2023-2024学年广东省实验中学七年级（下）期中数学试卷（含答案）.docx

2023-2024 学年广东省实验中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）下列四个数中，属于无理数的是( )
3 16
4
A．0.65 B． 1 C． D．
3
2．（3 分）如图， a / /b ， Ð2 = 75° ，则Ð1 的度数是( )
A．105° B． 75° C．115° D． 65°
3．（3 分）如图，现要在李庄附近建一高铁站，为了使李庄的人乘车最方便，那么选高铁线上的点 A 来建高铁站，理由是( )

A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直

4．（3 分）若 x|t-2| + (t - 3) y = 1 是关于 x ， y 的二元一次方程，则t 的值为( )

A．1 B．3 或 1 C．3 D．3 或 0

5．（3 分）如图，在DABC 中， BC = 7 ．把DABC 沿 RS 的方向平移到DDEF 的位置，若CF = 4 ，则下列结论中错误的是( )

第 24 页（共 24 页）

A. EF = 7
B. BE = 4
C. AC / / DF D． DF = 7

í = -y 2
6．（3 分）已知ì x = 1
î
是二元一次方程 ax - by = 3 的解，则2a + 4b - 2 的值是( )

A．2 B．4 C．6 D．9 7．（3 分）下列命题中为真命题的是( )
16
A． = ±4

B．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行C．同旁内角互补
D．有理数与数轴上的点一一对应
8．（3 分）在平面直角坐标系中，点 M 的坐标是(-1, 2) ， MN ^ x 轴， MN = 3 ，则点 N 的坐标是( )

A． (-1, 5)
C． (2, 2) 或(-4, 2)
B． (2, 2)

D． (-1, -1) 或(-1, 5)

9．（3 分）如图，将一张长方形纸片进行折叠，若Ð2 - Ð1 = 20° ，则ÐEFC 的度数为( )

A．130° B．100° C． 80° D．150°
10．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 从原点O 出发，沿 x 轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为 1 个单位长度，这时点 A1 、 A2 、 A3 、 A4 的坐标分别为 A1 (0, 0) ，
A2 (1,1) ， A3 (2, 0) ， A4 (3, -1) ，则点 A2024 的坐标为( )

A． (2024, 0) B． (2025, -1) C． (2023,1) D． (2023, -1)
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）81 的算术平方根是 ．
12．（3 分）将方程 x - 2 y = 5 变形为用含 x 的代数式表示 y 的形式是 y = ．

13．（3 分）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载．如图是经典残局“七星聚会”的一部分，如果“车”的位置表示为(2, -2) ，“兵”的位置表示为(-2, 0) ，那么“炮”的位置应表示为 ．

14．（3 分）如图，木棒 AB 、CD 与 EF 分别在G 、H 处用可旋转的螺丝铆住，ÐEGB = 110° ，ÐEHD = 85° ，将木棒 AB 绕点G 逆时针旋转到与木棒CD 平行的位置，则至少要旋转 ° ．

15．（3 分）如图，直线 AB / /CD ， AE ^ CE ， Ð1 = 126° ，则ÐC = ° ．

16．（3 分）定义：在平面直角坐标系 xOy 中，将点 P(x, y) 变换为 P(kx + b ， by + k )(k 、b 为常数），我们把这种变换称为“ SS 变换”．已知点 A(2,1) ，B(m, 2n) ，C(m + 3, 2n) 经过“ SS 变换”的对应点分别是 D(5, 3) ，
E ， F ．若 S三角形AEF = 4 ，则 k + b = ， n = ．

三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分．解答应写出适当的文字说明、证明过程或演算步骤）
2
3
3
17．（9 分）计算：

4
1
9
（1） 3 -27 + - ； （2）
3(3 -
) - 32 + |
- 2 |．

18．（9 分）解方程组：

ì y = 7 - 2x


ì 9s + 2t = 15

（1） í - = ． （2） í - - = ．

î3x 4 y 5
î3s
4(1
t) 6

19．（9 分）如图， AE 是ÐDAB 的平分线， AE / /CB ， ÐB = 40° ，求ÐC 的度数．（请写出推理依据）

20．（9 分）如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE 平分∠ADC 交 BC 于点 E，试说明 AB∥DE．下面是小林同学的证明，请你完善解答过程，并在括号内填写相应的推理依据．
证明：∵AD∥BC，（已知）

∴∠1＝∠ ＝60°，（ ）

∵∠1＝∠C，（已知）

∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换）

∵AD∥BC，（已知）

∴∠C+∠ ＝180°． （ ）

∴∠ ＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）

∵DE 平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE＝ 1 ÐADC = 1 ×120°＝60°． （ ）

2 2
∴∠1＝∠ADE． （ ）

∴AB∥DE． （ ）

10
21．（9 分）已知一个数 m 的两个平方根分别为 a 和 a - 2 ．

（1） 求 m 的值；

（2） 如图在数轴上，若点 A 表示的数是 a ，点 M 表示的数是 m ，点 B 表示的数是b ，点 B 在点 A 的左侧

10
且满足 BA = 2 AM ，求b - 3 + 28 的立方根．

22．（9 分）如图，每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系后，三角形 ABC 的顶点坐标为 A(1, -4) ， B(5, -5) ， C(5, -1) ．
（1）把三角形 ABC 向左平移 5 个单位长度再向上平移 6 个单位长度得到△ A¢B¢C¢ ，在图中画出三角形
A¢B¢C¢ ；
（2）（1）中的三角形 A¢B¢C¢ 面积为 ；

（3）在 x 轴的负半轴上是否存在点 P ，使 S

说明理由．


三角形A¢B¢P
= 1 S
2


三角形A¢B¢C

．若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，

23．（9 分）一个优秀的现代城市必定蕴含科技、人文、生态三大内涵．结合广州的规划目标和照明现状历

史文化底蕴和现代化大都会地位，自 2011 年创办的“广州国际灯光节”，现与法国、悉尼并列为世界三大灯光节．广州采用“政府搭台、企业唱戏“的市场化模式，通过整合现有市场资源、引导企业参与，走市场化道路来举办年度公共文化盛事．2023 年的广州国际灯光节分三大版块：“炫美湾区”、“光耀羊城”和 “智造未来”．为保障市民游客安全有序、顺利参与，在广场两侧各安置了灯带，不间断地交叉照射巡视．如图 1，灯 A 射线自 AN 逆时针旋转至 AM 便立即回转，灯 B 射线自 BQ 顺时针旋转至 BP 便立即回转．若灯A 转动的速度是 a° / 秒，灯 B 转动的速度是 b° / 秒．假定广场两侧的灯带是平行的，即 PQ / /MN ，且
ÐABQ = 120° ．

（1） 当 a = 3 时，灯 A 射线经过多少秒，第一次照射到灯 B ；
（2） 若 a = 3 ，b = 4 ，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为t(0 < t < 60) 秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的t ；
（3） 两灯以（2）中的速度同时转动，如图 2，在灯 B 射线到达 BP 之前，若射出的光束 AC ， BC 交于点

C ．

① ÐBCA = （用含t 的代数式表示）；
②作ÐDCA = 150° ，请求出ÐABC 与ÐBCD 的数量关系．

5 - a
24．（9 分）如图 1，点 M (0, a - 3) ， N (b, 0) ，且满足(b - a + 8)2 + = 0 ．

（1） 直接写出 M 、 N 的坐标： M ， N ；
（2） 点 P 以每秒 2 个单位长度从点 M 向 y 轴负半轴运动，同时，点Q 以每秒 3 个单位长度从 N 点向 x 轴正半轴运动，直线 NP ， MQ 交于点 D ，设点 P ， Q 运动的时间为t 秒．
①当1 < t < 2 时，求证： S三角形MPD = S三角形NQD ；
②如图 2，当ÐQMN + ÐPNM = 180° 时，在线段 MQ 上任取一点 E ，连接 EO ．点G 为ÐOEQ 的角平分线上一点，且满足ÐGNP = 1 ÐONG ．请将图 2 补全，并求ÐNOE 、ÐOEG 、ÐG 之间的数量关系．
2

2023-2024 学年广东省实验中学七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）下列四个数中，属于无理数的是( )
3 16
4
A．0.65 B． 1 C． D．
3
【解答】解： A 、0.65 是有理数，不是无理数，不符合题意；
1
B 、 是有理数，不是无理数，不符合题意；
3

3 16
C 、 开方开不尽，是无理数，符合题意；

4
D 、 = 2 是有理数，不是无理数，不符合题意，

故选： C ．
2．（3 分）如图， a / /b ， Ð2 = 75° ，则Ð1 的度数是( )
A．105° B． 75° C．115° D． 65°
【解答】解：如图，

Q a / /b ，
\Ð3 = Ð2 = 75° ，
\Ð1 = Ð3 = 75° ． 故选： B ．

3．（3 分）如图，现要在李庄附近建一高铁站，为了使李庄的人乘车最方便，那么选高铁线上的点 A 来建高铁站，理由是( )

A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直

【解答】解：根据垂线段最短可得：应建在 A 处，理由：垂线段最短． 故选： C ．
4．（3 分）若 x|t-2| + (t - 3) y = 1 是关于 x ， y 的二元一次方程，则t 的值为( )

A．1 B．3 或 1 C．3 D．3 或 0

【解答】解： x|t-2| + (t - 3) y = 1 是关于 x ， y 的二元一次方程，

\| t - 2 |= 1 且t - 3 ¹ 0 ， 解得： t = 1 ，
故选： A ．

5．（3 分）如图，在DABC 中， BC = 7 ．把DABC 沿 RS 的方向平移到DDEF 的位置，若CF = 4 ，则下列结论中错误的是( )

A. EF = 7
B. BE = 4
C. AC / / DF D． DF = 7

【解答】解：Q把DABC 沿 RS 的方向平移到DDEF 的位置， BC = 7 ， CF = 4 ，
\ EF = BC = 7 ， AC / / DF ，故选项 AC 正确，不符合题意；
\ BC - CE = EF - CE ，
\ BE = CF = 4 ，选项 B 正确，不符合题意；
DF 长度不能确定；故选项 D 错误，符合题意；

故选： D ．

í y = -2
6．（3 分）已知ì x = 1
î


是二元一次方程 ax - by = 3 的解，则2a + 4b - 2 的值是( )

A．2 B．4 C．6 D．9

【解答】解：根据题意得， a + 2b = 3 ，
\ 2a + 4b - 2 = 2(a + 2b) - 2 = 3 ´ 2 - 2 = 4 ， 故选： B ．
7．（3 分）下列命题中为真命题的是( )

16
A． = ±4

B．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行C．同旁内角互补
D．有理数与数轴上的点一一对应

16
【解答】解： A 、 = 4 ，故该选项错误，不符合题意，

B 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项正确，符合题意，

C 、两直线平行，同旁内角互补，故该选项错误，不符合题意， D 、实数与数轴上的点一一对应，故该选项错误，不符合题意， 故选： B ．
8．（3 分）在平面直角坐标系中，点 M 的坐标是(-1, 2) ， MN ^ x 轴， MN = 3 ，则点 N 的坐标是( )

A． (-1, 5)
C． (2, 2) 或(-4, 2)
B． (2, 2)

D． (-1, -1) 或(-1, 5)

【解答】解：Q点 M 的坐标是(-1, 2) ， MN ^ x 轴，
\点 N 的横坐标为-1 ，
Q MN = 3 ，
\点 B 的纵坐标为： 2 + 3 = 5 或 2 - 3 = -1，
\点 B 的坐标为： (-1, 5) 或(-1, -1) ． 故选： D ．
9．（3 分）如图，将一张长方形纸片进行折叠，若Ð2 - Ð1 = 20° ，则ÐEFC 的度数为( )

A．130° B．100° C． 80° D．150°
【解答】解：由题意得： AD / / BC ，

\Ð1 + Ð2 = 180° ， ÐDEG = Ð2 ， ÐDEF + ÐEFC = 180° ，

QÐ2 - Ð1 = 20° ，
\ 2Ð2 = 200° ，
解得： Ð2 = 100° ，
\ÐDEG = 100° ，
由折叠可得ÐDEF = ÐFEG ，
\ÐDEF = 50° ，
\ÐEFC = 180° - ÐDEF = 130° ． 故选： A ．
10．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 从原点O 出发，沿 x 轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为 1 个单位长度，这时点 A1 、 A2 、 A3 、 A4 的坐标分别为 A1 (0, 0) ，
A2 (1,1) ， A3 (2, 0) ， A4 (3, -1) ，则点 A2024 的坐标为( )

A． (2024, 0) B． (2025, -1) C． (2023,1) D． (2023, -1)

【解答】解：Q A1 (0, 0) ， A2 (1,1) ， A3 (2, 0) ， A4 (3, -1) ，
\根据图形可知点的位置每 4 个数一个循环，横坐标为脚标数减 1， 2024 ¸ 4 = 506 ，

\ A2024 与 A4 的纵坐标相同，

\ A2024 (2023, -1)

故选： D ．

二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）

11．（3 分）81 的算术平方根是 9 ．

81
【解答】解：81 的算术平方根是： = 9 ．

故答案为：9．

12．（3 分）将方程 x - 2 y = 5 变形为用含 x 的代数式表示 y 的形式是 y =

【解答】解：方程 x - 2 y = 5 ，

x - 5 ．
2

解得： y = x - 5 ，
2
故答案为： x - 5
2
13．（3 分）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载．如图是经典残局“七星聚会”的一部分，如果“车”的位置表示为(2, -2) ，“兵”的位置表示为(-2, 0) ，那么“炮”的位置应表示为 (0,1) ．

【解答】解：Q “车”的位置用(2, -2) 表示，“兵”的位置表示为(-2, 0) ，
\以“兵”所在的行为 x 轴，以“车”向左数两列所在的列线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

\ “炮”的位置应表示为(0,1) ， 故答案为： (0,1) ．
14．（3 分）如图，木棒 AB 、CD 与 EF 分别在G 、H 处用可旋转的螺丝铆住，ÐEGB = 110° ，ÐEHD = 85° ，将木棒 AB 绕点G 逆时针旋转到与木棒CD 平行的位置，则至少要旋转 25 ° ．

【解答】解：过点G 作 MN / /CD ，

\ÐEHD = ÐEGN = 85° ，
QÐEGB = 110° ，
\ÐBGN = ÐEGB - ÐEGN = 110° - 85° = 25° ，
\ÐEGB 需要变小 25° ，即木棒 AB 绕点G 逆时针旋转 25° ， 故答案为： 25° ．
15．（3 分）如图，直线 AB / /CD ， AE ^ CE ， Ð1 = 126° ，则ÐC = 36 ° ．

【解答】解：Q AE ^ CE ， Ð1 = 126° ，
\ÐAEC = 90° ， ÐBAE = 180° - 126° = 54° ， 如图，过 E 作 EG / / AB ，
Q AB / /CD ，
\ AB / / EG / /CD ，

\ÐAEG = ÐBAE = 54° ， ÐC = ÐCEG ，
\ÐCEG = 90° - 54° = 36° ，
\ÐC = 36° ； 故答案为：36．

16．（3 分）定义：在平面直角坐标系 xOy 中，将点 P(x, y) 变换为 P(kx + b ， by + k )(k 、b 为常数），我们把这种变换称为“ SS 变换”．已知点 A(2,1) ，B(m, 2n) ，C(m + 3, 2n) 经过“ SS 变换”的对应点分别是 D(5, 3) ，
E ， F ．若 S三角形AEF = 4 ，则 k + b = 3 ， n = ．

【解答】解：Q点 A(2,1) 经过“ SS 变换”的对应点是 D(5, 3) ，

í
\ ì2k + b = 5 ，
îb + k = 3

ìk = 2
解得： í = ，
îb 1

\ k + b = 3
Q B(m, 2n) ， D(m + 3, 2n) 经过“ SS 变换”的对应点为 E ， F ，
\ E(2m + 1, 2n + 2) ， F (2m + 7, 2n + 2) ，
\ EF / / x 轴， EF = 6 ，

Q S三角形AEF = 4 ，
\ 1 EF× | 2n + 2 - 1|= 4 ，
2
\3 | 2n + 2 - 1|= 4 ，解得 n = 1 或- 7 ，
6 6
故答案为：3； 1 或- 7 ．
6 6
三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分．解答应写出适当的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（9 分）计算：

4
1
9
（1） 3 -27 + - ； （2）


3(3 -


2
3
) - 32 + |


3
- 2 |．

3 -27
4
1
9
【解答】解：（1） + -
= -3 + 2 - 1
3
= - 4 ；
2
3
3
3

（2）
3(3 -
) - 32 + |
- 2 |

3
3
= 3 - 2 - 9 + 2 -

3
= 2 - 9 ．

18．（9 分）解方程组：

ì y = 7 - 2x


ì 9s + 2t = 15

（1） í - = ． （2） í - - = ．

î3x 4 y 5
î3s
4(1
t) 6

ì y = 7 - 2x①
【解答】解：（1） í ，
î3x - 4 y = 5②

把①代入②得： 3x - 4(7 - 2x) = 5 ，
\11x = 33 ， 解得： x = 3 ，
把 x = 3 代入①得： y = 1 ，

ìx = 3
î
\方程组的解为： í y = 1 ；

ì 9s + 2t = 15
（2） í - - = ，
î3s 4(1 t) 6

ì18s + 4t = 30①
整理得： í ，
î3s + 4t = 10②

\① - ②得：15s = 20 ，
解得： s = 4 ，
3
把 s = 4 代入②得： 4 + 4t = 10 ，
3
解得： t = 3 ，
2
ìs = 4

í
\方程组的解为： ï 3 ．
ï
ït = 3
î 2
19．（9 分）如图， AE 是ÐDAB 的平分线， AE / /CB ， ÐB = 40° ，求ÐC 的度数．（请写出推理依据）

【解答】解：如图：

Q AE / / BC （已知），
\Ð1 = ÐB （两直线平行，内错角相等），
Ð2 = ÐC （两直线平行，同位角相等），又Q AE 平分ÐDAB （已知），
\Ð1 = Ð2 （角平分线定义），
\ÐC = ÐB = 40° （等量代换）．
20．（9 分）如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE 平分∠ADC 交 BC 于点 E，试说明 AB∥DE．下面是小林同学的证明，请你完善解答过程，并在括号内填写相应的推理依据．
证明：∵AD∥BC，（已知）

∴∠1＝∠ B ＝60°，（ 两直线平行，同位角相等 ）

∵∠1＝∠C，（已知）

∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换）

∵AD∥BC，（已知）

∴∠C+∠ ADC ＝180°． （ 两直线平行，同旁内角互补 ）

∴∠ ADC ＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）

∵DE 平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE＝ ×120°＝60°． （ 角平分线定义 ）
∴∠1＝∠ADE． （ 等量代换 ）

∴AB∥DE． （ 内错角相等，两直线平行． ）

【解答】解：∵AD∥BC，（已知）

∴∠1＝∠B＝60°．（两直线平行，同位角相等）

∵∠1＝∠C，（已知）

∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换），

∵AD∥BC，（已知），

∴∠C+∠ADC＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）

∴∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）

∵DE 平分∠ADC，（已知）
∴ ．（角平分线定义）
∴∠1＝∠ADE，（等量代换）

∴AB∥DE．（内错角相等，两直线平行），

故答案为：B，两直线平行，同位角相等，ADC，两直线平行，同旁内角互补，ADC，角平分线定义， 等量代换；内错角相等，两直线平行．
10
21．（9 分）已知一个数 m 的两个平方根分别为 a 和 a - 2 ．

（1） 求 m 的值；

（2） 如图在数轴上，若点 A 表示的数是 a ，点 M 表示的数是 m ，点 B 表示的数是b ，点 B 在点 A 的左侧

10
且满足 BA = 2 AM ，求b - 3 + 28 的立方根．

10
【解答】解：（1）Q一个数 m 的两个平方根分别为 a 和 a - 2 ，

10
\ a + a - 2 = 0 ，

10
解得： a = ，

\ m = a2 = 10 ；

10
（2）Q点 A 表示的数是 ，点 M 表示的数是 10，点 B 表示的数是b ，点 B 在点 A 的左侧，

10
10
\ AB = - b ， AM = 10 - ，

Q BA = 2 AM ，

10
\ - b = 2(10 -
10) ，

10
解得： b = 3 - 20 ，

10
\ b - 3 + 28

10
10
= 3 - 20 - 3 + 28

= 8 ；

10
\ b - 3 + 28 的立方根是 2；

22．（9 分）如图，每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系后，三角形 ABC 的顶点坐标为 A(1, -4) ， B(5, -5) ， C(5, -1) ．
（1）把三角形 ABC 向左平移 5 个单位长度再向上平移 6 个单位长度得到△ A¢B¢C¢ ，在图中画出三角形
A¢B¢C¢ ；
（2）（1）中的三角形 A¢B¢C¢ 面积为 8 ；

（3）在 x 轴的负半轴上是否存在点 P ，使 S

说明理由．


三角形A¢B¢P
= 1 S
2


三角形A¢B¢C

．若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，

【解答】解：（1）如图 1，△ A¢B¢C¢ 即为所求；

（2）△ A¢B¢C¢ 的面积= 1 ´ 4 ´ 4 = 8 ；
2
（3）设在 x 轴的负半轴上 P 的坐标为(m, 0) ．如图 2，

S三角形A¢B¢C
= 1 ´ (3 + 2) ´ 4 + 1 ´ 5 ´ 2 - 1 ´ 9 ´ 3 = 3 ，
2 2 2 2

由题意， SV A¢B¢P
= 1 S
2


V A¢B¢C
= 3 ，
4

\ 1 ´1´ 4 + 1 × (-m) ´ 2 - 1 ´1× (-m) = 3 ，
2 2 2 4
解得 m = 5 > 0 （不合题意舍去），
2

故在 x 轴的负半轴上不存在点 P ，使 S三角形A¢B¢P


= 1 S
2


三角形A¢B¢C ．

23．（9 分）一个优秀的现代城市必定蕴含科技、人文、生态三大内涵．结合广州的规划目标和照明现状历

史文化底蕴和现代化大都会地位，自 2011 年创办的“广州国际灯光节”，现与法国、悉尼并列为世界三大灯光节．广州采用“政府搭台、企业唱戏“的市场化模式，通过整合现有市场资源、引导企业参与，走市场化道路来举办年度公共文化盛事．2023 年的广州国际灯光节分三大版块：“炫美湾区”、“光耀羊城”和 “智造未来”．为保障市民游客安全有序、顺利参与，在广场两侧各安置了灯带，不间断地交叉照射巡视．如图 1，灯 A 射线自 AN 逆时针旋转至 AM 便立即回转，灯 B 射线自 BQ 顺时针旋转至 BP 便立即回转．若灯A 转动的速度是 a° / 秒，灯 B 转动的速度是 b° / 秒．假定广场两侧的灯带是平行的，即 PQ / /MN ，且
ÐABQ = 120° ．

（1） 当 a = 3 时，灯 A 射线经过多少秒，第一次照射到灯 B ；
（2） 若 a = 3 ，b = 4 ，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为t(0 < t < 60) 秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的t ；
（3） 两灯以（2）中的速度同时转动，如图 2，在灯 B 射线到达 BP 之前，若射出的光束 AC ， BC 交于点

C ．

① ÐBCA = 7t° 或360° - 7t° （用含t 的代数式表示）；
②作ÐDCA = 150° ，请求出ÐABC 与ÐBCD 的数量关系．
【解答】解：（1）Q PQ / /MN ， ÐABQ = 120° ，
\ÐBAN = 60° ，
Q灯 A 转动的速度是3° / 秒，
\灯 A 射线经过 60 = 20 秒，第一次照射到灯 B ；
3
（2） 如图所示，当0 < t„45 时，
Q PQ / /MN ， BQ¢ / / AN¢ ，
\ÐQ¢BQ + ÐBQ¢N = 180° ， ÐBQ¢N = ÐNAN¢ ，
\ÐQ¢BQ + ÐNAN¢ = 180° ，
\3t + 4t = 180 ，

解得t = 180 ；
7

如图所示，当45 < t < 60 时，
Q PQ / /MN ， BQ¢ / / AN¢ ，
\ÐQ¢BQ + ÐBQ¢N = 180° ， ÐBQ¢N = ÐNAN¢ ，
\ÐQ¢BQ + ÐNAN¢ = 180° ，
\3t + 360 - 4t = 180 ， 解得t = 180 （舍去）；
综上所述， t = 180 ；
7
（3） ①如图所示，当0 < t < 20 时，过点C 作CE / / PQ ，则CE / / PQ / /MN ，
\ÐBCE = ÐCBQ = 4t° ， ÐACE = ÐCAN = 3t° ，
\ÐBCA = ÐBCE + ÐACE = 7t° ；

如图所示，当30 < t < 45 时，
同理可得ÐBCA = ÐPBC + ÐMAC = 180° - 4t° + 180° - 3t° = 360° - 7t° ；

综上所述， ÐBCA = 7t° 或ÐBCA = 360° - 7t° ，

故答案为： 7t° 或360° - 7t° ；
②如图所示，当0 < t < 20 时， 由（3）①得ÐACB = 7t° ，
\ÐBCD = ÐACD - ÐACB = 150° - 7t° ，
QÐABC = ÐABD - ÐDBC = 120° - 4t° ，
\7ÐABC - 4ÐBCD = 240° ；

如图所示，当30 < t < 45 时，
由（3）①得ÐACB = 360° - 7t° ，
\ÐBCD = ÐACD - ÐACB = 7t° - 210° ，
QÐABC = ÐABD - ÐDBC = 4t° - 120° ，
\7ÐABC = 4ÐBCD ；
综上所述， 7ÐABC - 4ÐBCD = 240° 或7ÐABC = 4ÐBCD ．

5 - a
24．（9 分）如图 1，点 M (0, a - 3) ， N (b, 0) ，且满足(b - a + 8)2 + = 0 ．

（1） 直接写出 M 、 N 的坐标： M (0, 2) ， N ；

（2） 点 P 以每秒 2 个单位长度从点 M 向 y 轴负半轴运动，同时，点Q 以每秒 3 个单位长度从 N 点向 x 轴正半轴运动，直线 NP ， MQ 交于点 D ，设点 P ， Q 运动的时间为t 秒．
①当1 < t < 2 时，求证： S三角形MPD = S三角形NQD ；
②如图 2，当ÐQMN + ÐPNM = 180° 时，在线段 MQ 上任取一点 E ，连接 EO ．点G 为ÐOEQ 的角平分线上一点，且满足ÐGNP = 1 ÐONG ．请将图 2 补全，并求ÐNOE 、ÐOEG 、ÐG 之间的数量关系．
2

5 - a
【解答】（1）解：Q (b - a + 8)2 + = 0 ，

\b - a + 8 = 0 ， 5 - a = 0 ， 解得： a = 5 ， b = -3 ，
\点 M (0, 2) ， N (-3, 0) ，
故答案为： (0, 2) ； (-3, 0) ；
（2）①证明：当1 < t < 2 时， OP = 2t - 2 ， OQ = 3t - 3 ，

\ SDPON
= 1 ´ 3(2t - 2) = 3t - 3 ， S
2


DMOQ
= 1 ´ 2(3t - 3) = 3t - 3 ，
2

\ SDPON = SDMOQ ，

\ SDPON + S四边形POQD = SDMOQ + S四边形POQD ，

\ SDDNQ = SDDMP ；

②解：如图，补全图形如下：

Q点G 为ÐOEQ 的角平分线上一点，
\设ÐOEG = ÐQEG = x° ，
Q ÐGNP = 1 ÐONG ，
2
设ÐGNP = y° ，则ÐONG = 2 y° ，
如图，QÐQMN + ÐPNM = 180° ，
\ MQ / / PN ，
过G 作GT / /MQ ，
\ MQ / /GT / / PN ，
\ÐTGN = ÐPNG = y° ， ÐTGE = ÐQEG = x° ，
\ÐNGE = x° + y° ，
过O 作OK / /MQ ，而 MQ / / PN ，
\ MQ / /OK / / PN ，
\ÐKON = ÐONP = 3y° ， ÐKOE = ÐOEQ = 2x° ，
\ÐNOE = 3y° + 2x° ，
QÐOEG + ÐNGE = 2x° + y° ，
\3ÐOEG + 3ÐNGE = 6x° + 3y° ，
\3ÐOEG + 3ÐNGE = 2x° + 3y° + 4x° = ÐNOE + 4ÐOEG ，
\ÐNOE + ÐOEG = 3ÐNGE ．