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第四章 数列
[例1]已知数列1,4,7,10,…,37,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式;(2)指出1+4+…+(3n-5)是该数列的前几项之和.
正解:(1)3n-2;
(2) 1+4+…+(3n-5)是该数列的前n-1项的和.
[例2] 已知数列的前n项之和为① ②
求数列的通项公式。
正解: ①当时,
当时,
经检验 时 也适合,
②当时,
当时,
∴
[例3] 已知等差数列的前n项之和记为,S10=10 ,S30=70,则S40等于 。
正解:由题意:得
代入得S40 =。
[例5]已知一个等差数列的通项公式25-5n,求数列的前n项和;
正解:
[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,
由此可以确定求其前项和的公式吗?
[例7]已知: () (1) 问前多少项之和为最 大?(2)前多少项之和的绝对值最小?
解:(1) ∴
(2)
当近于0时其和绝对值最小
令: 即 1024+
得:
∵ ∴
[例8]项数是的等差数列,中间两项为是方程的两根,求证此数列的和是方程 的根。 ()
证明:依题意
∵ ∴
∵
∴ ∴ (获证)。
四、典型习题导练
1.已知,求及。
2.设,求证:。
3.求和:
4.求和:
5.已知依次成等差数列,求证:依次成等差数列.
6.在等差数列中, ,则 ( )。
A.72 B.60 C.48 D.36
7. 已知是等差数列,且满足,则等于。
8.已知数列成等差数列,且,求的值。
§4.2等比数列的通项和求和
三、经典例题导讲
[例1] 已知数列的前n项之和(为非零常数),则为( )。
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列,也不是等比数列
D.既是等差数列,又是等比数列
正解:当n=1时,a11=;
当n>1时,
(常数)
但
既不是等差数列,也不是等比数列,选C。
[例2] 已知等比数列的前n项和记为,S10=10 ,S30=70,则S40等于.
错解:S30= S10·q 2. q 2=7,q=, S40= S30·q =.
错因:是将等比数列中, S2m -, S3m -S2m成等比数列误解为, S2m, S3m成等比数列.
正解:由题意:得,
S40=.
[例3] 求和:23+….
错解: 23+…=.
错因:是(1)数列{}不一定是等比数列,不能直接套用等比数列前n项和公式(2)用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.
正解:当a=0时,23+…=0;
当a=1时,23+…=n;
当a1时, 23+…=.
[例4]设均为非零实数,,
求证:成等比数列且公比为。
证明:
证法一:关于的二次方程有实根,
∴,∴
则必有:,即,∴非零实数成等比数列
设公比为,则,代入
∵,即,即。
证法二:∵
∴
∴,∴,且
∵非零,∴。
[例5]在等比数列中,,求该数列前7项之积。
解:
∵,∴前七项之积
[例6]求数列前n项和
解: ①
②
两式相减:
[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2的容器中倒出1盐水,然后加入1水,以后每次都倒出1盐水,然后再加入1水,
问:(1)第5次倒出的的1盐水中含盐多?
(2)经6次倒出后,一共倒出多少盐?此时加1水后容器内盐水的盐的质量分数为多少?
解:(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{},则:
a1= 0.2 (), a2=×0.2(), a3= ()2×0.2()
由此可见: ()n-1×0.2(), a5= ()5-1×0.2= ()4×0.2=0.0125()。
(2)由(1)得{}是等比数列 a1=0.2 ,
答:第5次倒出的的1盐水中含盐0.0125;6次倒出后,一共倒出0.39375盐,此时加1水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。
四、典型习题导练
1.求下列各等比数列的通项公式:
1) a1=-2, a3=-8
2) a1=5, 且21=-3
3) a1=5, 且
2.在等比数列,已知,,求.
3.已知无穷数列,
求证:(1)这个数列成等比数列
(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的,
(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
4.设数列为求此数列前项的和。
5.已知数列{}中,a1=-2且1,求
6.是否存在数列{},其前项和组成的数列{}也是等比数列,且公比相同?
7.在等比数列中,,求的范围。
§4.3数列的综合应用
三、经典例题导讲
[例1]设是由正数组成的等比数列,是其前n项和.证明:。
错解:欲证
只需证>2
即证:>
由对数函数的单调性,只需证<
-=
=-
<
原不等式成立.
错因:在利用等比数列前n项和公式时,忽视了q=1的情况.
正解:欲证
只需证>2
即证:>
由对数函数的单调性,只需证<
由已知数列是由正数组成的等比数列,
>0,.
若,
则-= =-<0;
若,
-=
=-
<
原不等式成立.
[例4]求数列的前n项和。
解:设数列的通项为,前n项和为,则
当时,
当时,
[例5]求数列前n项和
解:设数列的通项为,则
[例6]设等差数列{}的前n项和为,且,
求数列{}的前n项和
解:取n =1,则
又由 可得:
[例7]大楼共n层,现每层指定一人,共n人集中到设在第k层的临时会议室开会,问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。(假定相邻两层楼梯长相等)
解:设相邻两层楼梯长为a,则
当n为奇数时,取 S达到最小值
当n为偶数时,取 S达到最大值
四、典型习题导练
3.已知数列中,是它的前项和,并且,
(1) 设,求证数列是等比数列;
(2) 设,求证数列是等差数列。
4.在△中,三边成等差数列,也成等差数列,求证△为正三角形。 5. 三数成等比数列,若将第三个数减去32,则成等差数列,若再将这等差数列的第二个数减去4,则又成等比数列,求原来三个数。
6. 已知 是一次函数,其图象过点 ,又 成等差数列,求的值.
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