2022-2023学年广东省广州外国语学校七年级（下）期中数学试卷（含答案）.docx

2
022-2023 学年广东省广州外国语学校
七年级（下）期中数学试卷
一、选择题。（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1
．（3 分）下列运算正确的是 (
A． 4 = ±2 B． ± 52 = -5
．（3 分）电影院里的座位按“´ 排´ 号”编排，小明的座位简记为 (12, 6) ，小菲的位置简
)
C． (-7)2 = 7
D． -3 = - 3
2
记为 (12,12) ，则小明与小菲坐的位置为 (
A．同一排
)
B．前后在同一条直线上
C．中间隔六个人
D．前后隔六排
3
4
．（3 分）下列方程中，是二元一次方程的是 (
A． 2x - 3y = 4z B．5xy + 6 = 0
．（3 分）下列命题不正确的是 (
)
1
C． + 7y = 8
D．9x = y -10
x
)
A．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线垂直
B．两直线平行，内错角相等
C．对顶角相等
D．从直线外一点到直线上点的所有线段中，垂线段最短
5
．（3 分）如图所示，将四边形 ABCD 沿 BC 方向平移后得到四边形 PEFQ ，若 BF = 8 ，
CE = 4，则平移的距离为 (
)
A．2
B．3
C．4
D．5
6
7
．（3 分）估算 - 17 的值 (
)
A．在 -6 与 -5 之间 B．在 -5 与 -4 之间 C．在 -4 与 -3之间 D．在 -3与 -2 之间
．（3 分）若点 A(a,a +1) 在 x 轴上，点 B(2b -1,b) 在 y 轴上，则 a - b = (
)
3
2
1
2
A． -
B．0
C．
D． -1
第 1页（共 24页）

ì
4(x +1) + 3a(x - 2y) =16
ìx = 3
(a ， b 是常数）的解为 í
8
．（3 分）若关于 x ， y 的方程组 í
，
-b(x +1) + 2(x - 2y) =15
îy = 5
î
ì
4x + 3ay =16
则方程组 í
的解为 (
)
-bx + 2y =15
î
ì
x = 4
ìx = 2
B． í
ìx = 2
îy = -4
ìx = 4
D． í
A． í
C． í
y = -7
îy = -7
îy = -4
î
9
．（3 分）麦当劳甜品店进行促销活动，同一种甜品第一件正价，第二件半价，现购买同一
种甜品 2 件，相当于这两件甜品售价与原价相比共打了 (
A．5 折 B．5.5 折 C．7 折
0．（3 分）如图，弹性小球从点 P(0,1) 出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC
的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第 1 次碰到正方形的边时的点为 P1(2,0) ，
)
D．7.5 折
1
第 2 次碰到正方形的边时的点为 P2 ， ，第 n 次碰到正方形的边时的点为 Pn ，则点 P
的
2023
坐标是 (
)
A． (2,0)
B． (4,3)
C． (2, 4)
D． (4,1)
二、填空题。（本大题共 6 小题，每题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）比较大小：3
7 （填写“ < ”或“ > ” ) ．
1
2．（3 分）点 A(4, 2) 先向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位后的坐标为
．
ì
2m - n = 3
1
1
3．（3 分）已知二元一次方程组 í
，则 m - n 的值是
．
m - 2n = 4
î
4．（3 分）已知 10404 =102 ， x = 0.102 ，则 x =
，已知
3
3.78 =1.558 ， y =155.8 ，
3
则 y =
1
1
5．（3 分）已知， AB ^ CD 于点 O ， OE 平分 ÐAOC ， ÐBOF = 28°，则 ÐEOF =
．
6．（3 分）如图，直线 MN / /PQ ，点 A 在直线 MN 与 PQ 之间，点 B 在直线 MN 上，连接
第 2页（共 24页）

AB ． ÐABM 的平分线 BC 交 PQ 于点 C ，连接 AC ，过点 A 作 AD ^ PQ 交 PQ 于点 D ，作
5
AF ^ AB 交 PQ 于点 F ，AE 平分 ÐDAF 交 PQ 于点 E ，若 ÐCAE = 45°，ÐACB = ÐDAE ，
2
则 ÐACD 的度数是
．
三、解答题。（本大题共 9 小题，共 72 分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算
步骤）
1
7．（4 分）计算：
9
（
1） 16 + -27 - 1+
3
；
（2） (-2)2 + | 2 -1| -( 2 -1) ．
1
6
1
8．（4 分）解方程组．
ì
x
y
13
2
ì
2x + y = 4
ï +
=
（
1） í
；
（2） í2
3
．
x + 2y = 5
î
ï
5x - 2y =17
î
第 3页（共 24页）

1
9．（6 分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知 A(0,1) 、 B(2,0) 、C(4,3) ．
（1）在平面直角坐标系中画出 DABC ．
（
2）请画出 DABC 关于 y 轴对称的△ A B C ，并写出△ A B C 各顶点坐标．
1
1
1
1
1
1
（3）已知 P 为 x 轴上一点，若 DABP 的面积为 4，求点 P 的坐标．
第 4页（共 24页）

2
0．（6 分）已知某正数的两个平方根分别是 a - 3 和 2a +15 ，b 的立方根是 -2 ，求：
（1）该正数是多少？
（2） -2a - b 的算术平方根．
2
1．（8 分）如图，两直线 AB 、CD 相交于点 O ，OE 平分 ÐBOD ，如果 ÐAOC :ÐAOD = 7 :11，
（1）求 ÐCOE ；
（2）若OF ^ OE ，求 ÐCOF ．
第 5页（共 24页）

2
2．（10 分）已知平面直角坐标系中一点 P(m +1, 2m - 4) ，根据下列条件，求点 P 的坐标．
（1）若点 Q(-3, 2) ，且直线 PQ 与 y 轴平行；
（2）若点 P 到 x 轴， y 轴的距离相等．
2
3．（10 分）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装 240 辆．由于抽调不
出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上
岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1 名熟练工和 2 名新工人
每月可安装 8 辆电动汽车；2 名熟练工和 3 名新工人每月可安装 14 辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘 n(0 < n <10) 名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一
年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
第 6页（共 24页）

2
|
4 ．（ 12 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点 A(a,0) ， B(b,3) ， C(4,0) ， 且 满 足
a + b| +(a -b + 6)2 = 0 ，线段 AB 交 y 轴于点 F ，点 D 是 y 轴正半轴上的一点．
（1）求出点 A ， B 的坐标；
（2）如图 2，若 DB / /AC ，ÐBAC = a ，且 AM ，DM 分别平分 ÐCAB ，ÐODB ，求 ÐAMD
的度数；（用含 a 的代数式表示）．
3）如图 3，坐标轴上是否存在一点 P ，使得 DABP 的面积和 DABC 的面积相等？若存在，
求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由．
（
第 7页（共 24页）

2
5．（12 分）如图 1，已知直线 AB / /CD ，ÐCMN = 60° ，射线 ME 从 MD 出发，绕点 M 以
每秒 a 度的速度按逆时针方向旋转，到达 MC 后立即以相同的速度返回，到达 MD 后继续改
变方向，继续按上述方式旋转；射线 NF 从 NA 出发，绕点 N 以每秒 b 度的速度按逆时针方
向旋转，到达 NB 后停止运动，此时 ME 也同时停止运动，其中 a ， b 满足方程组
ì
4a + b =17
í
．
3a - 2b =10
î
（1）求 a ， b 的值；
（2）若 NF 先运动 30 秒，然后 ME 一起运动，设 ME 运动的时间为t ，当运动过程中 ME / /NF
时，求t 的值；
（3）如图 2，若 ME 与 NF 同时开始转动，在 ME 第一次到达 MC 之前， ME 与 NF 交于点
P ．过点 P 作 PQ ^ ME 于点 P ，交直线 AB 于点 Q ，则在运动过程中，若设 ÐNME 的度数
为 m ，请求出 ÐNPQ 的度数（结果用含 m 的代数式表示）．
第 8页（共 24页）

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022-2023 学年广东省广州外国语学校
七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1
．（3 分）下列运算正确的是 (
A． 4 = ±2 B． ± 52 = -5
解答】解： A 、 4 = 2 ，故该选项不正确，不符合题意；
)
C． (-7)2 = 7
D． -3 = - 3
【
B 、 ± 52 = ±5 ，故该选项不正确，不符合题意；
C 、 (-7)2 = 7，故该选项正确，符合题意；
D 、 -3 ，无意义，故该选项不正确，不符合题意；
故选： C ．
2
．（3 分）电影院里的座位按“´ 排´ 号”编排，小明的座位简记为 (12, 6) ，小菲的位置简
记为 (12,12) ，则小明与小菲坐的位置为 (
A．同一排
)
B．前后在同一条直线上
C．中间隔六个人
D．前后隔六排
【
解答】解：Q座位按“´ 排´ 号”编排，
小明在 12 排 6 号，小菲在 12 排 12 号，
小明与小菲都在第 12 排，是同一排，中间有 7 号、8 号、9 号、10 号、11 号、间隔 5 人．
\
\
故选： A ．
3
．（3 分）下列方程中，是二元一次方程的是 (
A． 2x - 3y = 4z B．5xy + 6 = 0
解答】解： A 、该方程中有 3 个未知数，是三元方程，不符合题意；
)
1
C． + 7y = 8
D．9x = y -10
x
【
B 、该方程的最高次数为 2，是二元二次方程，不符合题意；
C 、该方程中分母含有字母，是分式方程，不是整式方程，不符合题意；
D 、该方程满足二元一次方程的概念，是二元一次方程，符合题意；
故选： D ．
第 9页（共 24页）

4
．（3 分）下列命题不正确的是 (
)
A．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线垂直
B．两直线平行，内错角相等
C．对顶角相等
D．从直线外一点到直线上点的所有线段中，垂线段最短
解答】解： A 、在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，故原命题错误；
【
B 、两直线平行，内错角相等，正确；
C 、对顶角相等，正确；
D 、从直线外一点到直线上点的所有线段中，垂线段最短，正确，
故选： A ．
5
．（3 分）如图所示，将四边形 ABCD 沿 BC 方向平移后得到四边形 PEFQ ，若 BF = 8 ，
CE = 4，则平移的距离为 (
)
A．2
B．3
C．4
D．5
【解答】解：由平移可知： BC = EF ，
\
BC - CE = EF - CE ，
即 BE = CF ，
1
\
平移的距离 BE = (BF - CE) = 2 ，
2
故选： A ．
6
．（3 分）估算 - 17 的值 (
)
A．在 -6 与 -5 之间 B．在 -5 与 -4 之间 C．在 -4 与 -3之间 D．在 -3与 -2 之间
【解答】解：Q16 <17 < 25，
\
4 < 17 < 5 ，
\
-5 < - 17 < -4 ．
故选： B ．
7
．（3 分）若点 A(a,a +1) 在 x 轴上，点 B(2b -1,b) 在 y 轴上，则 a - b = (
)
第 10页（共 24页）

3
2
1
2
A． -
B．0
C．
D． -1
【解答】解：Q点 A(a,a +1) 在 x 轴上，点 B(2b -1,b) 在 y 轴上，
\
a +1= 0 ， 2b -1= 0 ，
1
解得： a = -1， b =
，
．
2
1
3
\
a - b = -1- = -
2
2
故选： A ．
ì
4(x +1) + 3a(x - 2y) =16
ìx = 3
(a ， b 是常数）的解为 í
8
．（3 分）若关于 x ， y 的方程组 í
，
-b(x +1) + 2(x - 2y) =15
îy = 5
î
ì
4x + 3ay =16
则方程组 í
的解为 (
)
-bx + 2y =15
î
ì
x = 4
ìx = 2
B． í
ìx = 2
îy = -4
ìx = 4
D． í
A． í
C． í
y = -7
îy = -7
îy = -4
î
ì
4(x +1) + 3a(x - 2y) =16
ìx = 3
(a ，b 是常数）的解为 í
【
解答】解：Q关于 x ， y 的方程组 í
，
-b(x +1) + 2(x - 2y) =15
îy = 5
î
ì
4x + 3ay =16
ìx = 3 +1
的解为 í
ìx = 4
，即 í
\
方程组 í
．
-bx + 2y =15
îy = 3 - 2´5
îy = -7
î
故选： A ．
．（3 分）麦当劳甜品店进行促销活动，同一种甜品第一件正价，第二件半价，现购买同一
种甜品 2 件，相当于这两件甜品售价与原价相比共打了 (
A．5 折 B．5.5 折 C．7 折
9
)
D．7.5 折
【解答】解：设第一件商品 x 元，买两件商品共打了 y 折，根据题意可得：
y
x + 0.5x = 2x´
，
1
0
解得： y = 7.5．
故相当于这两件甜品售价与原价相比共打了 7.5 折．
故选： D ．
1
0．（3 分）如图，弹性小球从点 P(0,1) 出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC
的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第 1 次碰到正方形的边时的点为 P1(2,0) ，
第 2 次碰到正方形的边时的点为 P2 ， ，第 n 次碰到正方形的边时的点为 Pn ，则点 P
的
2023
第 11页（共 24页）

坐标是 (
)
A． (2,0)
B． (4,3)
C． (2, 4)
D． (4,1)
【解答】解：如图，
根据反射角等于入射角画图，可知光线从 P 反射后到 P (0,3) ，再反射到 P (2, 4) ，再反射到
2
3
4
P
(
4
,
3
)
，
再
反
射
到
P
点
(
0
,
1
)
之
后
，
再
循
环
反
射
，
每
6
次
一
循
环
，
2
0
2
3
¸
6
=
3
3
7
¼
1 ，即点 P
2023
5
的坐标是 (2,0) ．
故选： A ．
二、填空题。（本大题共 6 小题，每题 3 分，共 18 分）
1
1．（3 分）比较大小：3
>
7 （填写“ < ”或“ > ” ) ．
解答】解：Q3 = 9 ，且9 > 7 ，
3 > 7 ，
【
\
故答案为： > ．
2．（3 分）点 A(4, 2) 先向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位后的坐标为
解答】解：点 A(4, 2) 先向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位后的坐标为 (4 + 4,2 -1) ，
1
(8,1)
．
【
即： (8,1) ．
故答案为： (8,1) ．
第 12页（共 24页）

ì
2m - n = 3
7
3
1
3．（3 分）已知二元一次方程组 í
，则 m - n 的值是
．
m - 2n = 4
î
ì
2m - n = 3①
【
解答】解： í
，
m - 2n = 4②
î
①
+ ②得 3m - 3n = 7 ，
7
\
m - n =
．
3
7
3
故答案为：
．
1
4．（3 分）已知 10404 =102 ， x = 0.102 ，则 x = 0.010404 ，已知
3
3.78 =1.558 ，
y =155.8 ，则 y =
3
【
\
Q
\
解答】解： 10404 =102 ， x = 0.102 ，
x = 0.010404，
3
3.78 =1.558 ，
3
y =155.8 ，
y = 3780000 ，
故答案为：0.010404； 3780000
5．（3 分）已知， AB ^ CD 于点 O ，OE 平分 ÐAOC ，ÐBOF = 28°，则 ÐEOF = 107° 或
1
1
63°
．
【
Q
\
Q
解答】解：①根据题意画图，如图 1．
AB ^ CD ，
ÐAOC = ÐBOC = 90° ．
OE 平方 ÐAOC ，
1
1
\
ÐCOE = ÐAOC = ´90° = 45° ．
2
2
Q
\
\
②
Q
\
ÐBOC = 90° ，
ÐCOF = ÐBOC - ÐBOF = 90° - 28° = 62° ．
EOF = ÐCOE + ÐCOF = 45° + 62° =107° ．
根据题意画图，如图 2.
AB ^ CD ，
ÐAOC = ÐBOC = 90° ．
第 13页（共 24页）

Q
OE 平方 ÐAOC ，
1
1
\
ÐCOE = ÐAOC = ´90° = 45° ．
2
2
Q
\
\
ÐBOC = 90° ，
ÐCOF = ÐBOC + ÐBOF = 90° + 28° =118°．
EOF = ÐCOE + ÐCOF = 45° +118° =163° ．
故答案为：107° 或163° ．
1
6．（3 分）如图，直线 MN / /PQ ，点 A 在直线 MN 与 PQ 之间，点 B 在直线 MN 上，连接
AB ． ÐABM 的平分线 BC 交 PQ 于点 C ，连接 AC ，过点 A 作 AD ^ PQ 交 PQ 于点 D ，作
5
AF ^ AB 交 PQ 于点 F ，AE 平分 ÐDAF 交 PQ 于点 E ，若 ÐCAE = 45°，ÐACB = ÐDAE ，
2
则 ÐACD 的度数是 27°
．
5
【
解答】解：设 ÐDAE = a ，则 ÐEAF = a ， ÐACB = a ，
2
第 14页（共 24页）

Q
AD ^ PQ ， AF ^ AB ，
\
\
\
Q
ÐBAF = ÐADE = 90° ，
ÐBAE = ÐBAF + ÐEAF = 90° +a ， ÐCEA = ÐADE + ÐDAE = 90° +a ，
ÐBAE = ÐCEA ，
MN / /PQ ， BC 平分 ÐABM ，
\
ÐBCE = ÐCBM = ÐCBA ，
又QÐABC + ÐBCE + ÐCEA + ÐBAE = 360° ，
\
\
ÐBCE + ÐCEA =180°，
AE / /BC ，
5
\
ÐACB = ÐCAE ，即 a = 45° ，
2
\
\
\
a =18°，
ÐDAE =18° ，
RtDACD 中， ÐACD = 90° - ÐCAD = 90° - (45° +18°) = 27° ，
故答案为： 27°．
三、解答题。（本大题共 9 小题，共 72 分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算
步骤）
1
7．（4 分）计算：
9
（1） 16 +
3
-27 - 1+
；
1
6
（
2） (-2)2 + | 2 -1| -( 2 -1) ．
2
5
【解答】解：（1）原式 = 4 + (-3) -
1
6
5
=
=
1-
4
1
4
-
；
（2）原式 = 2 + 2 -1- 2 +1
第 15页（共 24页）

=
2 ．
1
8．（4 分）解方程组．
ì
2x + y = 4
（
1） í
；
x + 2y = 5
î
ì
x
y
13
ï
+
=
（
2） í2
3
2
．
ï
5x - 2y =17
î
ì
2x + y = 4
【
解答】解：（1） í
，
x + 2y = 5
î
ì
2x + y = 4①
整理方程组得： í
，
2x + 4y =10②
î
①
②得： -3y = -6 ， y = 2 ，
把 y = 2 代入①得： 2x + 2 = 4 ， x = 1，
ì
x =1
\
方程组的解为 í
；
y = 2
î
ì
x
y
13
2
ï
+
=
（
2） í2
3
，
ï
5x - 2y =17
î
ì
3x + 2y = 39①
整理方程组得： í
，
5x - 2y =17②
î
①
+ ②得：8x = 56 ， x = 7 ，
把 x = 7 代入①得： 21+ 2y = 39 ， y = 9，
ì
x = 7
\
方程组的解为 í
．
y = 9
î
1
9．（6 分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知 A(0,1) 、 B(2,0) 、C(4,3) ．
（1）在平面直角坐标系中画出 DABC ．
（
2）请画出 DABC 关于 y 轴对称的△ A B C ，并写出△ A B C 各顶点坐标．
1
1
1
1
1
1
（3）已知 P 为 x 轴上一点，若 DABP 的面积为 4，求点 P 的坐标．
第 16页（共 24页）

【解答】解：（1）如图所示： DABC 即为所求；
（
2）解：如图所示：△ A B C 即为所求：
1
1
1
第 17页（共 24页）

由图可知： A (0,1) ， B (-2, 0) ，C (-4, 3) ；
1
1
1
（3）QP 为 x 轴上一点， A(0,1) 、 B(2,0)
1
2
1
\
OA =1， SDABP
=
OA× BP = ´1´ BP = 4 ，
2
\
BP = 8 ，
Q
B(2,0) ，
\
\
P 点的横坐标为： 2 + 8 =10 或 2 - 8 = -6 ；
P(10, 0) 或 P(-6, 0) ．
2
0．（6 分）已知某正数的两个平方根分别是 a - 3 和 2a +15 ，b 的立方根是 -2 ，求：
（
（
【
1）该正数是多少？
2） -2a - b 的算术平方根．
解答】解：（1）由题意，得： a - 3 + 2a +15 = 0 ，
解得： a = -4 ；
\
\
(a -3)2 = (-4 -3)2 = 49 ；
该正数是：49；
（
\
\
2）Qb 的立方根是 -2 ，
b = (-2)3 = -8 ；
-2a - b = -2´ (-4) - (-8) = 8 + 8 =16 ，
\
-2a - b = 16 = 4 ．
2
1．（8 分）如图，两直线 AB 、CD 相交于点 O ，OE 平分 ÐBOD ，如果 ÐAOC :ÐAOD = 7 :11，
（1）求 ÐCOE ；
（2）若OF ^ OE ，求 ÐCOF ．
【解答】解：（1）QÐAOC :ÐAOD = 7 :11， ÐAOC + ÐAOD =180°，
第 18页（共 24页）

\
\
Q
\
\
（
\
\
ÐAOC = 70° ， ÐAOD =110° ．
ÐBOD = 70° ．
OE 平分 ÐBOD ，
ÐDOE = 35° ，
ÐCOE =180° - 35° =145°．
2）QÐDOE = 35° ， OF ^ OE ，
ÐFOD = 55° ，
ÐFOC =180° - 55° =125°．
2
2．（10 分）已知平面直角坐标系中一点 P(m +1, 2m - 4) ，根据下列条件，求点 P 的坐标．
（
（
【
1）若点 Q(-3, 2) ，且直线 PQ 与 y 轴平行；
2）若点 P 到 x 轴， y 轴的距离相等．
解答】解：（1）Q点 Q(-3, 2) ，且直线 PQ 与 y 轴平行，点 P(m +1, 2m - 4) ，
\
\
\
（
m +1= -3，解得 m = -4 ，
2m - 4 = -8 - 4 = -12 ，
P(-3,-12) ；
2）Q点 P 到 x 轴， y 轴的距离相等，
\
| m +1|=| 2m - 4 | ，即 m +1 = 2m - 4 或 m +1= 4 - 2m ，
解得 m = 5 或 m =1，
\
\
m +1= 5 +1= 6 或 m +1=1+1= 2 ， 2m - 4 =10 - 4 = 6 或 2m - 4 = 2 - 4 = -2 ，
P(6,6) 或 P(2,-2) ．
2
3．（10 分）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装 240 辆．由于抽调不
出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上
岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1 名熟练工和 2 名新工人
每月可安装 8 辆电动汽车；2 名熟练工和 3 名新工人每月可安装 14 辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘 n(0 < n <10) 名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一
年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
解答】解：（1）设每名熟练工每月可以安装 x 辆电动汽车，新工人每月分别安装 y 辆电动
汽车，
【
第 19页（共 24页）

ì
x + 2y = 8
根据题意得 í
，
2x + 3y =14
î
ì
x = 4
解之得 í
．
y = 2
î
答：每名熟练工每月可以安装 4 辆电动汽车，新工人每月分别安装 2 辆电动汽车；
（2）设调熟练工 m 人，
由题意得，12(4m + 2n) = 240 ，
整理得， n =10 - 2m ，
Q
0 < n <10 ，
\
当 m =1，2，3，4 时， n = 8，6，4，2，
即：①调熟练工 1 人，新工人 8 人；②调熟练工 2 人，新工人 6 人；③调熟练工 3 人，新工
人 4 人；④调熟练工 4 人，新工人 2 人．
2
|
4 ．（ 12 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点 A(a,0) ， B(b,3) ， C(4,0) ， 且 满 足
a + b| +(a -b + 6)2 = 0 ，线段 AB 交 y 轴于点 F ，点 D 是 y 轴正半轴上的一点．
（1）求出点 A ， B 的坐标；
（2）如图 2，若 DB / /AC ，ÐBAC = a ，且 AM ，DM 分别平分 ÐCAB ，ÐODB ，求 ÐAMD
的度数；（用含 a 的代数式表示）．
3）如图 3，坐标轴上是否存在一点 P ，使得 DABP 的面积和 DABC 的面积相等？若存在，
求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由．
（
【
解答】解：（1）Q| a + b| +(a -b + 6)2 = 0，
\
\
\
a + b = 0 ， a - b + 6 = 0 ，
a = -3 ， b = 3，
A(-3, 0) ， B(3, 3) ；
第 20页（共 24页）

（2）如图，过点 M 作 MN / /DB ，交 y 轴于点 N ，
\
ÐDMN = ÐBDM ，
又QDB / /AC ，
\
\
Q
\
MN / /AC ，
ÐAMN = ÐMAC ，
DB / /AC ， ÐDOC = 90°，
ÐBDO = 90° ，
又Q AM ， DM 分别平分 ÐCAB ， ÐODB ， ÐBAC = a ，
1
\
\
ÐMAC = a ， ÐBDM = 45° ，
2
1
ÐAMN = a ， ÐDMN = 45° ，
2
1
\
ÐAMD = ÐAMN + ÐDMN = 45° + a ；
2
（3）存在．
连接 OB ，如图．
设 F(0,t) ，
Q
SDAOF + SDBOF = SDAOB
，
1
2
1
1
\
´3t + t ´3 = ´3´3 ，
2
2
3
2
解得t =
，
3
1
2
21
2
\
F 点坐标为 (0, ) ， S
=
´ 7´3 =
，
D
ABC
2
第 21页（共 24页）

当 P 点在 y 轴上时，设 P(0, y) ，
Q
SDABP = SDAPF + SDBPF
，
1
2
3
1
3
21
2
\
´| y - |´3 + ´| y - |´3 =
，
2
2
2
解得 y = 5或 y = -2，
此时 P 点坐标为 (0,5) 或 (0,-2) ；
当 P 点在 x 轴上时，设 P(x,0) ，
\
1
2
21
2
´
| x + 3|´3 =
，
解得 x = -10 或 x = 4 ，
\
此时 P 点坐标为 (-10,0) 或 (4,0) ，
综上可知存在满足条件的点 P ，其坐标为 (0,5) 或 (0,-2) 或 (-10,0) 或 (4,0) ．
5．（12 分）如图 1，已知直线 AB / /CD ，ÐCMN = 60° ，射线 ME 从 MD 出发，绕点 M 以
2
每秒 a 度的速度按逆时针方向旋转，到达 MC 后立即以相同的速度返回，到达 MD 后继续改
变方向，继续按上述方式旋转；射线 NF 从 NA 出发，绕点 N 以每秒 b 度的速度按逆时针方
向旋转，到达 NB 后停止运动，此时 ME 也同时停止运动，其中 a ， b 满足方程组
ì
4a + b =17
í
．
3a - 2b =10
î
（1）求 a ， b 的值；
（2）若 NF 先运动 30 秒，然后 ME 一起运动，设 ME 运动的时间为t ，当运动过程中 ME / /NF
时，求t 的值；
（3）如图 2，若 ME 与 NF 同时开始转动，在 ME 第一次到达 MC 之前， ME 与 NF 交于点
P ．过点 P 作 PQ ^ ME 于点 P ，交直线 AB 于点 Q ，则在运动过程中，若设 ÐNME 的度数
为 m ，请求出 ÐNPQ 的度数（结果用含 m 的代数式表示）．
第 22页（共 24页）

ì
4a + b =17①
【
解答】解：（1） í
，
3a - 2b =10②
î
①
②
´2 得，8a + 2b = 34③，
+ ③得， a = 4 ，
将 a = 4 代入①得， b =1，
ì
a = 4
\
；
í
b =1
î
（
\
Q
\
2）QÐCMN = 60° ， AB / /CD ，
ÐANM = 120° ，
ÐANF = 30° ，
ÐFNM = 90° ，
当 0 < t < 45时， NF 在 MN 的左侧，
Q
\
\
\
\
ME / /NF ，
ME 在 MN 的右侧，
ÐEMD = ÐANF ，
4t = 30 + t ，
t =10；
当 45 < t < 90 时， NF 在 MN 的左侧，
Q
\
\
\
ME / /NF ，
ME 在 MN 的右侧，
360 - 4t = 30 + t ，
t = 66；
当 90 < t <135 时， NF 在 MN 的右侧，
Q
\
\
\
NF / /ME ，
ME 在 MN 的左侧，
4t - 360 = 30 + t ，
t =130 ；
当 t >135 时， 4t - 540 =150 - t ，
t =138 ，
综上所述：t 的值为 10 或 66 或 130 或 138；
\
第 23页（共 24页）

（
Q
\
Q
\
2）延长 QP 交CD 于点G ，
ÐNME 的度数为 m ，
ÐPMC = 60° - m ，
ÐEMD = 4t ，
60° - m =180° - 4t ，
1
\
t = 30° + m ，
4
Q
PQ ^ EM ，
\
\
Q
\
ÐGFM = 90°，
ÐFGD = 30° + m ，
AB / /CD ，
ÐAQP = 30° + m ，
Q
ÐANF = t ，
\
ÐAQP = ÐANF + ÐQPN ，即 30° + m = t + ÐQPN ，
3
\
ÐQPN = 30° + m - t = m ．
4
第 24页（共 24页）