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圆锥曲线第2讲 双曲线
【知识要点】
一、 双曲线的定义
1. 双曲线的第一定义：
平面内到两个定点、的距离之差的绝对值等于定长（）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
注1：在双曲线的定义中，必须强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作），不但要小于这两个定点之间的距离（记作），而且还要大于零，否则点的轨迹就不是一个双曲线。具体情形如下：
（ⅰ）当时，点的轨迹是线段的垂直平分线；
（ⅱ）当时，点的轨迹是两条射线；
（ⅲ）当时，点的轨迹不存在；
（ⅳ）当时，点的轨迹是双曲线。
特别地，若去掉定义中的“绝对值”，则点的轨迹仅表示双曲线的一支。
注2：若用表示动点，则双曲线轨迹的几何描述法为（，），即。
2. 双曲线的第二定义：
平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线。
二、 双曲线的标准方程
1. 双曲线的标准方程
（1） 焦点在轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是（，）；
（2） 焦点在轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是（，）.
注：若题目已给出双曲线的标准方程，那其焦点究竟是在轴还是在轴，主要看实半轴跟谁走。若实半轴跟走，则双曲线的焦点在轴；若实半轴跟走，则双曲线的焦点在轴。
2. 等轴双曲线
当双曲线的实轴与虚轴等长时（即），我们把这样的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为（）
注：若题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，则我们可设该等轴双曲线的方程为（），再结合其它条件，求出的值，即可求出该等轴双曲线的方程。进一步讲，若求得的，则该等轴双曲线的焦点在轴、中心在坐标原点；若求得的，则该等轴双曲线的焦点在轴、中心在坐标原点。
三、 双曲线的性质
以标准方程（，）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
（1） 范围：，即或；
（2） 对称性：关于轴、轴轴对称，关于坐标原点中心对称；
（3） 顶点：左、右顶点分别为、；
（4） 焦点：左、右焦点分别为、；
（5） 实轴长为，虚轴长为，焦距为；
（6） 实半轴、虚半轴、半焦距之间的关系为；
（7） 准线：；
（8） 焦准距：；
（9） 离心率：且. 越小，双曲线的开口越小；越大，双曲线的开口越大；
（10） 渐近线：；
（11） 焦半径：若为双曲线右支上一点，则由双曲线的第二定义，有，；
（12） 通径长：.
注1：双曲线（，）的准线方程为，渐近线方程为。
注2：双曲线的焦准距指的是双曲线的焦点到其相应准线的距离。以双曲线的右焦点和右准线：为例，可求得其焦准距为；
注3：双曲线的焦点弦指的是由过双曲线的某一焦点与该双曲线交于不同两点的直线所构成的弦。双曲线的通径指的是过双曲线的焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是双曲线的所有焦点弦中最短的弦。设双曲线的方程为（，），过其焦点且垂直于轴的直线交该双曲线于、两点（不妨令点在轴的上方），则，，于是该双曲线的通径长为.
四、关于双曲线的标准方程，需要注意的几个问题
（1） 关于双曲线的标准方程，最基本的两个问题是：其一，当题目已指明曲线的位置特征，并给出了“特征值”（指、、的值或它们之间的关系，由这个关系结合，我们可以确定出、、的值）时，我们便能迅速准确地写出双曲线的标准方程；其二，当题目已给出双曲线的标准方程时，我们便能准确地判断出双曲线的位置特征，并能得到、、的值。
（2） 双曲线的标准方程中的参数、、是双曲线所固有的，与坐标系的建立无关；、、三者之间的关系：必须牢固掌握。
（3） 求双曲线的标准方程，实质上是求双曲线的标准方程中的未知参数、。根据题目已知条件，我们列出以、为未知参数的两个方程，联立后便可确定出、的值。特别需要注意的是：若题目中已经指明双曲线的焦点在轴或轴上，则以、为未知参数的方程组只有一个解，即、只有一个值；若题目未指明双曲线的焦点在哪个轴上，则以、为未知参数的方程组应有两个解，即、应有两个值。
（4） 有时为方便解题，中心在坐标原点的双曲线的方程也可设为，但此时、必须满足条件：.
（5） 与椭圆不同，双曲线中，最大，离心率，它除了有准线，还有渐近线，而且渐近线是双曲线特有的性质。对于渐近线：①要掌握渐近线的方程；②要掌握渐近线的倾斜角、斜率的求法；③会利用渐近线方程巧设双曲线方程，再运用待定系数法求出双曲线的方程。
（6） 双曲线（，）的渐近线方程可记为，即；双曲线（，）的渐近线方程可记为，即. 特别地，等轴双曲线（）的渐近线方程为. 反过来讲，若已知某一双曲线的渐近线方程为（，为给定的正数），则该双曲线的实半轴与虚半轴具有关系：或.
（7） 双曲线的焦点到其渐近线的距离为.
证明：设双曲线的方程为（，），其左、右焦点为、，渐近线方程为，即.
则焦点到渐近线的距离，
焦点到渐近线的距离.
显然
故双曲线的焦点到其渐近线的距离为
（8） 与椭圆类似，求双曲线的离心率的值，就是要寻找除这一等量关系之外、、之间的另一等量关系；求双曲线的离心率的取值范围，就是要寻找、、之间的不等关系，有时还要适当利用放缩法，这里面体现了方程和不等式的数学思想。
【例题选讲】
题型1：双曲线定义的应用
1. 若一动点到两个定点的距离之差的绝对值为常数（），求点的轨迹方程.
解：由题意知，（），
（ⅰ）当时，
此时点的轨迹是线段的垂直平分线，其方程为
（ⅱ）当时，
此时点的轨迹是两条射线，其方程分别为或
（ⅲ）当时，
此时点的轨迹是以为左、右焦点的双曲线，其中实半轴长为，半焦距，虚半轴，所以其方程为.
2. 方程表示的曲线是（）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的左支 D. 双曲线的右支
解：设是平面内一点，，
则方程 即为
该式表示平面内一点到两个定点、的距离之差等于定长8. 显然。故由双曲线的第一定义知，点的轨迹是双曲线，但仅是双曲线的左支。
3. 已知两圆：，：，动圆与两圆、都相切. 则动圆圆心的轨迹方程是__________.
解：圆：的圆心为，半径为；圆：的圆心为，半径为.
动圆与两圆、都相切，有以下四种情况：
（ⅰ）动圆与两圆、都外切；（ⅱ）动圆与两圆、都内切；
（ⅲ）动圆与圆外切、与圆内切；（ⅳ）动圆与圆内切、与圆外切.
设动圆的半径为
由（ⅰ）知，；由（ⅱ）知，
于是由（ⅰ）、（ⅱ）可知，点的轨迹方程是线段的垂直平分线，其方程为
由（ⅲ）知，，
由（ⅳ）知，，
于是由（ⅲ）、（ⅳ）有，
这表明，点的轨迹方程是以、为左、右焦点的双曲线，其中，
即由（ⅲ）、（ⅳ）可知，点的轨迹方程为
故动圆圆心的轨迹方程是或
4. 已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则=__________.
解：联立得，
（ⅰ）当，即时，直线与双曲线有且仅有一个公共点或，不满足题意.
（ⅱ）当，即时，由直线与双曲线有且仅有一个公共点可知，
，解得
故或
5. 已知过点的直线与双曲线的右支交于、两点，则直线的斜率的取值范围是__________.
解：在双曲线中，
由直线与双曲线的右支交于、两点知，直线的斜率
由直线过点可知，直线的方程为，即
设，
联立，得（）
由题设条件及韦达定理，有
解得：或
故直线的斜率的取值范围是
注：对于中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线而言，若某一直线与其左支交于不同的两点，则当联立双曲线方程与直线方程得到一个一元二次方程后，一般有四个结论：①二次项系数不为零，②判别式，③两交点的横坐标之和小于零，④两交点的横坐标之积大于零；若直线与其右支交于不同的两点，则当联立双曲线方程与直线方程得到一个一元二次方程后，一般也有四个结论：①二次项系数不为零，②判别式，③两交点的横坐标之和大于零，④两交点的横坐标之积大于零。这些基本结论在做题时，必须格外注意。
6. 已知双曲线（）的两个焦点分别为、，点为该双曲线上一点，且，则=__________.
解：在双曲线中，
在中，①
又
②
①代入②得，
故
题型2：求双曲线的方程
7. （1）与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的方程是__________；
（2）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的方程是__________.
解：（1）设所求双曲线的方程是（）
则由该双曲线过点，有
故所求双曲线的方程是，即
（2） 设所求双曲线的方程是（）
则由该双曲线过点，有①
又
②
由①、②得，，
故所求双曲线的方程是
8. 设是常数，若点是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程是__________.
解：在双曲线中，，
而由题意知，
故该双曲线的方程是
9. 已知双曲线的中心在坐标原点，两对称轴都在坐标轴上，且过、两点，则该双曲线的方程是__________.
解：设所求双曲线的方程为（）
则由该双曲线过、两点，有
故所求的双曲线的方程是，即.
10. 已知双曲线：经过点，两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为__________.
解：由双曲线：经过点，有
由双曲线的两条渐近线的夹角为，并且其经过点，可知
联立、，得，
故双曲线的方程为
11. 已知双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共的焦点，则该双曲线的方程是__________.
解：在椭圆中，，，
，，
于是椭圆的左、右焦点分别为、
又所求双曲线的离心率
而
于是，
故所求双曲线的方程为
12. 与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程是_________.
解：在双曲线中，
于是双曲线的左、右焦点分别为、
据此可设所求双曲线的方程为
则由其过点，有
又
联立、，得，
故所求双曲线的方程为
13. 已知双曲线（）的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则该双曲线的方程是__________.
解：由是所求双曲线的一条渐近线知，①
由抛物线的准线方程为知，②
由①、②得，，
故该双曲线的方程是
题型3：双曲线的性质
14. 双曲线的实轴长是__________.
解：在双曲线，即中，
故该双曲线的实轴长
15. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数=_________.
解：在双曲线，即中，，
，即
于是有
故
16. 设双曲线（）的渐近线方程为，则=__________.
解：在双曲线中，
于是该双曲线的渐近线方程为
又由题意知，该双曲线的渐近线方程为，即
故
17. 已知点和点的横坐标相同，点的纵坐标是点的纵坐标的2倍，点和点的轨迹分别为双曲线和. 若的渐近线方程为，则的渐近线方程为__________.
解：设的方程为（），的方程为（）
设，则由题设条件知，
于是由、两点分别在和上，有
又双曲线的渐近线方程为
于是
故双曲线的渐近线方程为
题型4：与双曲线的焦点有关的三角形问题
18. 设、为双曲线的两个焦点，点在该双曲线上，且满足，则的面积为__________.
解：在双曲线中，
于是，
在中，①
又
②
①代入②得，
故
19. 已知椭圆（）与双曲线（）有公共焦点，点是它们的一个公共点.
（1）用和表示；
（2）设，求.
解：（1）在中，由余弦定理有
点是椭圆与双曲线的一个公共点
，
①
②
于是由①、②有
故
（2） 由（1）知，
故
题型5：双曲线的离心率计算问题
20. 已知点在双曲线：（，）上，的焦距为4，则它的离心率为__________.
解：点在双曲线：上
①
又双曲线的焦距为4
于是有②
由①、②得，或（舍去） ，
故双曲线的离心率
21. 若一个双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列，则该双曲线的离心率=__________.
解：由，，成等差数列，有
又
（）
（）式两边同时除以，得 解得：或（舍去）
故该双曲线的离心率
22. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为__________.
解：（ⅰ）当双曲线的焦点在轴上时，
由题意知，
于是
而
此时
（ⅰ）当双曲线的焦点在轴上时，
由题意知，
于是
而
此时
故该双曲线的离心率为或2
23. 已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为__________.
解：由双曲线的渐近线方程为，即可知，或
当时，，即
于是此时该双曲线的离心率
当时，，即，亦即
于是此时该双曲线的离心率
故该双曲线的离心率为或
24. 设，则曲线的离心率的取值范围是（）
A. B. C. D.
解：由，有，
于是方程表示的曲线是双曲线
在双曲线，即中，
而
于是
又双曲线的离心率
故
25. 已知、是双曲线：（，）的左、右焦点，点在上，与轴垂直，且，则的离心率为__________.
解：（法一）轴
又
，即
于是
又
（）
（）式两边同时除以，得
解得：或（舍去）
故双曲线的离心率
（法二）
，等式中的表示的外接圆的直径.
故双曲线的离心率
26. 设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么该双曲线的离心率为__________.
解：设双曲线的方程为（）
则该双曲线的渐近线方程为
设，
则在该双曲线的两条渐近线中，与直线垂直的一条渐近线方程为：
由，有，即
又
，此即 解得：
又
故该双曲线的离心率
题型6：与双曲线有关的综合问题
27. 若曲线与曲线（）恰有三个交点，则=__________.
解：曲线表示左、右焦点分别为，的双曲线，其左、右顶点分别为，
曲线（）表示圆心为，半径为的圆
双曲线与圆恰有三个交点
圆与双曲线的左支交于点
于是有
又
故
28. 已知等轴双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，且过点.
（1）求该双曲线的离心率；
（2）求该双曲线的方程；
（3）若点在该双曲线上，证明：.
解：（1）在等轴双曲线中，实轴长=虚轴长，即
故等轴双曲线的离心率
（2） 所求双曲线为等轴双曲线
可设其方程为（）
又该双曲线过点
故所求双曲线的方程为，即
（3） 在双曲线中，
， 于是，
又
，
于是
又点在双曲线上
故
29. 若点和点分别为双曲线（）的中心和左焦点，点为该双曲线右支上任意一点，则的取值范围是__________.
解：在双曲线中，
由可知，
于是该双曲线的方程为
设，则由点在双曲线右支上知，
，
令，
其对称轴为
函数在上单调递增
于是对任意的，都有
这表明，
故的取值范围是
30. 已知椭圆：（）与双曲线：有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于、两点，若恰好将线段三等分，则椭圆的方程为__________.
解：由椭圆：与双曲线：有公共的焦点知，
于是椭圆的方程可化为，即
双曲线：的一条渐近线方程为
设线段被椭圆所截得的弦为，则，且
联立得，
由此有
于是有
解得：（舍去）
于是
故椭圆的方程为
31. 过点且与双曲线有一个公共点的直线方程为_________.
解：显然，点在双曲线外
（1）当所求直线的斜率不存在时，
显然，过点且与双曲线有一个公共点的直线方程为
（2）当所求直线的斜率存在时，不妨设其斜率为
则由其过点可知，所求直线的方程为，即
联立，得（）
（ⅰ）若，则
当时，由（）式，有无解，不满足题意，舍去
当时，由（）式，有
而此时所求直线的方程为
将代入中，得
即此时所求直线与双曲线的唯一公共点为，满足题意
于是当时，所求直线的方程为
（ⅱ）若，即，则对（）式，由所求直线与双曲线仅有一个公共点，有
，而这显然与矛盾，舍去
于是当时，所求直线不存在
故所求直线的方程为或
32. 过点且与双曲线有一个公共点的直线方程为_________.
解：显然，点在双曲线外
由题意知，所求直线的斜率是存在的，不妨设为
则由其过点可知，所求直线的方程为，即
联立，得（）
（ⅰ）若，则
当时，由（）式，有
而此时所求直线的方程为
将代入中，得
即此时所求直线与双曲线的唯一公共点为，满足题意
当时，由（）式，有
而此时所求直线的方程为
将代入中，得
即此时所求直线与双曲线的唯一公共点为，满足题意
于是当时，所求直线的方程为
（ⅱ）若，即，则对（）式，由所求直线与双曲线仅有一个公共点，有
，即，满足题意
于是当时，所求直线的方程为
故所求直线的方程为或
33. 已知双曲线：.
（1） 求双曲线的渐近线方程；
（2） 已知点的坐标为，设是双曲线上的点，是点关于坐标原点的对称点. 记，求的取值范围.
解：（1）在双曲线中，，
，
故该双曲线的渐近线方程为
（2） 设
则
又
，
于是
又点在双曲线上
于是，其中或
对于函数，
函数在上单调递减
对任意的，都有
对于函数，
函数在上单调递增
对任意的，都有
故对任意的，总有，即的取值范围是.
34. 已知双曲线的顶点和焦点分别是椭圆的焦点和顶点.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 已知椭圆上的定点关于坐标原点的对称点为，设点是椭圆上的任意一点，若直线和的斜率都存在且不为零，试问直线和的斜率之积是定值吗？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
（3） 对于椭圆长轴上的某一点（不含端点），过作动直线（不与轴重合）交椭圆于、两点，若点满足：，证明：.
解：（1）在双曲线中，
于是该双曲线的左右顶点分别为；左右焦点分别为
设椭圆的方程为（）
则由题意知，
于是
故椭圆的方程为
（2） 点是椭圆：上的定点关于坐标原点的对称点
，显然点也在椭圆上
设
则，
于是
又点和点都在椭圆：上
于是有①②
①-②得，
于是
故，即直线和的斜率之积为定值
（3） （ⅰ）当直线不垂直于轴时，设其斜率为
则由其过点可知，直线的方程为，即
椭圆的方程可化为
设，
联立，得
由韦达定理，有
于是
又
而由，，，有
于是，即
故
（ⅱ）当直线垂直于轴时，由椭圆的对称性可知，
综上可知，总有
35. 已知双曲线（）的左右焦点分别为、，直线过点且与该双曲线交于、两点.
（1） 若直线的倾斜角为，是等边三角形，求该双曲线的渐近线方程；
（2） 设. 若直线的斜率存在，且，求直线的斜率.
解：（1）在双曲线中，
直线的倾斜角为
、两点关于轴对称，并且点的横坐标
于是
又是等边三角形
于是有 解得：或（舍去）
故该双曲线的渐近线方程为
（2） 当时，双曲线的方程为
由，，得
，
又直线的斜率存在，不妨设为
则由直线过点可知，直线的方程为，即
双曲线的方程可化为
设，
联立，得
显然
由韦达定理，有
又
而，，
（）
又，
由（）式有，
而
于是有，即， 解得：
故直线的斜率为或
【双曲线中常用的几种数学思想方法】
一、 数形结合思想
1. 已知为一定点，为双曲线的右焦点，在双曲线的右支上移动，则当最小时，点的坐标是__________.
解：在双曲线中，
其离心率，右准线：
过点作于点
则由双曲线的第二定义知，
于是，当且仅当、、三点共线时，最小，且.
由、、三点共线有，
把代入双曲线方程中，得
于是或（舍去）
故点的坐标为
二、 对称思想
2. 若曲线与曲线恰有三个交点，则实数的值为__________.
解：（法一）由于变量在两个方程中都以平方的形式出现，因此若是两曲线的一个交点，则也是它们的一个交点.
这表明，一般情况下，这两个曲线的交点个数不可能有三个（奇数个），除非有，即.
把代入中，得或
把或，代入中，得或，即或
若，则两曲线分别为，即和，显然它们有且只有一个交点，不满足题意。
若，则两曲线分别为，即和，显然它们有三个交点，满足题意。
故
（法二）联立 得，
解得：
（ⅰ）当时，或或
即此时两曲线恰有三个不同的交点，，，满足题意.
（ⅱ）当时，两曲线交点的个数情况如下：
若，两曲线有两个交点；
若，两曲线有且只有一个交点；
若或，两曲线无交点.
以上情况，均不符合题意.
故
注：当时，曲线，即为，亦即直线. 数形结合可见，此时它与曲线，即圆心为，半径为1的圆恰有三个交点；而当时，曲线为左、右顶点分别为，的双曲线，同样由数形结合可见，它与圆心为，半径为1的圆的交点个数根据参数取值的不同而不同。
三、 分类讨论思想
3. 判断方程所表示的曲线.
解：由于方程中含有未知参数，因此对于其所表示的曲线，需要分情况进行讨论。具体如下：
（ⅰ）当，即时，原方程可化为，即
此时原方程表示圆心在坐标原点，半径为的圆。
（ⅱ）当，即时，原方程表示中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆。
（ⅲ）当，即时，原方程表示中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆。
（ⅳ）当，即时，原方程表示中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线。
（ⅴ）当，即时，原方程表示中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线。
四、 转化思想
4. 已知直线与双曲线交于、两点，则当=__________时，以为直径的圆过坐标原点？
解：设，
联立，得
由题设条件，有①，②
由韦达定理，有，
又以线段为直径的圆过坐标原点
而，
（）
又
由（）式，有
解得： 满足①、②
故当时，以为直径的圆过坐标原点.
五、 函数与方程思想
5. 已知直线：与双曲线的左支交于、两点，直线过点和线段的中点，则直线在轴上的截距的取值范围是__________.
解：设，
联立，得（）
由题设条件及韦达定理，有
设
则由点是线段的中点，有，
由直线过点、可知，直线的方程为
，即
在方程中，令，则直线在轴上的截距
令，
其对称轴为
函数在上单调递减
于是对任意的，都有
而，
又
或
于是或
或
故直线在轴上的截距的取值范围是
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