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等差数列典型例题及分析.doc

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第四章 数列 [例1]已知数列1,4,7,10,…,37,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式;(2)指出1+4+…+(3n-5)是该数列的前几项之和. 正解:(1)3n-2; (2) 1+4+…+(3n-5)是该数列的前n-1项的和. [例2] 已知数列的前n项之和为① ② 求数列的通项公式。 正解: ①当时, 当时, 经检验 时 也适合, ②当时, 当时, ∴ [例3] 已知等差数列的前n项之和记为,S10=10 ,S30=70,则S40等于 。 正解:由题意:得 代入得S40 =。 [例5]已知一个等差数列的通项公式25-5n,求数列的前n项和; 正解: [例6]已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220, 由此可以确定求其前项和的公式吗? [例7]已知: () (1) 问前多少项之和为最 大?(2)前多少项之和的绝对值最小? 解:(1) ∴ (2) 当近于0时其和绝对值最小 令: 即 1024+ 得: ∵ ∴ [例8]项数是的等差数列,中间两项为是方程的两根,求证此数列的和是方程 的根。 () 证明:依题意 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ (获证)。 四、典型习题导练 1.已知,求及。 2.设,求证:。 3.求和: 4.求和: 5.已知依次成等差数列,求证:依次成等差数列. 6.在等差数列中, ,则 (       )。 A.72  B.60  C.48  D.36 7. 已知是等差数列,且满足,则等于。 8.已知数列成等差数列,且,求的值。 §4.2等比数列的通项和求和 三、经典例题导讲 [例1] 已知数列的前n项之和(为非零常数),则为( )。 A.等差数列    B.等比数列   C.既不是等差数列,也不是等比数列 D.既是等差数列,又是等比数列 正解:当n=1时,a11=; 当n>1时, (常数) 但 既不是等差数列,也不是等比数列,选C。 [例2] 已知等比数列的前n项和记为,S10=10 ,S30=70,则S40等于. 错解:S30= S10·q 2. q 2=7,q=, S40= S30·q =. 错因:是将等比数列中, S2m -, S3m -S2m成等比数列误解为, S2m, S3m成等比数列. 正解:由题意:得, S40=. [例3] 求和:23+…. 错解: 23+…=. 错因:是(1)数列{}不一定是等比数列,不能直接套用等比数列前n项和公式(2)用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1. 正解:当a=0时,23+…=0; 当a=1时,23+…=n; 当a1时, 23+…=. [例4]设均为非零实数,, 求证:成等比数列且公比为。 证明: 证法一:关于的二次方程有实根, ∴,∴ 则必有:,即,∴非零实数成等比数列 设公比为,则,代入 ∵,即,即。 证法二:∵ ∴ ∴,∴,且 ∵非零,∴。 [例5]在等比数列中,,求该数列前7项之积。 解: ∵,∴前七项之积 [例6]求数列前n项和 解: ① ② 两式相减: [例7]从盛有质量分数为20%的盐水2的容器中倒出1盐水,然后加入1水,以后每次都倒出1盐水,然后再加入1水, 问:(1)第5次倒出的的1盐水中含盐多? (2)经6次倒出后,一共倒出多少盐?此时加1水后容器内盐水的盐的质量分数为多少? 解:(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{},则: a1= 0.2 (), a2=×0.2(), a3= ()2×0.2() 由此可见: ()n-1×0.2(), a5= ()5-1×0.2= ()4×0.2=0.0125()。 (2)由(1)得{}是等比数列 a1=0.2 , 答:第5次倒出的的1盐水中含盐0.0125;6次倒出后,一共倒出0.39375盐,此时加1水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。 四、典型习题导练 1.求下列各等比数列的通项公式: 1) a1=-2, a3=-8 2) a1=5, 且21=-3 3) a1=5, 且 2.在等比数列,已知,,求. 3.已知无穷数列, 求证:(1)这个数列成等比数列 (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的, (3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 4.设数列为求此数列前项的和。 5.已知数列{}中,a1=-2且1,求 6.是否存在数列{},其前项和组成的数列{}也是等比数列,且公比相同? 7.在等比数列中,,求的范围。 §4.3数列的综合应用 三、经典例题导讲 [例1]设是由正数组成的等比数列,是其前n项和.证明:。 错解:欲证 只需证>2 即证:> 由对数函数的单调性,只需证< -= =- < 原不等式成立. 错因:在利用等比数列前n项和公式时,忽视了q=1的情况. 正解:欲证 只需证>2 即证:> 由对数函数的单调性,只需证< 由已知数列是由正数组成的等比数列, >0,. 若, 则-= =-<0; 若, -= =- < 原不等式成立. [例4]求数列的前n项和。 解:设数列的通项为,前n项和为,则 当时, 当时, [例5]求数列前n项和 解:设数列的通项为,则 [例6]设等差数列{}的前n项和为,且, 求数列{}的前n项和 解:取n =1,则 又由 可得: [例7]大楼共n层,现每层指定一人,共n人集中到设在第k层的临时会议室开会,问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。(假定相邻两层楼梯长相等) 解:设相邻两层楼梯长为a,则 当n为奇数时,取 S达到最小值 当n为偶数时,取 S达到最大值 四、典型习题导练 3.已知数列中,是它的前项和,并且, (1) 设,求证数列是等比数列; (2) 设,求证数列是等差数列。 4.在△中,三边成等差数列,也成等差数列,求证△为正三角形。 5. 三数成等比数列,若将第三个数减去32,则成等差数列,若再将这等差数列的第二个数减去4,则又成等比数列,求原来三个数。 6. 已知 是一次函数,其图象过点 ,又 成等差数列,求的值.
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