圆---总复习教案.doc

中考总复习教案
——北京北京市第九十七中学
第二十四章 圆
《圆》是初中数学几何部分的重点知识，也是难点之所在。因其知识点多，覆盖面大，综合性强的特点，是中考命题的重要内容之一，北京近三年来在新课标中考试题中“圆”部分一般为独立命题。06年10分；07年9分；08年13分。1至2道选择或填空题，1道圆的解答题，一般两问，即：切线证明，圆中有关计算。圆是特殊的平面曲线图形，具有很多与直线迥异的特性．圆的知识主要分为三个方面：其一，圆的有关概念（半径、弧、弦、圆心角、圆周角等）及其元素之间的一些关系；其二，直线与圆以及圆与圆的位置关系；其三，与圆有关的一些数量的计算（如弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积等）．此外，圆在现实生活中还有着广泛的应用，为培养学生的应用意识和解决实际问题的能力提供了很好的载体．
一、 本章知识框图

垂径定理

二、 课时安排（大致安排四课时左右）
（一） 圆的有关概念与性质（一课时）
（二） 与圆有关的位置（一课时）
（三） 圆的切线的性质和判定（一课时）
（四） 与圆有关的计算（一课时）

二、课时教案
第一课时：圆的有关概念与性质
教学目的
1．理解圆及其有关概念(A)．会过不在同一直线上的三点作圆。（B）
2．了解弧、弦、圆心角、圆周角的关系(B)，并能用圆的性质解决简单问题．(C)
3．了解圆周角、圆心角的关系，了解直径所对的圆周角是直角．(A)
4．能综合运用几何知识解决有关圆周角的问题．(C)
5．会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论(A)，能用垂径定理解决有关问题．(B)
教学重点与难点：
重点：圆的性质、圆周角定理、垂径定理．
难点：利用圆的性质、圆周角定理及推论、垂径定理解决简单问题．
教学方法：用例习题串知识（复习时要注意知识综合性的复习）．
教学过程
（一）知识点梳理
1、圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
3、圆心确定圆的位置,半径确定圆面积的大小.
4、圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
5、圆的旋转不变性.
6、圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦称为直径,圆心到弦的距离称为弦心距.
7、圆上任意两点间的部分叫做弧.直径分圆为两条相等的弧,称为半圆.大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧.
8、圆心相同,半径不同圆称为同心圆.
9、半径相同,圆心不同的圆称为等圆.
10、在同圆或等圆中，能够重合的弧称为等弧.
11、顶点在圆心的角称为圆心角.
12、顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.
13、垂径定理及其推论（定理的知二可推三）
14、圆心角定理及其推论

（二）例习题讲解与练习
1．如图，点A，B，C在⊙O上，∥，∠20°，则∠的度数是（ ）（易）

A．10° B．20°
C．40° D．70°

分析：该题考察圆周角定理，学生应能从图中熟练地找到基本图形
2．如图，已知⊙O的半径为5，弦8，则圆心O到的距离是（ ）（易）
A．1 B．2 C．3 D．4

分析：该题考察垂径定理，应该先作出弦心距，用垂径定理和勾股定理直接得出，
对于常用的勾股数，学生必须非常熟练

3．如图：是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2 （中）

分析：本题考查学生灵活解决问题的方法，此题有多种方法可用
4．已知ＡＢ、ＣＤ是⊙Ｏ的两条平行弦，⊙Ｏ的半径是５ｃｍ，ＡＢ＝８ｃｍ，ＣＤ＝６ｃｍ。求ＡＢ、ＣＤ的距离( )

分析：本题考查垂径定理，注重分类讨论思想

5．如图所示，直线交圆于点A，B，点 M的圆上，点 P在圆外，且点M，P在的同侧，∠50°．设∠°，当点P移动时，则x的变化范围是 。（中）

分析：点 P在圆外，构造圆周角，利用三角形外角性质

考点训练：
1．如图1，为⊙O的直径，∠30°，则∠的度数为（ ）
A．30° B．60° C．80° D．120°
2．如图2，四边形 内接于⊙O，若∠100°，则∠的度数为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
图3

图4
图2
图1

3.（2011四川凉山州）如图，，点C在上，且点C不与A、B重合，则 的度数为（ ）
A．　　 B．或 　　C．　　 D． 或
4. 如图4，已知⊙O的半径13㎝，弦＝24㎝，则 ㎝。
5． A，B，C是平面内的三点，3，3，6，下列说法正确的是（ ）
A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆上；
B．可以画一个圆，使A，B在圆上，C在圆外；
C．可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆外；
D．可以画一个圆，使B，C在圆上，A在圆内

课堂检测题
1. （2011内蒙古乌兰察布）如图， 为 ⊙ O 的直径， 为弦， ⊥ ，如果∠ = 70 ，那么∠A的度数为（ ）
A . B . C . D .
2. 如图2，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠∠∠∠∠E的度数是（ ）
图1
A．180° B．15 0° C．135° D．120°
图4
图2

图3

3.（2011四川重庆，）如图3，⊙O是△的外接圆，∠＝40°，则∠A的度数等于( )
A． 60° B． 50° C． 40° D． 30°
4.（2011浙江省嘉兴）如图，半径为10的⊙O中，弦的长为16，则这条弦的弦心距为
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12

5.（2011安徽）如图，⊙O的两条弦、互相垂直，垂足为E，且，已知1，3，求⊙O的半径。

第二课时：与圆有关的位置关系

教学目的
1．了解点与圆的位置关系。（A）
2．了解直线与圆的位置关系。了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系．（A）
3．能判断一条直线是否为圆的切线；能利用直线与圆的位置关系解决简单问题．(B) 能利用直线与圆的位置关系解决与切线问题(C)
4．了解圆与圆的位置关系（A），能利用圆与圆的位置关系解决简单问题．(B)
教学重点与难点
重点：点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．
难点：综合分析，正确判断点、直线、圆与圆的位置关系．
教学方法：用例习题串知识（复习时要注意知识综合性的复习）．
教学过程
（一）知识点梳理

1、点与圆的位置关系有三种：点在圆外,点在圆上,点在圆内.
点与圆的位置关系的数量关系（点到圆心的距离为d )：
点在圆外 d＞r
点在圆上 d＝r
点在圆内 d＜r
2、直线与圆的位置关系：相离、相切、相交.
直线与圆的位置关系的数量关系（圆心到直线的距离为d）：
直线和圆相离 d＞r
直线和圆相切 d＝r
直线和圆相交 d＜r
3、圆与圆的位置关系（d指两圆心距离）：相交、相切、相离
两圆外离 d＞;
两圆外切 d =
两圆相交 ＜d＜.
两圆内切 d =
两圆内含 d ＜

（二）例习题讲解与练习
1．两圆有多种位置关系，图中不存在的位置关系是．（易）
分析：本题考察圆与圆的位置关系
2．半径是7的圆，其圆心在坐标原点，则下列各点在圆外的是（ ）（易）
A．（3,4） B．（4,4）
C．（4,5） D．（4,6）
分析：本题考察点与圆的位置关系，坐标平面内点到原点的距离（勾股定理）
2．已知圆的半径为6.5，如果一条直线和圆心的距离为9，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）（易）
（A）相交 （B）相切
（C） 相离 （D） 相交或相离
分析：本题考察直线与圆的位置关系

3．如图，是半圆O的直径，点D在的延长线上，
且＝，点C在⊙O上，∠＝300，根据以上信息，
写出两个正确结论：①；②．（易）
分析：本题是结论开放性题目，考察直线与圆的位置关系

4．（易）已知两圆的半径分别为3和6，如果它们的圆心距是9，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
分析：本题考察圆与圆的位置关系

5．（中）已知在Δ中，∠90º，3， 4，以点C为圆心，r为半径画⊙C，
（1）当⊙C与线段只有一个交点时，求半径r的范围；
（2）当⊙C与线段有两个交点时，求半径r的范围；
分析：本题考察直线与圆的位置关系，双垂图的特殊性质
6．（难）海岛C的周围9海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A处测得海岛A位于北偏东60º，航行10海里后到达点B处，又测得海岛C位于北偏东30º，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？
（参考数值： ≈1.41，
≈1.73）

考点训练：
1．如图，⊙O的半径为4，直线l⊥，垂足为O，则直线l沿射线
方向平移时与⊙O相切。
2. 一个点到圆的最大距离为11，最小距离为5，则圆的半径为 ( )
A．16或6 B．3或8 　 C．3 　　 D．8
3．已知∠60°，点O在∠的平分线上，5，以O为圆心3为半径作圆，则⊙O与的位置关系是．
图4
图3
图2
4．如图2，B是线段上的一点，且：2：5，分别以、为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为．

5．已知∠30°，C是射线上的一点，且4，若以C为圆心，r为半径的圆与射线有两个不同的交点，则r的取值范围是 。

6．如图3，已知⊙O的直径与弦的夹角为35°，过点C的切线与的延长线交于点P，那么∠P等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
7．我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，人们定义了点与点的距离，点到直线的距离．类似地，如图4所示，若P是⊙O外一点，直线交⊙O于A、B两点，切⊙O于点C，
则点P到⊙O的距离是（ ）
A．线段的长度；B．线段的长度； C．线段的长度；D．线段的长度
课堂检测：
1．如图1，是⊙O的切线，2，则∠B的度数是．
2. 生活处处皆学问，如图2，眼镜镜片所在的两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．内含 D．内切
3．已知⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为4，O1O2长为3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
A
B
D
O
C
图4
4. 如图3，从一块直径为的圆形纸板上挖去直径分别为a和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是．

图3
图2
图1

5. 如图4，是⊙O的直径，点D在的延长线上，切⊙O于点C，若∠25°，则∠D等于
A．20° B．30° C．40° D．50°

第三课时：圆的切线的性质和判定

教学目的
1．能判断一条直线是否为圆的切线；能利用直线与圆的位置关系解决简单问题。（B）
2．能解决与切线有关的问题．(C)
教学重点与难点
重点：能判断一条直线是否为圆的切线．
难点：综合分析，能解决与切线有关的问题．
教学方法：用例习题串知识（复习时要注意知识综合性的复习）．
教学过程
（一）知识梳理
现实情境
（二）例习题讲解与练习
1．如图，、是⊙O的切线，切点分别为A 、B，点C在⊙O上．如果∠P＝50○ ，那么∠等于（ ）（中）
A．40○ B．50○ C．65○ D．130○

分析：该题考察到了切线的性质定理，圆周角定理及四边形的内角和定理，要求学生能熟练作出辅助线，并从中找出基本图形，找到解题方法。
2．（中）如图，，是⊙O的切线，A，B为切点，∠30°．
（1）求∠的度数；
（2）当3时，求的长．
分析：本题考察切线长定理，和含特殊角的直角三角的性质。

3．（中）已知：如图，是⊙O的直径，P是⊙O外一点，
⊥，弦∥，请判断是否为⊙O的切线，说明理由．

分析：给圆上点，连半径，证垂直

4．（中）在图1和图2中，已知，24，⊙O的直径为10．
（1）如图1，与⊙O相切于点C，试求的值；
（2）如图2，若与⊙O相交于D、E两点，且D、 E均为的三等分点，试求的值．

5．（较难）如图，直线切⊙O于点A，点C、D在⊙O上．试探求：
（1）当为⊙O的直径时，如图①，∠D与∠的大小关系如何？并说明理由．
（2）当不为⊙O的直径时，如图②，∠D与∠的大小关系同②一样吗？为什么？

考点训练：
1．如图、、都是⊙O的切线，4，则Δ的周长是 (中)

2．（中）如图，⊙O的直径6，D为⊙O上一点，∠30°，过点D的切线交的延长线于点C．
求：（1）∠的度数；
（2）的长．

3. （2011四川广安，）如图8所示．P是⊙O外一点．是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且，连接、、，并延长与切线相交于点Q．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）求证： · ·；
（3）设∠．若． 15．求的长
_
Q
_
P
_
O
_
B
_
A
图8

课堂检测
1. 已知⊙O的半径为8，如一条直线和圆心O的距离为8，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相离

2. 如图1，与⊙O切于点B，6，4，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．2 C．2 D． m
3. 如图，点O是△的内切圆的圆心，若∠80°，则∠（ ）
A．130° B．100° C．50° D．65°

4. （2011四川乐山）如图，D为圆O上一点，点C在直径的延长线上，且∠∠.
(1)求证是⊙O的切线;
(2)过点B作圆O的切线交的延长线于点E,若6∠,求的长
4.

第四课时：与圆有关的计算

教学目的
1．会根据切线长知识解决有关问题。（B）
2．会计算弧长．能利用弧长解决有关问题(B)
3．会计算扇形面积，能利用扇形面积解决有关问题(B)
4．会求圆锥的侧面积和全面积，能解决与圆锥有关的简单实际问题。(B)
5．掌握正三角形、正四边形、正六边形的有关计算及镶嵌问题。（放在直线型中）
教学重点与难点
重点：切现长定理、弧长、扇形面积、圆锥侧面积、全面积的计算公式．
难点：定理、公式的理解与运用．
教学方法：用例习题串知识（复习时要注意知识综合性的复习）．
教学过程
（一）知识梳理

（二）例习题讲解与练习
1. （易）（2011山东临沂）如图，是一圆锥的主视图，则此圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°

思考：从主视图中，你能得到圆锥的什么信息？

2. （易）如图，两个同心圆中，大圆的半径4，∠∠60°，则图中阴影部分的面积是2．

思考：条件∠∠60°起什么作用？

3. 圆锥的母线与高的夹角为30°，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的弧长与半径的比是

思考：圆锥和圆锥侧面展开图之间的关系？

4．（中）如图，△的斜边35，21，点O在边上，20，一个以O为圆心的圆，分别切两直角边边、于D、E两点，求的长度。

思考：要求弧长，得求什么？你是如何做到的？

5．（中）如图，在△中，∠90°，6，把这个三角形在平面内绕点C顺时针旋转90°，得到△A´B´C，那么点B到点B´移动走过的路线长是．

思考：点B到点B´移动走过的路线是什么图形?
考点训练：
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则扇形的弧长是，扇形的面积是2．
2．圆锥的底面半径为6，高为8，那么这个圆锥的侧面积是2．
3．已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
4．将直径为64的圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的高为（ ）
A．8 B．8 C．16 D．16
5．如图5，圆心角都是90°的扇形
与扇形叠放在一起，3，1，分别连结、
，则圆中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．π C．2π D．4π 图5 图6
6．如图6，切圆O于A，交圆O于B，且1，，则阴影部分的面积．
课堂检测
1. （2011广东广州市）如图2，切⊙O于点B，2，3，弦∥，则劣弧的弧长为（ ）．
A．π B．π C．π D．π
C
B
A
O

2.（2011山东济宁，9，3分）如图，如果从半径为9的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）
（第9题）
剪去

A．6 B． C．8 D．
3.（2011山东泰安，14 ，3分）一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）
A.5π B. 4π C.3π D.2π
4.（2011湖南常德，14，3分）已知圆锥底面圆的半径为6厘米，高为8厘米，则圆锥的侧面积为 A．48 B. 48π C. 120π D. 60π