高考数学总复习立体几何部分试题及答案.doc

高考数学总复习试卷

立体几何综合训练

第I卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列命题正确的是（）
A．直线a，b和直线l所成角相等，则a//b
B．直线a，b和平面α成相等角，则a//b
C．平面α，β和平面γ所成角均为直二面角，则α//β
D．直线a，b在平面α外，且a⊥α，a⊥b，则b//α
2．空间四边形ABCD，M，N分别是AB、CD的中点，且AC=4，BD=6，则（）
A．1<MN<5 B．2<MN<10
C．1≤MN≤5 D．2<MN<5
3．已知AO为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在α内的射影，直线OC在平面α内，且∠AOB=∠BOC=45°，则∠AOC等于（）
A．30° B．45° C．60° D．不确定
4．甲烷分子结构是：中心一个碳原子，外围四个氢原子构成四面体，中心碳原子和四个氢原子等距离，且连成四线段，两两所成角为θ，则cosθ值为（）
A． B．C． D．
5．对已知直线a，有直线b同时满足下面三个条件：①和a异面；②和a成定角；③和a距离为定值d，则这样的直线b有（）
A．1条 B．2条C．4条D．无数条
6．α，β是不重合两平面，l，m是两条不重合直线，α//β的一个充分不必要条件是（）
A．，且l//β，m//β B．，且l//m
C．l⊥α，m⊥β，且l//m D．l//α，m//β，且l//m
7．如图正方体中，E，F分别为AB，的中点，则异面直线和EF所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．

8．对于任一个长方体，都一定存在一点：①这点到长方体的各顶点距离相等；②这点到长方体的各条棱距离相等；③这点到长方体的各面距离相等，以上三个结论中正确的是（）
A．①② B．① C．②D．①③
9．在斜棱柱的侧面中，矩形最多有几个？
A．2 B．3 C．4 D．6
10．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的侧面积为（）
A．24 B．12 C． D．
11．异面直线a，b成80°角，P为a，b外的一个定点，若过P有且仅有2条直线和a，b所成的角相等且等于α，则角α属于集合（）
A．{α|0°<α<40°} B．{α|40°<α<50°}
C．{α|40°<α<90°} D．{α|50°<α<90°}
12．从水平放置的球体容器的顶部的一个孔向球内以相同的速度注水，容器中水面的高度和注水时间t之间的关系用图象表示应为（）

第II卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）
13．正四棱锥S-ABCD侧棱长和底面边长相等，E为SC中点，BE和SA所成角的余弦值为_____________。
14．α、β为两个不同平面，m，n是平面α，β外的两条不同直线，给出下面四个结论：①m//n；②m//β；③α⊥β；④n⊥α，以其中三个为条件，另一个为结论，写出你认为正确的一个命题。（按形式写）_____________。
15．已知A，B，C，D为同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于2，则球心到平面BCD的距离等于_____________。
16．斜三棱柱中，侧面的面积为S，到面的距离是a，则该三棱柱的体积是_____________。

三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知平面α∩平面β=a，平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ。b//a，b//β。
求证：①a⊥γ；②b⊥γ。

18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且和底面垂直，底面是以∠ADC为锐角的菱形。
（1）试问：当∠ADC为多大时，有PA⊥CD；
（2）当PA⊥CD时，求面PAB和面PCD所成角的大小。

19．（本小题满分12分）
三棱柱中，AB=AC=a，∠BAC=90°，顶点在底面ABC上的射影为BC边的中点M。
（1）求证：BC垂直于，A，M三点确定的平面；
（2）如果三棱锥的体积为，求棱锥侧面和底面ABC所成锐二面角的大小。

20．（本小题满分12分）
已知△ABC和△DBC中，AB=BC=BD=a，∠ABC=∠DBC=120°，沿两三角形的公共边BC折成60°的二面角。
求：（1）AD和平面DBC所成的角；
（2）二面角A-BD-C的正切值。

21．（本小题满分12分）
已知：如图，四边形ABCD，EADM和MDCF是个三边长为a的全等的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点。
求：（1）PQ和AD所成的角的大小；
（2）平面EBF和平面ABCD所成锐二面角的正切值；
（3）多面体EFM-ABCD的体积。

22．（本小题满分14分）
如图，甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）。

（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；
（2）试比较你所制作的正四棱柱和正四棱锥体积的大小，并证明你的结论。

参考答案
一、选择题
1．D A，B，C均可找出反例排除
2．A 取AD中点P，中，PM=3，PN=2，由三角形三边大小关系即得A。
3．C 由
4．A 一个正四面体的各顶点和中心连线所成的角。
5．D 先考虑一特例，，在a垂直半径为d的圆面的边界上任一切线均可，有无数条。b不垂直，也可类似得到。
6．C l和m不相交就不充分，B.不充分。C.也不充分。D.充分不必要
7．B 取中点，连，则为所求，在中计算。
8．B 只有（1）正确，此点为对角线的交点。
9．A 最多2个，若有3个，则底面有三条边和侧棱垂直，也即底面一定存在两相交直线和侧棱垂直。
10．A 易计算，底面半径为2，进而计侧棱长为2 ∴
11．B 将两异面直线平移到O点，，相交成80°，100°两对角。过P作直线和两直线成40°角有一条。40°～50°之间有2条。50°有3条。50°～90°有4条。
12．A 体积等速增加，在球内高度变化，先快，再慢，又快。选A

二、填空题
13． 14．①②③③或①③④②
15． 16．
提示：
13．取AC中点O，EO//SA，为所求角，在中求解
15．依题意知，这四点为一个正四面体的顶点，球为该四面体的外接球；所求距离为内接球半径，两球同心，距离为四面体高的。
16．将其分为三棱锥。四棱锥且。
∴

三、解答题
17．（1）如图，在内过一点P作m垂直于的交线，
则。
过P作n垂直的交线，
则
∵，
∴，
∴。
（2）过b作平面S交平面于，
则，
同理可在作
∴
∴。

∴∴。
∴。

18．（1）如图，过P作PH⊥CD于H，
∵平面PCD⊥平面ABCD
∴PH⊥平面ABCD。
∴AH是PA在平面ABCD上的射影，
又PC=PD
∴H为CD中点，
当时，为正三角形，AH⊥CD，又PH⊥平面ABCD
∴PA⊥CD
（2）过P作直线
。PH⊥l。
∴为所求二面角的平面角
又为等腰直角三角形，
∴

19．（1）连结AM。
∵M是在平面ABC上的射影，
∴平面ABC，
∵BC在平面ABC上，
∴。
由AB=AC，M是BC中点，有。
∴BC⊥平面。
（2）过M在平面ABC内作于N，连结，
则。
∴是侧面和底面ABC所成的锐二面角的平面角。
由于三棱锥的高等于的长，
又三棱锥的体积为，三角形的面积为，
∴，
∴。
∵为等腰直角三角形，M为斜边中点，，
∴，
∴在中，，

∴即侧面和底面ABC所成的锐二面角为60°。

20．（1）过A点作交CB的延长线于O，连DO，取DO中点K，连AK。
∵，
∴的二面角的平面角为60°，
∵CO⊥面ADO
∴面AOD⊥面DOC，在等边三角形AOD中，
∵，
∴面BOD。
∴AD和平面所成角为
（2）过K作KE⊥BO于E，
∵AK⊥面BDK
∴为A-BD-C的平面角的补角。
在中 ，

故。
∴二面角A-BD-C正切值为。

21．（1）过P作PH⊥AE于H，过Q作QN⊥AB于N，连结HN。
则。
∴四边形PHNQ是平行四边形。
∴PQ//HN。
又∵，且。
则AD平面EAB。
而HN平面EAB。而HN平面EAB，
∴ADHN，即ADPQ。
∴PQ和AD所成的角为90°。

（2）过B作RS//AC交DA的延长线于点R，交DC的延长线于点S。取EF的中点O，连结OB、OQ、QB。
∵正方形ABCD，∴QBAC。
又∵RS//AC，∴QBRS。
∵OQ平面ABCD，
由三垂线定理可得OBRS。
∴为平面EBF和平面ABCD所成二面角的平面角在中，
，，
∴。
∴平面EBF和平面ABCD所成锐二面角的正切值为。

（3）将图形补成一个正方体

22．（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱。

将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面边长为2a，斜高为3a的正四棱锥。
（2）∵正四棱柱的底面边长为2a，高为a，
∴其体积。
又∵正四棱锥的底面边长为2a，高为，
∴其体积。
∵，
即，
∴
故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大。
（说明：裁剪方式不惟一，计算的体积也不一定相等）

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