半角旋转模型.doc

.内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型
探究：（1）如图1，在正方形中，E、F分别是、上的点，且∠＝45°，试判断、和三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；
（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形中，＝，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边、上的点，且∠∠”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）在（2）问中，若将△绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到、延长线上时，
如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..

小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点E、F分别为、边上的点，∠45°，连结，求证：．

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△绕点A顺时针旋转90°得到△（如图2），此时即是．
请回答：在图2中，∠的度数是．
参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形中，∥（＞），
∠90°，10，E是上一点，若∠45°，
4，则．
（2）如图4，在平面直角坐标系中，点B是x轴上一
动点，且点A（，2），连结和，并以为边向上作
正方形，若C（x，y），试用含x的代数式表示y，
则．

已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点M、N．
（1）如图1，当绕点旋转到时，有．当 绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．

24． 如图1，在等腰直角△中，∠90°，2，点E是边上一点，∠45°且角的两边分别和边，射线交于点P，Q.
（1）如图2，若点E为中点，将∠绕着点E逆时针旋转，和边交于点P，和的延长线交于点Q.设为x，为y，试求y和x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如图3，点E在边上沿B到C的方向运动（不和B，C重合），且始终经过点和边交于Q点．探究：在∠运动过程中，△能否构成等腰三角形，若能，求出的长；若不能，请说明理由．

海淀25．如图1，两个等腰直角三角板和有一条边在同一条直线上，， ．将直线绕点逆时针旋转，交直线于点．将图1中的三角板沿直线向右平移，设、两点间的距离为．

图1 图2 图3
解答问题：
（1）①当点和点重合时，如图2所示，可得的值为；
②在平移过程中，的值为 （用含的代数式表示）；
（2）将图2中的三角板绕点逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点落在线段上时，如图3所示，请补全图形，计算的值；
（3）将图1中的三角板绕点C逆时针旋转度，≤，原题中的其他条件保持不变.计算的值（用含k的代数式表示）．

昌平22. 阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形内有一点P，且3 ，4，5，求∠的度数.
小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
图1 图2 图3 图4

请你回答：图1中∠的度数等于.
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在正方形内有一点P，且，1，，则∠的度数等于，正方形的边长为；
（2）如图4，在正六边形内有一点P，且，1，，则∠的度数等于，正六边形的边长为．

通州24.（9分）在平面直角坐标系中，点B(0，3)，点C是x轴正半轴上一点，连结，过点C作直线∥y轴.
（1）若含45°角的直角三角形如图所示放置．其中，一个顶点和点O重合，直角顶点D在线段上，另一个顶点E在上．求点C的坐标；
（2）若含30°角的直角三角形一个顶点和点O重合，直角顶点D在线段上，另一个顶点E在上，求点C的坐标．

(西城19)如图所示，在平面直角坐标系中，正方形的边长为1，将其沿轴的正方向连续滚动，即先以顶点A为旋转中心将正方形顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n个正方形．设滚动过程中的点P的坐标为．
（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P的坐标；
（2）画出点运动的曲线（0≤≤4），并直接写出该曲线和轴所围成区域的面积．

东城24. 问题1：如图1，在等腰梯形中，∥，，点M，N分别在，上，若∠∠，试探究线段，，有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；
问题2：如图2，在四边形中，，∠∠180°，点M，N分别在，的延长线上，若∠∠仍然成立，请你进一步探究线段，，又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.

昌平24．在△中，4，6，∠30°，将△绕点B按逆时针方向旋转，得到△A11．（1）如图1，当点C1在线段的延长线上时，求∠1A1的度数；
（2）如图2，连接1，1．若△1的面积为3，求△1的面积；
（3）如图3，点E为线段中点，点P是线段上的动点，在△绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段1长度的最大值和最小值．

朝阳24．在△中，∠90°，D、E分别为、上的点．
（1）如图1，，，过点C作∥，且，连接交于点G，连接，请你直接写出的值；
（2）如图2，，，，求k的值．
图2
图1

西城24．在△中，∠90°，∠，点P在△的内部．
(1) 如图1，2，3，点M、N分别在、边上，则，
△周长的最小值为；
(2)如图2，若条件2不变，而，，1，求△的面积；
(3) 若，，，且，直接写出∠的度数．

门头沟24．已知：在△中，＝，点D为边的中点，点F是边上一点，点E在线段的延长线上，点M在线段上，且∠＝∠，∠＝∠．
（1） 如图1，当∠＝45°时，线段 和之间的数量关系是；
（2） 如图2，当∠＝60°时，线段 和之间的数量关系是；
（3）① 如图3，当（）时，线段 和之间的数量关系是；
② 在（2）的条件下延长到P，使＝，连结，若＝7，＝，
图1
图2
图3
求∠的值．

顺义24．如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合．三角板的一边交于点，另一边交的延长线于点
（1）求证：；
（2）如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，求的值．

朝阳22．阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题，如图1, △中，∠30º，6，5，在△
图2
内部有一点P，连接、、，求的最小值．

图3
图1

小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△绕点C顺时针旋转60º，得到△，连接、，则的长即为所求．
（1）请你写出图2中，的最小值为；
（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
①如图3，菱形中，∠60º，在菱形内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形的边长为4，请直接写出当值最小时的长．

丰台24．在△中，，∠90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边上，将三角板绕点O旋转．
（1）当点O为中点时，
①如图1， 三角板的两直角边分别交，于E、F两点，连接，猜想线段、和之间存在的等量关系（无需证明）；
②如图2， 三角板的两直角边分别交，延长线于E、F两点，连接，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

2）当点O不是中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交，于E、F两点，若，
C
O
B
A
O
E
图1
F
B
A
O
C
E
F

A
B
C
E
F
图2
图3
求的值．

朝阳期末25已知：在中，于点D，点E在上，交于点G，交于点F。
如图甲，当时，且时，则有；
（1）如图乙①，当时，且时，则线段和的数量关系是：；
（2）如图乙②，当时，且时，请探究线段和的数量关系，并证明你的结论；
（3）当时且时，则线段和的数量关系，并直接写出你的结论（不用证明）；

西城期末24．已知：如图，正方形的边长为a，，分别平分正方形的两个外角，且满足
，连结，，．
（1）填空：和△相似的三角形是△，=；（用含a的代数式表示）
（2）求的度数；
（3）猜想线段，和之间的等量关系并
证明你的结论．

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