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高考数学〔理科〕一轮复习函数模型及其应用学案带解答
学案12　函数模型及其应用 导学目标： 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长含义.2.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用函数模型)广泛应用． 自主梳理 1．三种增长型函数模型图象与性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax (a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上单调性 增长速度 图象变化 随x增大逐渐表现为与____平行 随x增大逐渐表现为与____平行 随n值变化而不同 2.三种增长型函数之间增长速度比拟 (1)指数函数y＝ax (a>1)与幂函数y＝xn (n>0) 在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax增长速度________y＝xn增长速度，因而总存在一个x0，当x>x0时有________． (2)对数函数y＝logax(a>1)与幂函数y＝xn (n>0) 对数函数y＝logax(a>1)增长速度，不管a与n值大小如何总会________y＝xn增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有____________． 由(1)(2)可以看出三种增长型函数尽管均为增函数，但它们增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有_____________________． 3．函数模型应用实例基此题型 (1)给定函数模型解决实际问题； (2)建立确定性函数模型解决问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题． 4．函数建模根本程序 自我检测 1．以下函数中随x增大而增大速度最快是 (　　) A．v＝1100ex B．v＝100ln x C．v＝x100 D．v＝100×2x 2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2与L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．假设该公司在这两地共销售15辆车，那么能获得最大利润为 (　　) A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51 3．(2021•陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x最大整数)可以表示为 (　　) A．y＝[x10] B．y＝[x＋310] C．y＝[x＋410] D．y＝[x＋510] 4．(2021•湘潭月考)某工厂6年来生产某种产品情况是：前三年年产量增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，那么该厂6年来这种产品总产量C与时间t(年)函数关系图象正确是 (　　) 5．一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停顿喝酒后，血液中酒精含量以每小时25%速度减少，为了保障交通平安，某地根据?道路交通平安法?规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后驾驶员，至少经过________小时，才能开车？(准确到1小时) 探究点一　一次函数、二次函数模型 例1 　(2021•阳江模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产总本钱y(万元)与年产量x(吨)之间函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8 000，此生产线年产量最大为210吨． (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品平均本钱最低，并求最低本钱； (2)假设每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
变式迁移1　某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车月租金每增加50元时，未租出车将会增加一辆．租出车每辆每月需要维护费150元，未租出车每辆每月需要维护费50元． (1)当每辆车月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？ (2)当每辆车月租金定为多少元时，租赁公司月收益最大？最大月收益是多少？
探究点二　分段函数模型 例2 　据气象中心观察与预测：发生于M地沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h) 函数图象如下图，过线段OC上一点T(t,0)作横轴垂线l，梯形OABC在直线l左侧局部面积即为t(h)内沙尘暴所经过路程s(km)． (1)当t＝4时，求s值； (2)将s随t变化规律用数学关系式表示出来； (3)假设N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘爆发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
变式迁移2　某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过局部每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)． (1)求y关于x函数； (2)假设甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月用水量与水费．
探究点三　指数函数模型 例3 　诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学与医学、与平)为人类作出最有益奉献人，每年发放奖金总金额是基金在该年度所获利息一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推) (1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)表达式； (2)试根据f(x)表达式判断网上一那么新闻“2021年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元〞是否为真，并说明理由． (参考数据：1.031 29＝1.32)
变式迁移3　(2021•商丘模拟)现有某种细胞100个，其中有占总数12细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律开展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？ (参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)
1．解容许用问题程序概括为“四步八字〞，即(1)审题：弄清题意，分清条件与结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)复原：将数学结论复原为实际问题意义． 2．考察函数模型知识表现在以下几个方面： (1)利用函数模型单调性比拟数大小； (2)比拟几种函数图象变化规律，证明不等式或求解不等式； (3)函数性质与图象相结合，运用“数形结合〞解答一些综合问题． (总分值：75分)
一、选择题(每题5分，共25分) 1．在某种新型材料研制中，实验人员获得了以下一组实验数据．现准备用以下四个函数中一个近似地表示这些数据规律，其中最接近一个是 (　　) X 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 Y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 A.y＝2x B．y＝log2x C．y＝12(x2－1) D．y＝2.61cos x 2．拟定甲地到乙地通话m分钟 费f(m)＝1.06×(0.5×[m]＋1)(单位：元)，其中m>0，[m]表示不大于m最大整数(如[3.72])＝3，[4]＝4)，当m∈[0.5,3.1]时，函数f(m)值域是 (　　) A．{1.06,2.12,3.18,4.24} B．{1.06,1.59,2.12,2.65} C．{1.06,1.59,2.12,2.65,3.18} D．{1.59,2.12,2.65} 3．(2021•秦皇岛模拟)某商店出售A、B两种价格不同商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，假设商店同时售出这两种商品各一件，那么与价格不升不降时情况比拟，商店盈利情况是 (　　) A．多赚约6元 B．少赚约6元 C．多赚约2元 D．盈利一样 4．国家规定个人稿费纳税方法是：不超过800元不纳税；超过800元而不超过4 000元按超过800元局部14%纳税；超过4 000元按全部稿酬11%纳税．某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为 (　　) A．4 000元 B．3 800元 C．4 200元 D．3 600元 5．(2021•沧州月考)生产一定数量商品全部费用称为生产本钱，某企业一个月生产某种商品x万件时生产本钱为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 (　　) A．18万件 B．20万件 C．16万件 D．8万件 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每题4分，共12分) 6．据某校环保小组调查，某区垃圾量年增长率为b,2021年产生垃圾量为a t，由此预测，该区下一年垃圾量为__________t,2021年垃圾量为__________t. 7．(2021•金华十校3月联考)有一批材料可以建成200 m长围墙，如果用此批材料在一边靠墙地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等矩形(如下图)，那么围成场地最大面积为________(围墙厚度不计)．
8．每生产100克饼干原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示： 型号 小包装 大包装 重量 100克 300克 包装费 0.5元 0.7元 销售价格 3.00元 8.4元 那么以下说法中正确是________(填序号) ①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多． 三、解答题(共38分) 9．(12分)(2021•湖南师大附中仿真)设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近似地满足以下关系：m＝92x－14，n＝－14x2＋5x＋74，当m－n≥0时，称不亏损企业；当m－n<0时，称亏损企业，且n－m为亏损额． (1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？ (2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？ 10．(12分)某单位用2 160万元购得一块空地，方案在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，那么每平方米平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)
11．(14分)(2021•鄂州模拟)某宾馆有一样标准床位100张，根据经历，当该宾馆床价(即每张床每天租金)不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好效益，该宾馆要给床位一个适宜价格，条件是：①要方便结账，床价应为1元整数倍；②该宾馆每日费用支出为575元，床位出租收入必须高于支出，而且高出得越多越好．假设用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位净收入(即除去每日费用支出后收入)． (1)把y表示成x函数，并求出其定义域； (2)试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面两个条件，又能使净收入最多？
答案 自主梳理 1．增函数　增函数　增函数　越来越快　越来越慢　相对平稳　y轴　x轴　2.(1)快于　ax>xn　(2)慢于　logax<xn　ax>xn>logax 自我检测 1．A　[由e>2，知当x增大时，1100ex增大更快．] 2．B　[依题意，可设甲销售x辆，那么乙销售(15－x)辆， ∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x) ＝－0.15x2＋3.06x＋30 (x≥0)． ∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．] 3．B　[每10个人可以推选1个，(xmod 10)>6可以再推选一个，即如果余数(xmod 10)≥7相当于给x多加了3，所以可以多一个10出来．] 4．A 5．5 解析　设x小时后，血液中酒精含量不超过0.09 mg/mL， 那么有0.3•34x≤0.09，即34x≤0.3. 估算或取对数计算，得5小时后，可以开车． 课堂活动区 例1 　解　(1)每吨平均本钱为yx(万元)． 那么yx＝x5＋8 000x－48 ≥2x5•8 000x－48＝32， 当且仅当x5＝8 000x，即x＝200时取等号． ∴年产量为200吨时，每吨平均本钱最低为32万元． (2)设年获得总利润为R(x)万元， 那么R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8 000 ＝－x25＋88x－8 000 ＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0,210]上是增函数， ∴x＝210时，R(x)有最大值为－15×(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元． 变式迁移1　解　(1)租金增加了600元，所以未租出车有12辆，一共租出了88辆． (2)设每辆车月租金为x元(x≥3 000)，租赁公司月收益为y元， 那么y＝x100－x－3 00050－x－3 00050×50 －100－x－3 00050×150 ＝－x250＋162x－21 000 ＝－150(x－4 050)2＋307 050， 当x＝4 050时，ymax＝307 050. 答　当每辆车月租金定为4 050元时，租赁公司月收益最大，最大为307 050. 例2 　解　(1)由图象可知： 当t＝4时，v＝3×4＝12(km/h)， ∴s＝12×4×12＝24(km)． (2)当0≤t≤10时，s＝12•t•3t＝32t2， 当10<t≤20时，s＝12×10×30＋30(t－10)＝30t－150； 当20<t≤35时，s＝12×10×30＋10×30＋(t－20)×30－12×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550. 综上，可知S＝32t2，　　　　 　　t∈[0，10]，30t－150， t∈(10，20]，－t2＋70t－550， t∈(20，35]. (3)∵t∈[0,10]时，smax＝32×102＝150<650， t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650， ∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650. 解得t1＝30，t2＝40.∵20<t≤35，∴t＝30. ∴沙尘爆发生30 h后将侵袭到N城． 变式迁移2　解　(1)当甲用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙用水量也不超过4吨， y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x； 当甲用水量超过4吨，乙用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x>4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8. 当乙用水量超过4吨，即3x>4时， y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6. 所以y＝14.4x， 　　　0≤x≤45，20.4x－4.8， 45<x≤43，24x－9.6， x>43. (2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增， 当x∈0，45时，y≤f45<26.4； 当x∈45，43时，y≤f43<26.4； 当x∈43，＋∞时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5. 所以甲户用水量为5x＝7.5吨， 付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为3x＝4.5吨， 付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)． 例3 　解题导引　指数函数模型应用是高考一个主要内容，常与增长率相结合进展考察．在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示．通常可表示为y＝a(1＋p)x (其中a为原来根底数，p为增长率，x为时间)形式． 解　(1)由题意知：f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－12f(1)•6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)， f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－12f(2)×6.24% ＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2， ∴f(x)＝19 800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)． (2)2021年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136， 故2021年度诺贝尔奖各项奖金为16•12f(10)•6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻． 变式迁移3　解　现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后细胞总数， 1小时后，细胞总数为 12×100＋12×100×2＝32×100； 2小时后，细胞总数为 12×32×100＋12×32×100×2＝94×100； 3小时后，细胞总数为 12×94×100＋12×94×100×2＝278×100； 4小时后，细胞总数为 12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100； 可见，细胞总数y与时间x(小时)之间函数关系为： y＝100×(32)x，x∈N*， 由100×(32)x>1010，得(32)x>108， 两边取以10为底对数， 得xlg32>8，∴x>8lg 3－lg 2， ∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45， ∴x>45.45. 答　经过46小时，细胞总数超过1010个． 课后练习区 1．B　[通过检验可知，y＝log2x较为接近．] 2．B　[当0.5≤m<1时，[m]＝0，f(m)＝1.06； 当1≤m<2时，[m]＝1，f(m)＝1.59； 当2≤m<3时，[m]＝2，f(m)＝2.12； 当3≤m≤3.1时，[m]＝3，f(m)＝2.65.] 3．B　[设A、B两种商品原价为a、b， 那么a(1＋20%)2＝b(1－20%)2＝23 ⇒a＝23×2536，b＝23×2516，a＋b－46≈6元．] 4．B　[设扣税前应得稿费为x元，那么应纳税额为分段函数，由题意，得y＝0　　　　　　　(0<x≤800)，(x－800)×14% (800<x≤4 000)，11%•x (x>4 000). 如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间， ∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3 800.] 5．A　[利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142， 当x＝18时，L(x)有最大值．] 6．a(1＋b)　a(1＋b)5 解析　由于2021年垃圾量为a t，年增长率为b，故下一年垃圾量为a＋ab＝a(1＋b) t，同理可知2021年垃圾量为a(1＋b)2t，…，2021年垃圾量为a(1＋b)5 t. 7．2 500 m2 解析　设所围场地长为x，那么宽为200－x4，其中0<x<200，场地面积为x×200－x4≤14x＋200－x22 ＝2 500 m2， 等号当且仅当x＝100时成立． 8．②④ 9．解　(1)由， m－n＝92x－14－－14x2＋5x＋74 ＝14x2－12x－2.……………………………………………………………………………(3分) 由m－n≥0，得x2－2x－8≥0，解得x≤－2或x≥4. 据题意，x>0，所以x≥4. 故企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机．………………………………(6分) (2)假设企业亏损最严重，那么n－m取最大值． 因为n－m＝－14x2＋5x＋74－92x＋14 ＝－14(x－1)2－9＝94－14(x－1)2.………………………………………………………(9分) 所以当x＝1时，n－m取最大值94， 此时m＝92－14＝174. 故当月总产值为174万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为94万元．………………(12分) 10．解　设楼房每平方米平均综合费用为f(x)元， 那么f(x)＝(560＋48x)＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x＋10 800x(x≥10，x∈N*)．…………(5分) ∵f(x)＝560＋48(x＋225x)≥560＋48•2x•225x＝560＋48×30＝2 000.……………(10分) 当且仅当x＝225x时，上式取等号，即x＝15时，f(x)min＝2 000. 所以楼房应建15层．……………………………………………………………………(12分) 11．解　(1)依题意有 y＝100x－575 　(x≤10)，[100－(x－10)×3]x－575 (x>10)，……………………………………………(4分) 由于y>0且x∈N*， 由100x－575>0，x≤10.　得6≤x≤10，x∈N*. 由x>10，[100－(x－10)×3]x－575>0 得10<x≤38，x∈N*， 所以函数为 y＝100x－575　　　　　(x∈N*，且6≤x≤10)，－3x2＋130x－575 (x∈N*，且10<x≤38)， 定义域为{x|6≤x≤38，x∈N*}．…………………………………………………………(6分) (2)当x＝10时，y＝100x－575 (6≤x≤10，x∈N*)取得最大值425元，……………(8分) 当x>10时，y＝－3x2＋130x－575，当且仅当x＝－1302×(－3)＝653时，y取最大值，但x∈N*，所以当x＝22时，y＝－3x2＋130x－575 (10<x≤38，x∈N*)取得最大值833元．(12分) 比拟两种情况，可知当床位定价为22元时净收入最多．……………………………(14分)
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