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初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想
本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。
一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题
例1：（2013年上海市虹口区中考模拟第25题）如图1，在△中，∠A＝90°，＝6，＝8，点D为边的中点，⊥交边于点E，点P为射线上的一动点，点Q为边上的一动点，且∠＝90°．
（1）求、的长；
（2）若＝2，求的长；
（3）记线段和线段的交点为F，若△为等腰三角形，求的长．

图1 备用图
思路点拨
1．第（2）题＝2分两种情况．
2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．
3．第（3）题探求等腰三角形时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形．
解答：（1）在△中，＝6，＝8，所以＝10．
在△中，＝5，所以，．
（2）如图2，过点D作⊥，⊥，垂足分别为M、N，那么、是
△的两条中位线，＝4，＝3．
由∠＝90°，∠＝90°，可得∠＝∠．
因此△∽△．
所以．所以，．

图2 图3 图4
①如图3，当＝2，P在上时，＝1．
此时．所以．
②如图4，当＝2，P在的延长线上时，＝5．
此时．所以．
（3）如图5，如图2，在△中，．
在△中，．所以∠＝∠C．
由∠＝90°，∠＝90°，可得∠＝∠．
因此△∽△．
当△是等腰三角形时，△也是等腰三角形．
①如图5，当＝＝5时，＝－＝5－4＝1（如图3所示）．
此时．所以．
②如图6，当＝时，由，可得．
所以＝－＝（如图2所示）．
此时．所以．
③不存在＝的情况．这是因为∠≥∠＞∠（如图5，图6所示）．

图5 图6
考点伸展：如图6，当△是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△也是等腰三角形，＝．在△中可以直接求解．
二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题
例2：（2008年河南省中考第23题）如图1，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．
（1）试说明△是等腰三角形；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△的面积为S．① 求S和t的函数关系式；
② 设点M在线段上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△为直角三角形时，求t的值．

图1
思路点拨：
1．第（1）题说明△是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．
2．不论M在上还是在上，用含有t的式子表示边上的高都是相同的，用含有t的式子表示要分类讨论．
3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．
4．分类讨论△为直角三角形，不存在∠＝90°的可能．
解答：
（1）直线和x轴的交点为B（3，0）、和y轴的交点C（0，4）．
△中，＝3，＝4，所以＝5．点A的坐标是（-2，0），所以＝5．
因此＝，所以△是等腰三角形．
（2）①如图2，图3，过点N作⊥，垂足为H．
在△中，＝t，，所以．
如图2，当M在上时，＝2－t，此时
．定义域为0＜t≤2．
如图3，当M在上时，＝t－2，此时
．定义域为2＜t≤5．

图2 图3
②把S＝4代入，得．
解得，（舍去负值）．
因此，当点M在线段上运动时，存在S＝4的情形，此时．
③如图4，当∠＝90°时，在△中，＝t，，，
所以．解得．
如图5，当∠＝90°时，N和C重合，．
不存在∠＝90°的可能．
所以，当或者时，△为直角三角形．

图4 图5
考点伸展：在本题情景下，如果△的边和平行，求t的值．如图6，当时，t＝3；如图7，当时，t＝2.5．

图6 图7
三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题
例3：（2010年山西省中考第26题）在直角梯形中，，∠＝90°，＝3，＝6，＝．分别以、边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段、上的点，＝5，＝2，直线交x轴于点F．求直线的解析式；
（3）点M是（2）中直线上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

图1 图2
思路点拨：1．第（1）题和第（2）题蕴含了和垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．
2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照为边和对角线分类，再进行二级分类，和、和为邻边．
解答：(1)如图2，作⊥x轴，垂足为H，那么四边形为矩形，＝＝3．
在△中，＝3，＝，所以＝6．因此点B的坐标为(3,6)．
(2) 因为＝2，所以，，E(2,4)．
设直线的解析式为y＝＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得 解得，．所以直线的解析式为．
(3) 由，知直线和x轴交于点F(10,0)，＝10，＝．
①如图3，当为菱形的对角线时，和互相垂直平分，点M是的中点．此时点M的坐标为(5,)，点N的坐标为(－5,)．
②如图4，当、为菱形的邻边时，点N和点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．
③如图5，当、为菱形的邻边时，＝5，延长交x轴于P．
由△∽△，得，即．解得，．此时点N的坐标为．

图3 图4
考点伸展
如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．

图5 图6

四、相似三角形：因动点产生的相似三角形问题
例4：（2013年苏州中考28题）如图，点O为矩形的对称中心，10，12，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1，点F的运动速度为3，点G的运动速度为1.5，当点F到达点C（即点F和点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△关于直线的对称图形是△′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．
（1）当s时，四边形′为正方形；
（2）若以点E、B、F为顶点的三角形和以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在实数t，使得点B′和点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

思路点拨：（1）利用正方形的性质，得到，列一元一次方程求解即可；（2）△和△相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在．
解答：（1）若四边形′为正方形，则，即：10﹣3t，解得2.5；
（2）分两种情况，讨论如下：①若△∽△，则有，即，解得：2.8；
②若△∽△，则有，即，解得：﹣14﹣2（不合题意，舍去）或﹣14+2．∴当2.8s或（﹣14+2）s时，以点E、B、F为顶点的三角形和以点F，C，G为顶点的三角形相似．
（3）假设存在实数t，使得点B′和点O重合．如图，过点O作⊥于点M，则在△中，3t，﹣6﹣3t，5，由勾股定理得：222，即：52+（6﹣3t）2=（3t）2解得：；
过点O作⊥于点N，则在△中，10﹣t，﹣10﹣t﹣5=5﹣t，6，
由勾股定理得：222，即：62+（5﹣t）2=（10﹣t）2解得：3.9．∵≠3.9，∴不存在实数t，使得点B′和点O重合．
考点伸展：本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在．
拓展练习：
1、如图1，梯形中，∥ ，∠90°，141821,点P从A开始沿边以1秒的速度移动，点Q从C开始沿向点B以2 秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。
当时，四边形是平行四边形；
当时，四边形是等腰梯形.

（1题图） 备用图
2、如图2，正方形的边长为4，点M在边上，且1，N为对角线上任意一点，则的最小值为。

（2题图） （3题图）
3、如图，在中，，．点是的中点，过点的直线从和重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点．过点作交直线于点，设直线的旋转角为．
（1）①当度时，四边形是等腰梯形，此时的长为；
②当度时，四边形是直角梯形，此时的长为；
（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由．
A
C
B
E
D
N
M
图3
A
B
C
D
E
M
N
图2
4、在△中，∠90°，，直线经过点C，且⊥于D，⊥于E.
C
B
A
E
D
图1
N
M

(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△≌△；②＋；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.
5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形是正方形，点E是边的中点．，且交正方形外角的平行线于点F，求证：．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取的中点M，连接，则，易证，所以．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边的中点”改为“点E是边上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

6、如图, 射线上9是射线外一点5且A到射线的距离为3,动点P从M沿射线方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.
求（1）△ 为等腰三角形的t值；（2）△ 为直角三角形的t值；
（3） 若5且∠45 °，其他条件不变，直接写出△ 为直角三角形的t值。

7、如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.求：（1）求点到的距离；
（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由
A
D
E
B
F
C
图4（备用）
A
D
E
B
F
C
图5（备用）
A
D
E
B
F
C
图1
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
（第25题）

8、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
(1）如果点P在线段上以3的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动
①若点Q的运动速度和点P的运动速度相等，经过1秒后，和是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度和点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使和全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P和点Q第一次在的哪条边上相遇？

（8题图） （9题图）
9、如图所示，在菱形中，4，∠120°，△为正三角形，点E、F分别在菱形的边．上滑动，且E、F不和B．C．D重合．
（1）证明不论E、F在．上如何滑动，总有；
（2）当点E、F在．上滑动时，分别探讨四边形和△的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

10、如图，在△中，∠90°，6，C为上一点，射线⊥交于点D，2．点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，P、Q两点同时出发，当点P到达到点B时停止运动，点Q也随之停止．过点P作⊥于点E，⊥于点F，得到矩形．以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形，斜边∥，且．设运动时间为t（单位：秒）．
（1）求1时的长度．
（2）求时t的值．
（3）当△和矩形有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S和t的函数关系式．
（4）直接写出△的边和矩形的边有三个公共点时t的值．

参考答案：
1、解：：（1）要使四边形为平行四边形，则，∵18，即182t，解得：6；
（2）设经过，四边形是等腰梯形．过Q点作⊥，过D点作⊥，∵四边形是等腰梯形，∴．又∵∥，∠90°，∴．∴△≌△．
∴21-18=3．又∵21-2t，，∴（21-2t）=3．得：8．
∴经过8s，四边形是等腰梯形．
2、5；3、解：（1）①30，1；②60，1.5；
（2）当∠α=900时，四边形是菱形.
∵∠α=∠900，∴. ∵, ∴四边形是平行四边形
在△中，∠900，∠6002, ∴∠300.
∴42. ∴ .在△中，∠300，∴2.
∴2. ∴. 又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形
4、解：（1）①∵∠∠90°∴∠∠90° ∴∠∠90°
∴∠∠∵∴△≌△
②∵△≌△∴， ∴
(2) ∵∠∠∠90°∴∠∠又∵
∴△≌△∴，∴
(3) 当旋转到图3的位置时，(或，等)
∵∠∠∠90°∴∠∠， 又∵，
∴△≌△， ∴，， ∴.
5、解：（1）正确．
证明：在上取一点，使，连接．．，．是外角平分线，，． ．，，． （）． ．
（2）正确．
证明：在的延长线上取一点．使，连接． ． ．四边形是正方形， ．． ．（）．．

6、解：解：（1）作⊥于E。则3，∵5，∴√（²²）=4 , 9①若,∴92×4∴1
②若，∴(1/2)∴（9)²=1/2*5*5∴9-√5/2(9+√5/2舍去）
③若，∴|95∴4 、14
∴综上，1、4、9-√5/2、14
（2）①若∠90°∴94∴5
②若∠90°∴∴(9)/5=5/4∴11/4
∴综上，5、11/4。
7、解：（1）如图1，过点作于点∵为的中点， ∴
在中，∴∴
即点到的距离为
图1
A
D
E
B
F
C
G
（2）①当点在线段上运动时，的形状不发生改变．
∵∴
∵∴，同理
如图2，过点作于，∵
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
G
H
∴∴
∴则
在中，
∴的周长=
②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．
当时，如图3，作于，则
类似①，∴∵是等边三角形，∴
此时，

当时，如图4，这时此时，
当时，如图5，则又
∴因此点和重合，为直角三角形．
∴此时，
综上所述，当或4或时，为等腰三角形．
8、解：A
Q
C
D
B
P
解：（1）①∵秒， ∴厘米，
∵厘米，点为的中点， ∴厘米．
又∵厘米， ∴厘米， ∴．
又∵， ∴， ∴．
②∵， ∴， 又∵，，则，
∴点，点运动的时间秒， ∴厘米/秒。
（2）设经过秒后点和点第一次相遇， 由题意，得，解得秒．
∴点共运动了厘米． ∵，∴点、点在边上相遇，
∴经过秒点和点第一次在边上相遇．
9、解：（1）证明：如图，连接，∵四边形为菱形，∠120°，∠∠60°，∠∠60°，∴∠∠。∵∠120°，∴∠60°。∴△和△为等边三角形。∴∠60°，。∴∠∠。∴在△和△中，∵∠∠，，∠∠，∴△≌△（）。∴。

（2）四边形的面积不变，△的面积发生变化。理由如下：由（1）得△≌△，则S△△。∴S四边形△△△△△，是定值。作⊥于H点，则2，。由“垂线段最短”可知：当正三角形的边和垂直时，边最短．故△的面积会随着的变化而变化，且当最短时，正三角形的面积会最小，
又S△四边形﹣S△，则此时△的面积就会最大．∴S△四边形﹣S△。∴△的面积的最大值是。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。
【分析】（1）先求证，进而求证△、△为等边三角形，得∠ =60°，，从而求证△≌△，即可求得。
（2）由△≌△可得S△△，故根据S四边形△△△△△即可得四边形的面积是定值。当正三角形的边和垂直时，边最短．△的面积会随着的变化而变化，且当最短时，正三角形的面积会最小，根据S△四边形－S△，则△的面积就会最大。
10、
考点：
相似形综合题．
分析：
（1）根据等腰直角三角形，可得，，再将1代入求出的长度；
（2）根据，可得关于t的方程6﹣2t，解方程即可求解；
（3）分三种情况：求出当1≤t≤2时；当2＜t≤时；当＜t≤3时；求出重叠（阴影）部分图形面积S和t的函数关系式；
（4）分M在上；N在上两种情况讨论求得△的边和矩形的边有三个公共点时t的值．
解答：
解：（1）根据题意，△、△都是等腰直角三角形．
∵，，
∴当1时，1；
（2）∵，，6﹣t
2t
∴6﹣2t
解得2．
故当2时，；
（3）当1≤t≤2时，2t2﹣42；
当2＜t≤时，﹣t2+30t﹣32；
当＜t≤3时，﹣2t2+6t；
（4）△的边和矩形的边有三个公共点时2或．
点评：
考查了相似形综合题，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，图形的面积计算，函数思想，方程思想，分类思想的运用，有一定的难度．

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