× (2+ | d |) − ×5× 2 − × 2×| d | −2× 2 =10 ，
2
2
2
4
解得： d = −
，
5
当点 C 在 x 轴上方时，大致图象如图所示，
第 11 页（共 22 页）

，
此时 ∆ABC 的面积 = 直角梯形 BDEC 的面积 −∆ABD 的面积 −∆AEC 的面积，
1
1
即 (2 + d)× 7 ÷ 2 − × 2×5 − × 2× d =10 ，
2
2
1
6
解得： d =
，
5
2
4
16
5
综上， d 的值为 −
或
，
5
故选： D ．
二.填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
1．（3 分）81 的算术平方根是
解答】解：81 的算术平方根是： 81 = 9．
故答案为：9．
2．（3 分）如图，点 A 、 B 的坐标分别为 (0, 2) ， (3, 0) ，若将线段 AB 平移至CD ，则 c2 + d
1
9
．
【
1
2
的值为
5
【
解答】解：Q点 A 、 B 的坐标分别为 (0, 2) ， (3, 0) ，将线段 AB 平移至 CD ， C 的坐标为 (c,3) ， D 的坐
标为 (5,d) ，
∴
∴
∴
线段 AB 向上平移 1 个单位，向右平移 2 个单位得到线段 CD ，
c = 0 + 2 = 2 ， d = 0 +1=1，
c
2
+ d = 4 +1= 5 ．
2
故答案为：5．
第 12 页（共 22 页）

1
3．（3 分）已知 x = 3 + t ， y = −2t ，则用含 x 的代数式表示 y 为
解答】解：Q x = 3 + t ，
−2x + 6
．
【
∴
Q
∴
t = x − 3 ，
y = −2t ，
y = −2(x − 3) ，
y = −2x + 6 ，
故答案为： −2x + 6．
1
4．（3 分）已知 m ， n 是整数，3m + 2 = 5n + 3，且3m + 2 > 30 ，5n + 3 < 40 ，则 mn 的值为 84 、

3m + 2 > 30
【
解答】解：由题意得 
，
3m + 2 < 40

2
8
38
3
解得
< m <
，
3
因为 m 是整数，因而 m =10或 11 或 12．

5n + 3 > 30

，
5n + 3 < 40

2
7
37
解得
< n <
，
5
5
因 n 是整数，则 n = 6 或 7．
根据3m + 2 = 5n + 3成立时， m =12， n = 7 ，
则 mn =12× 7 = 84 ．
故答案为：84．

−5„3x + 2„9
1
5．（3 分）如果关于 x 的不等式组 
的所有整数解和为 2，则 a 的取值范围为
a >1
．
x − a…0

7
7
【
解答】解：解不等式组 −5„3x + 2„9 ，得 − „x„ ，
3
3
解不等式 x − a…0 ，得 x…a ，

−5„3x + 2„9
Q
关于 x 的不等式组 
的所有整数解和为 2，
x − a…0

∴
a >1．
故答案为： a >1．
第 13 页（共 22 页）

1
6．（3 分）某项工程，乙队单独完成任务的时间是甲队的 2.5 倍，若甲工程队先做 20 天，则乙队只需再
单独做 50 天就能恰好完成任务．现甲，乙工程队共同承包此工程，若甲工程队先做 x(x„15) 天后，由乙队
工程队接替，乙队再做 y(y < 70) 天恰好完成，其中 x ， y 是正整数，则完成此工程共耗时
79 天．
【
解答】解：设甲队单独完成任务的时间是 m 天，则乙队单独完成任务的时间是 2.5m 天，
2
0
50
根据题意得：
+
=1，
m
2.5m
解得： m = 40 ，
经检验， m = 40 是所列方程的解，且符合题意．
Q
∴
∴
甲工程队先做 x(x„15) 天后，由乙队工程队接替，乙队再做 y(y < 70) 天恰好完成，
x
y
+
=1，
4
0
2.5× 40
y =100 − 2.5x ，
又Q x ， y 均为正整数，且 x„15 ， y < 70 ，

x =14
∴

，
y = 65

∴
∴
x + y =14 + 65 = 79 （天 ) ，
完成此工程共耗时 79 天．
故答案为：79．
三.解答题（本题共 8 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1
7．（6 分）计算下列各式：
（
（
【
1） (−2)2
+
3
8 ；
2）| 6 − 2 | +(−1)2018
．
解答】解：（1） (−2)2
+
3
8
=
=
2 + 2
4 ；
（
=
2）| 6 − 2 | +(−1)2018
6 − 2 +1
=
6 −1．
第 14 页（共 22 页）

1
8．（4 分）如图，点 D ， F 在直线 AB 上．若 ED / /FH ， ∠1= ∠2 ，求证： CD / /FG ．
【
∴
Q
∴
∴
∴
解答】证明：QED / /FH ，
∠EDB = ∠HFA，
∠1= ∠2，
∠EDB − ∠1= ∠HFA − ∠2 ，
∠CDB = ∠GFA ，
CD / /FG ．
1
9．（8 分）解下列方程组（不等式组）:

3x − 2(x − 2)…4

4x − 3y = 5

（
1） 
；
（2） x
x
．
2x − y = 2
−1<



2
3

4x − 3y = 5 ①
【
解答】解：（1） 
，
2x − y = 2
②

②
×2 − ①，得： y = −1，
1
2
将 y = −1代入②，得： x =
，

1
2

x =
∴
原方程组的解是 
；

y = −1


3
x
− ( − )…
4
2 x
2
①

（
2） 
，
x
x
−1n
②


2
3
解不等式①，得： x…0，
解不等式②，得： x < 6 ，
∴
该不等式组的解集是 0„x < 6 ．
第 15 页（共 22 页）

2
0．（10 分）如图，在边长为 1 的正方形网格中，将 ∆ABC 的三个顶点 A ，B ，C 分别关于 x 轴对称得到 ∆DEF ，
A ， B ， C 的对应点分别为 D ， E ， F ．
1）请在图中画出 ∆DEF ，并直接写出 D ， F 的坐标， D : (0,−2) ， F :
（
；
（
（
2）三角形 DEF 的面积为：
；
3）在 x 轴上有一点 P ，使得 ∆PAB 的面积为 2，求 P 点的坐标．
【
解答】解：（1）如图， ∆DEF 即为所求．
由图可得， D(0,−2) ， F(−1,1) ．
1
1
1
25
2
3
2
（
2）三角形 DEF 的面积为 × (2 + 3)×5 − ×3×1− × 4× 2 =
−
− 4 = 7 ．
2
2
2
故答案为：7．
（
3）设 P 点的坐标为 (m,0) ，
1
则 ×| m − 4 |×2 = 2 ，
2
解得 m = 6 或 2，
∴
P 点的坐标为 (6,0) 或 (2,0) ．
第 16 页（共 22 页）

2
1．（10 分）根据如表回答下列问题：
x
1
7.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
309.76
；
17.7
17.8
17.9
x
2
292.41
295.84
299.29
302.76
306.25
313.29
316.84
320.41
（
（
1）295.84 的算术平方根是
2） 29241 = . 3.1329 =
17.2 ，316.84 的平方根是
，
（
（
【
3）若 n 介于 17.6 与 17.7 之间，则满足条件的整数 n 为
4）若 325 的整数部分为 m ，求 3m − 5 的值．
解答】解：（1）由表格中 x 与 x2 的对应值可得，295.84 的算术平方根是 295.8 =17.2 ，316.84 的平方根
是 ± 316.84 = ±17.8 ，
故答案为：17.2，17.8；
（
2）由表格中 x 与 x2 的对应值可得， 292.41 =17.1， 313.29 =17.7 ，
∴
29241 = 292.41×100 = 292.41× 100 =17.1×10 =171，
3
13.29
313.29 17.7
3
.1329 =
=
=
=1.77 ，
1
00
故答案为：171，1.77；
3）由表格中 x 与 x2 的对应值可得， 309.76 =17.6 ， 313.29 =17.7 ，
而 n 介于 17.6 与 17.7 之间，
309.78 < n < 313.29 ，
又 n 为整数，
整数 n 的值为 310 或 311 或 312 或 313，
故答案为：310 或 311 或 312 或 313；
4）Q182 = 324 ，192 = 361，而 324 < 325 < 361，
18 < 325 <19 ，
100
10
（
∴
∴
（
∴
即 325 的整数部分为 m =18，
当 m =18时， 3m − 5 = 3×18 − 5 = 49 = 7 ．
第 17 页（共 22 页）

2
2．（10 分）如图，已知 ∠1= ∠BDC ， ∠2 + ∠3 =180° ，
（
1）求证： AD / /CE ；
（
2）若 DA 平分 ∠BDC ，CE ⊥ AE 于点 E ， ∠1= 64° ，试求 ∠FAB 的度数．
【
∴
∴
Q
∴
∴
解答】（1）证明：Q∠1= ∠BDC ，
AB / /CD （同位角相等，两直线平行），
∠2 = ∠ADC （两直线平行，内错角相等），
∠2 + ∠3 =180°，
∠ADC + ∠3 =180° （等量代换），
AD / /CE （同旁内角互补，两直线平行）；
（
∴
Q
2）解：Q∠1= ∠BDC ， ∠1= 64° ，
∠BDC = 64° ，
DA平分 ∠BDC ，
1
∴
∴
∠ADC = ∠BDC = 32° （角平分线定义），
2
∠2 = ∠ADC = 32° （已证），
又QCE ⊥ AE ，
∴
Q
∴
∴
∠AEC = 90°（垂直定义），
AD / /CE （已证），
∠FAD = ∠AEC = 90° （两直线平行，同位角相等），
∠FAB = ∠FAD − ∠2 = 90° − 32° = 58° ．
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2
3．（12 分）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生健康安全，欲从商场购买一批免洗手液和 84 消毒液，
已知购买情况如表：
免洗手液
84 消毒液
90 瓶
总花费
1320 元
1860 元
第一次购买
第二次购买
40 瓶
60 瓶
120 瓶
（
1）求每瓶免洗手液和每瓶 84 消毒液的价格．
2）学校打算购买 84 消毒液和免洗手液共 100 瓶，若总花费不超过 1100 元，则至多可以购买免洗手液
（
多少瓶？
（
3）若购买参与活动物品不少于 105 瓶，商场有三种促销方案（每次消费只可选择一种促销方式）；
方案一：所有商品九折出售
方案二：每购买 5 瓶免洗手液送 2 瓶 84 消毒液
方案三：每购买 10 瓶 84 消毒液送 1 瓶免洗手液
学校打算购进 80 瓶 84 消毒液，40 瓶免洗手液，请问学校选用哪种促销方式购买更省钱？
【
解答】解：（1）设每瓶免洗手液的价格是 x 元，每瓶 84 消毒液的价格是 y 元，

40x + 90y =1320
根据题意得： 
，
60x +120y =1860


x =15
解得： 
．
y = 8

答：每瓶免洗手液的价格是 15 元，每瓶 84 消毒液的价格是 8 元；
（
2）设购买 m 瓶免洗手液，则购买 (100 − m) 瓶 84 消毒液，
根据题意得：15m + 8(100 − m)„1100 ，
解得： m„3
00
，
7
又Qm 为正整数，
∴
m 的最大值为 42．
答：至多可以购买免洗手液 42 瓶；
（3）选择方案一所需费用为15× 0.9× 40 + 8× 0.9×80 =1116 （元 ) ；
选择方案二需购买 84 消毒液80 − 40 ÷ 5× 2 = 64 （瓶 ) ，
Q
64 + 40 =104 （瓶 ) ，104 <105，无法参与活动，
∴
需购买 65 瓶 84 消毒液，
第 19 页（共 22 页）

∴
所需费用为15× 40 + 8× 65 =1120（元 ) ；
选择方案三需购买免洗手液 40 − 80 ÷10 = 32 （瓶 ) ，
Q
∴
Q
∴
80 + 32 =112 （瓶 ) ，112 >105，可以参与活动，
所需费用为15×32 + 8×80 =1120 （元 ) ．
1116 <1120 =1120 ，
学校选用促销方式一购买更省钱．
2
4．（12 分）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了 A ， D
两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即 PQ / /CN ， A ， B 为 PQ 上两点， AD 平分 ∠CAB 交 CN 于
点 D ， E 为 AD 上一点，连接 BE ， AF 平分 ∠BAD 交 BE 于点 F ．
（
1）若 ∠C = 40° ，求 ∠EAP 的大小；
1
6
（
2）作 AG 交CD 于点G ，且满足 ∠1= ∠ADC ，当 ∠2 + ∠GAF =180° 时，试说明： AC / /BE ；
3
5
（
3）在（1）问的条件下，探照灯 A 、 D 照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线 AC 以每秒
4
度的速度逆时针转动，探照灯 D 射出的光线 DN 以每秒 12 度的速度逆时针转动，光线 DN 转至射线 DC
后立即以相同速度顺时针回转，若它们同时开始转动，设转动时间为t 秒，当光线 DN 回到出发时的位置
时同时停止转动，则在转动过程中， t 为何值时光线 AC 与光线 DN 互相平行或垂直，请直接写出 t 的值．
【
解答】解：（1）QPQ / /CN ， ∠C = 40° ，
∴
∴
Q
∴
∴
（
∠CAB + ∠C =180° ， ∠PAC = ∠C = 40° ，
∠CAB =140° ，
AD 平分 ∠CAB ，
∠CAD = 70°，
∠EAP = ∠CAD + ∠PAC =110° ；
2）QPQ / /CN ，
∴
∠ADC = ∠BAD ，
1
Q
∠1= ∠ADC ，
3
1
∴
∠1= ∠BAD ，
3
第 20 页（共 22 页）

Q
AF 平分 ∠BAD ，
∴
∠BAD = 2∠EAF ，
2
∴
∴
Q
∠1= ∠EAF ，
3
5
∠GAF = ∠1+ ∠EAF = ∠EAF ，
3
6
∠2 + ∠GAF =180° ，
5
∴
∴
Q
∴
Q
∴
∴
（
∠2 + 2∠EAF =180°，
∠2 + ∠BAD =180°，
∠2 + ∠AEB =180° ，
∠BAD = ∠AEB ，
∠BAD = ∠CAD ，
∠CAD = ∠AEB ，
AC / /BE ；
3）360° ÷12° = 30(s) ，
当 AC / /DN 时，则 ∠ACD = ∠HDN ，如图，
∠
Q
∴
∴
PB / /CH ，
∠PAC = ∠ACD ，
∠PAC = ∠HDN ，
由题意， ∠PAC = 40 + 4t ， ∠HDN =12t ，
∴
∴
40 + 4t =12t ，
t = 5s ；
当 AC ⊥ DN 时，则 ∠CND = 90° ，此时， 7.5 < t„15 ，如图，
第 21 页（共 22 页）

Q
∴
Q
∴
∴
PA / /CD ，
∠ACD = ∠PAC = 40 + 4t ，
∠NDH =12t ，
∠NDC =180 −12t ，
40 + 4t +180 −12t = 90，
6
5
∴
t =
s （不合题意，舍去）；
4
当 ND / /AC 时，则 ∠NDC = ∠ACH ，如图，
由题意， ∠MDN =12t −180 ， ∠PAC = 40 + 4t ，
∴
Q
∴
∴
∴
∠NDC =180° − ∠MDN = 360 −12t ，
PA / /CD ，
∠ACH = ∠PAC = 40 + 4t ，
40 + 4t = 360 −12t ，
t = 20s ；
当 DN ⊥ AC 时， ∠DNC = 90° ，如图，
Q
∴
Q
∴
∠NDC = 360 −12t ，
∠NDC + ∠DCN = 90° ，
∠DCN =180 − (40 + 4t) ，
360 −12t +180 − (40 + 4t) = 90 ．
2
05
∴
t =
s ．
8
2
05
综上，t 的值为5s 或 20s 或
s ．
8
第 22 页（共 22 页）