高中数学经典高考难题集锦(解析版).doc

2015年10月18日姚杰的高中数学组卷

一．选择题（共11小题）
1．（2014•湖南）若0＜x1＜x2＜1，则（　　）
A．﹣＞lnx2﹣lnx1 B．﹣＜lnx2﹣lnx1
C．x2＞x1 D．x2＜x1

2．（2005•天津）若函数f（x）=loga（x3﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间内单调递增，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．

3．（2009•上海）函数的反函数图象是（　　）
A． B． C． D．

4．（2008•天津）设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=3，这时a的取值集合为（　　）
A．{a|1＜a≤2} B．{a|a≥2} C．{a|2≤a≤3} D．{2，3}

5．（2005•山东）0＜a＜1，下列不等式一定成立的是（　　）
A．|log（1+a）（1﹣a）|+|log（1﹣a）（1+a）|＞2；
B．|log（1+a）（1﹣a）|＜|log（1﹣a）（1+a）|；
C．|log（1+a）（1﹣a）+log（1﹣a）（1+a）|＜|log（1+a）（1﹣a）|+|log（1﹣a）（1+a）|；
D．|log（1+a）（1﹣a）﹣log（1﹣a）（1+a）|＞|log（1+a）（1﹣a）|﹣|log（1﹣a）（1+a）|

6．（2005•天津）设f﹣1（x）是函数f（x）=（ax﹣a﹣x）（a＞1）的反函数，则使f﹣1（x）＞1成立的x的取值范围为（　　）
A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（，a） D．[a，+∞）

7．（2004•天津）函数（﹣1≤x＜0）的反函数是（　　）
A． B．
C． D．

8．（2004•江苏）设k＞1，f（x）=k（x﹣1）（x∈R）．在平面直角坐标系xOy中，函数y=f（x）的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f﹣1（x）的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点．已知四边形OAPB的面积是3，则k等于（　　）
A．3 B． C． D．

9．（2006•天津）已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）﹣1]．若y=g（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．（0，1）∪（1，2） C． D．

10．（2011•湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（　　）
A．5太贝克 B．75In2太贝克 C．150In2太贝克 D．150太贝克

11．（2014•湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（　　）
A． B． C． D．﹣1

二．填空题（共12小题）
12．（2013•北京）函数的值域为　　　　　　．

13．（2011•湖北）里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为　　　　　　级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的　　　　　　 倍．

14．（2007•上海）函数 的反函数是　　　　　　．

15．（2006•江苏）不等式的解集为　　　　　　．

16．（2005•北京）设函数f（x）=2x，对于任意的x1，x2（x1≠x2），有下列命题
①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；③；④．其中正确的命题序号是
　　　　　　．

17．（2004•广东）函数的反函数f﹣1（x）=　　　　　　．

18．（2011秋•岳阳楼区校级期末）已知0＜a＜1，0＜b＜1，如果＜1，那么x的取值范围为　　　　　　．

19．（2005•天津）设，则的定义域为　　　　　　．

20．（2008•天津）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=c，这时a的取值的集合为　　　　　　．

21．（2002•上海）已知函数y=f（x）（定义域为D，值域为A）有反函数y=f﹣1（x），则方程f（x）=0有解x=a，且f（x）＞x（x∈D）的充要条件是y=f﹣1（x）满足　　　　　　．

22．（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0=　　　　　　．

23．（2004•湖南）若直线y=2a与函数y=|ax﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是　　　　　　．

三．解答题（共7小题）
24．（2014秋•沙河口区校级期中）21、设的大小，并证明你的结论．

25．解不等式

26．（2006•重庆）已知定义域为R的函数是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．

27．如果正实数a，b满足ab=ba．且a＜1，证明a=b．

28．（2011•上海模拟）已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式．

29．（2010•荔湾区校级模拟）f（x）=lg，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．
（Ⅰ）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求a的取值范围；
（Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．

30．（2010•四川）设，a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．
（Ⅰ）设关于x的方程求在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；
（Ⅱ）当a=e，e为自然对数的底数）时，证明：；
（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较||与4的大小，并说明理由．

2015年10月18日姚杰的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一．选择题（共11小题）
1．（2014•湖南）若0＜x1＜x2＜1，则（　　）
A．﹣＞lnx2﹣lnx1 B．﹣＜lnx2﹣lnx1
C．x2＞x1 D．x2＜x1
考点：
对数的运算性质．
专题：
导数的综合应用．
分析：
分别设出两个辅助函数f（x）=ex+lnx，g（x）=，由导数判断其在（0，1）上的单调性，结合已知条件0＜x1＜x2＜1得答案．
解答：
解：令f（x）=ex﹣lnx，
则f′（x）=，
当x趋近于0时，xex﹣1＜0，当x=1时，xex﹣1＞0，
因此在（0，1）上必然存在f′（x）=0，
因此函数f（x）在（0，1）上先递减后递增，故A、B均错误；
令g（x）=，
，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（0，1）上为减函数，
∵0＜x1＜x2＜1，
∴，
即．
∴选项C正确而D不正确．
故选：C．
点评：
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答此题的关键在于想到构造两个函数，是中档题．

2．（2005•天津）若函数f（x）=loga（x3﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间内单调递增，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
考点：
对数函数的单调性与特殊点．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
将函数看作是复合函数，令g（x）=x3﹣ax，且g（x）＞0，得x∈（﹣，0）∪（，+∞），因为函数是高次函数，所以用导数来判断其单调性，再由复合函数“同增异减”求得结果．
解答：
解：设g（x）=x3﹣ax，g（x）＞0，得x∈（﹣，0）∪（，+∞），
g′（x）=3x2﹣a，x∈（﹣，0）时，g（x）递减，
x∈（﹣，﹣ ）或x∈（，+∞）时，g（x）递增．
∴当a＞1时，减区间为（﹣，0），不合题意，
当0＜a＜1时，（﹣，0）为增区间．
∴﹣≥﹣．
∴a∈[，1）
故选B．
点评：
本题主要考查复合函数的单调性，结论是同增异减，解题时一定要注意定义域．

3．（2009•上海）函数的反函数图象是（　　）
A． B． C． D．
考点：
反函数；函数的图象．
专题：
常规题型；压轴题．
分析：
先画出条件中函数式的图象，再将其图象作关于直线y=x对称的图象即得．
解答：
解：作出函数的图象，如图，
∵互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，
∴函数的反函数图象是：C．
故选C．

点评：
本小题主要考查反函数、反函数的应用、函数的图象等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

4．（2008•天津）设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=3，这时a的取值集合为（　　）
A．{a|1＜a≤2} B．{a|a≥2} C．{a|2≤a≤3} D．{2，3}
考点：
幂函数的实际应用．
专题：
压轴题．
分析：
先由方程logax+logay=3解出y，转化为函数的值域问题求解．
解答：
解：易得，在[a，2a]上单调递减，
所以，
故⇒a≥2
故选B．
点评：
本题考查对数式的运算、反比例函数的值域、集合的关系等问题，难度不大．注意函数和方程思想的应用．

5．（2005•山东）0＜a＜1，下列不等式一定成立的是（　　）
A．|log（1+a）（1﹣a）|+|log（1﹣a）（1+a）|＞2；
B．|log（1+a）（1﹣a）|＜|log（1﹣a）（1+a）|；
C．|log（1+a）（1﹣a）+log（1﹣a）（1+a）|＜|log（1+a）（1﹣a）|+|log（1﹣a）（1+a）|；
D．|log（1+a）（1﹣a）﹣log（1﹣a）（1+a）|＞|log（1+a）（1﹣a）|﹣|log（1﹣a）（1+a）|
考点：
对数函数的单调性与特殊点．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
用特殊值法，来排除不成立的选项即可．
解答：
解：取满足题设的特殊数值a=，
log（1+a）（1﹣a）=＜=﹣1，
0＞log（1﹣a）（1+a）=＞2=﹣1，
检验不等式（B），（C），（D）均不成立，
故选A
点评：
本题主要考查客观题的解法，可灵活选择方法，如特殊法，验证法，数形结合法等，解题不但灵活，而且效率很高．

6．（2005•天津）设f﹣1（x）是函数f（x）=（ax﹣a﹣x）（a＞1）的反函数，则使f﹣1（x）＞1成立的x的取值范围为（　　）
A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（，a） D．[a，+∞）
考点：
反函数．
专题：
压轴题．
分析：
本题考查反函数的概念、求反函数的方法、解指数方程、解不等式等知识点，有一定的综合性；
首先由函数f（x）=（ax﹣a﹣x）（a＞1）求其反函数，要用到解指数方程，整体换元的思想，将ax看作整体解出，然后由f﹣1（x）＞1构建不等式解出即可．
解答：
解：由题意设y=（ax﹣a﹣x）整理化简得a2x﹣2yax﹣1=0，
解得：
∵ax＞0，∴，
∴x=loga（y+）
∴f﹣1（x）=loga（x+）
由使f﹣1（x）＞1得loga（x+）＞1
∵a＞1，∴x+＞a
由此解得：
故选A
点评：
本题虽为小题，看似简单，实际上综合性强，用到多方面的知识和方法，更需要一定的运算能力；
尤其在求x时难度大些，不仅要用换元思想把ax看作整体求解，还要根据范围舍去

7．（2004•天津）函数（﹣1≤x＜0）的反函数是（　　）
A． B．
C． D．
考点：
反函数．
专题：
计算题；压轴题；方程思想．
分析：
解方程，根据x的范围，求出x的值，然后x，y 互换，求出函数的反函数．
解答：
解：函数，可得x2﹣1=log3y
x2=1+log3y，∵﹣1≤x＜0，∴
所以函数（﹣1≤x＜0）的反函数是：
故选D．
点评：
本题考查反函数的求法，考查就是能力，是基础题．

8．（2004•江苏）设k＞1，f（x）=k（x﹣1）（x∈R）．在平面直角坐标系xOy中，函数y=f（x）的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f﹣1（x）的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点．已知四边形OAPB的面积是3，则k等于（　　）
A．3 B． C． D．
考点：
反函数．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先根据题意画出图形，由于互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称，从而两个函数的图象交于P点必在直线y=x上．且A，B两点关于y=x对称，利用四边形OAPB的面积=AB×OP，求得P（3，3）从而求得k值．
解答：
解：根据题意画出图形，如图．
由于互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称，
所以这两个函数的图象交于P点必在直线y=x上．
且A，B两点关于y=x对称，
∴AB⊥OP
∴四边形OAPB的面积=AB×OP=×OP=3，
∴OP=3．
∴P（3，3）代入f（x）=k（x﹣1）得：
k=
故选B．

点评：
本题主要考查反函数，反函数是函数知识中重要的一部分内容．对函数的反函数的研究，我们应从函数的角度去理解反函数的概念，从中发现反函数的本质，并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题．

9．（2006•天津）已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）﹣1]．若y=g（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．（0，1）∪（1，2） C． D．
考点：
指数式与对数式的互化；反函数．
专题：
压轴题．
分析：
先表述出函数f（x）的解析式然后代入将函数g（x）表述出来，然后对底数a进行讨论即可得到答案．
解答：
解：已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，
则f（x）=logax，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）﹣1]=（logax）2+（loga2﹣1）logax．
当a＞1时，
若y=g（x）在区间上是增函数，y=logax为增函数，
令t=logax，t∈[，loga2]，要求对称轴，矛盾；
当0＜a＜1时，若y=g（x）在区间上是增函数，y=logax为减函数，
令t=logax，t∈[loga2，]，要求对称轴，
解得，
所以实数a的取值范围是，
故选D．
点评：
本题主要考查指数函数与对数函数互为反函数．这里注意指数函数和对数函数的增减性与底数的大小有关，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．

10．（2011•湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（　　）
A．5太贝克 B．75In2太贝克 C．150In2太贝克 D．150太贝克
考点：
有理数指数幂的运算性质．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
由t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），先求出M'（t）=M0×，再由M'（30）=M0×=﹣10ln2，求出M0，然后能求出M（60）的值．
解答：
解：M'（t）=M0×，
M'（30）=M0×=﹣10ln2，
∴M0=600．
∴．
故选D．
点评：
本题考查有理数指数幂的运算法则，解题时要注意导数的合理运用．

11．（2014•湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（　　）
A． B． C． D．﹣1
考点：
有理数指数幂的化简求值．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据增长率之间的关系，建立方程关系即可得到结论．
解答：
解：设原来的生产总值为a，平均增长率为x，
则a（1+p）（1+q）=a（1+x）2，
解得1+x=，
即x=﹣1，
故选：D．
点评：
本题主要考查指数幂的计算，根据条件建立条件关系是解决本题的关键，比较基础．

二．填空题（共12小题）
12．（2013•北京）函数的值域为　（﹣∞，2）　．

考点：
对数函数的值域与最值；函数的值域．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
通过求解对数不等式和指数不等式分别求出分段函数的值域，然后取并集得到原函数的值域．
解答：
解：当x≥1时，f（x）=；
当x＜1时，0＜f（x）=2x＜21=2．
所以函数的值域为（﹣∞，2）．
故答案为（﹣∞，2）．
点评：
本题考查了函数值域的求法，分段函数的值域要分段求，最后取并集．是基础题．

13．（2011•湖北）里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为　6　级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的　10000　 倍．

考点：
对数的运算性质．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据题意中的假设，可得M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=6；设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍．
解答：
解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，
则M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6．
设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，
9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，
∴．
故答案为：6，10000．
点评：
本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．

14．（2007•上海）函数 的反函数是　　．

考点：
反函数．
专题：
压轴题；函数的性质及应用．
分析：
由原函数的分段解析式分别解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域），最后再写成分段函数的形式即可．
解答：
解：∵y=x2+1（x≥0），
∴x=，y≥1，
故y=x2+1（x≥0）的反函数为 y=（x≥1），
同样地，y=（x＜0）的反函数为 y=（x＜0），
∴函数 的反函数是 ．
故答案为：．
点评：
本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．

15．（2006•江苏）不等式的解集为　　．

考点：
对数函数的单调性与特殊点；其他不等式的解法．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
由不等式=log28知0＜，由此可得到所求的解集．
解答：
解：，0＜，
∴．
解得
故答案：．
点评：
本题考查对数函数单调性和不等式的解法，解题时要注意公式的灵活运用．在数的比较大小过程中，要遵循这样的规律，异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分，再去比较它们剩余部分，就会很轻易啦．一般在数的比较大小中有如下几种方法：（1）作差比较法和作商比较法，前者和零比较，后者和1比较大小；（2）找中间量，往往是1，在这些数中，有的比1大，有的比1小；，（3）计算所有数的值；（4）选用数形结合的方法，画出相应的图形；（5）利用函数的单调性等等．

16．（2005•北京）设函数f（x）=2x，对于任意的x1，x2（x1≠x2），有下列命题
①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；③；④．其中正确的命题序号是
　①③④　．

考点：
指数函数的图像与性质．
专题：
压轴题．
分析：
根据指数的运算性质和指数函数的单调性以及凹凸性对①②③④进行逐一进行判定即可．
解答：
解：=，所以对于①成立，
+≠，所以对于②不成立，
函数f（x）=2x，在R上是单调递增函数，
若x1＞x2则f（x1）＞f（x2），则，
若x1＜x2则f（x1）＜f（x2），则，故③正确
说明函数是凹函数，而函数f（x）=2x是凹函数，故④正确
故答案为：①③④
点评：
本题考查指数函数的性质，指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质．

17．（2004•广东）函数的反函数f﹣1（x）=　e2x+2ex（x∈R）　．

考点：
反函数．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
欲求原函数的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．
解答：
解：∵，
∴x=e2y+2ey，
∴x，y互换，得y=e2x+2ex（x∈R）．
故填：e2x+2ex（x∈R）．
点评：
本题考查反函数的求法，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．

18．（2011秋•岳阳楼区校级期末）已知0＜a＜1，0＜b＜1，如果＜1，那么x的取值范围为　（3，4）　．

考点：
指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点．
专题：
计算题；压轴题；转化思想．
分析：
根据条件0＜a＜1，0＜b＜1，以及指数函数、对数函数的单调性和特殊点，把不等式进行等价转化，从而得到x的取值范围．
解答：
解：∵0＜a＜1，0＜b＜1，如果＜1，∴logb（x﹣3）＞0，
∴0＜x﹣3＜1，∴3＜x＜4，
故答案为：（3，4）．
点评：
本题考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，体现了等价转化的数学思想．

19．（2005•天津）设，则的定义域为　（﹣4，﹣1）∪（1，4）　．

考点：
对数函数的定义域．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
对数的真数大于0，求出定义域，然后使有意义建立方程组，解答即可．
解答：
解：要使函数有意义，则解得x∈（﹣2，2）
要确保两个式子都要有意义，则⇒x∈（﹣4，﹣1）∪（1，4）
故答案为：（﹣4，﹣1）∪（1，4）
点评：
本题考查对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．

20．（2008•天津）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=c，这时a的取值的集合为　{2}　．

考点：
对数的运算性质；函数单调性的性质．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
由logax+logay=c可以用x表达出y，转化为函数的值域问题求解．
解答：
解：∵logax+logay=c，
∴=c
∴xy=ac
得，单调递减，所以当x∈[a，2a]时，
所以，因为有且只有一个常数c符合题意，所以2+loga2=3，解得a=2，所以a的取值的集合为{2}．
故答案为：{2}
点评：
本题考查函数与方程思想，需要有较强的转化问题的能力．

21．（2002•上海）已知函数y=f（x）（定义域为D，值域为A）有反函数y=f﹣1（x），则方程f（x）=0有解x=a，且f（x）＞x（x∈D）的充要条件是y=f﹣1（x）满足　f﹣﹣1（0）=a，且f﹣﹣1（x）＜x（x∈A）/y=f﹣﹣1（x）的图象在直线y=x的下方，且与y轴的交点为（0，a）…　．

考点：
反函数；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：
综合题；压轴题．
分析：
利用函数与反函数图象关于直线y=x对称，由f（a）=0 可得f﹣﹣1（0）=a；由f（x）＞x（x∈D）可得 f﹣﹣1（x）＜x，x∈A．
解答：
解：因为函数与反函数图象关于直线y=x对称，f（x）=0有解x=a，故f﹣﹣1（0）=a．
∵f（x）＞x（x∈D），∴f﹣﹣1（x）＜x，x∈A．
即 y=f﹣﹣1（x）的图象在直线y=x的下方，且与y轴交与点（0，a），
故答案为：f﹣﹣1（0）=a，f﹣﹣1（x）＜x，x∈A．或 y=f﹣﹣1（x）的图象在直线y=x的下方，且与y轴交与点（0，a）．
点评：
本题考查函数与反函数的图象间的关系，反函数的定义．

22．（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0=　2　．

考点：
反函数；函数的零点．
专题：
压轴题；函数的性质及应用．
分析：
根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当x∈[0，1）时，x∈[1，2）时f（x）的值域，进而可判断此时f（x）=x无解；由f（x）在定义域[0，3]上存在反函数可知：x∈[2，3]时，f（x）的取值集合，再根据方程f（x）=x有解即可得到x0的值．
解答：
解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），
所以对于函数f（x），
当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；
当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；
所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，
又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，
故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），
故若f（x0）=x0，只有x0=2，
故答案为：2．
点评：
本题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．

23．（2004•湖南）若直线y=2a与函数y=|ax﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是　0＜a＜　．

考点：
指数函数的图像与性质；指数函数综合题．
专题：
作图题；压轴题；数形结合．
分析：
先分：①0＜a＜1和a＞1时两种情况，作出函数y=|ax﹣1|图象，再由直线y=2a与函数y=|ax﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，作出直线，移动直线，用数形结合求解．
解答：
解：①当0＜a＜1时，作出函数y=|ax﹣1|图象：
若直线y=2a与函数y=|ax﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点
由图象可知0＜2a＜1，
∴0＜a＜．
②：当a＞1时，作出函数y=|ax﹣1|图象：
若直线y=2a与函数y=|ax﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点
由图象可知0＜2a＜1，
此时无解．
综上：a的取值范围是0＜a＜．
故答案为：0＜a＜

点评：
本题主要考查指数函数的图象和性质，主要涉及了函数的图象变换及函数的单调性，同时，还考查了数形结合的思想方法．

三．解答题（共7小题）
24．（2014秋•沙河口区校级期中）21、设的大小，并证明你的结论．

考点：
对数的运算性质；对数值大小的比较．
专题：
压轴题．
分析：
先判断与的大小，再由对数函数的单调性可得到答案．
解答：
解：当t＞0时，由基本不等式可得，当且仅当t=1时取“=”号
∴
t≠1时，
当0＜a＜1时，y=logax是单调减函数，∴，即
当a＞1时，y=logax是单调增函数，∴＞，即＞
点评：
本题主要考查对数函数的单调性，即当底数大于1时函数单调递增，当底数大于0小于1时函数单调递减．

25．解不等式

考点：
对数函数的单调性与特殊点；其他不等式的解法．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
等式可以转化为根据指数函数的单调性进一步可转化为但为了保证式子有意义，对数式的真数部分必须大于0，即故原不等式可转化为不等式组．
解答：
解：原不等式等价于
当x＞0时，上述不等式组变成
解得：
当x＜0时，上述不等式组变成
解得
所以原不等式解集为
点评：
对数不等式，其解法是将不等号两边化为同底的指数式，然后根据相应的指数函数的性质解答，但在解答过程中要注意，要始终保证真数部分的式子大于0，即让真数式有意义．

26．（2006•重庆）已知定义域为R的函数是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．

考点：
指数函数单调性的应用；奇函数．
专题：
压轴题．
分析：
（Ⅰ）利用奇函数定义，在f（﹣x）=﹣f（x）中的运用特殊值求a，b的值；
（Ⅱ）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即
又由f（1）=﹣f（﹣1）知．
所以a=2，b=1．
经检验a=2，b=1时，是奇函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．
又因为f（x）是奇函数，
所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0
等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．
即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，
从而判别式．
所以k的取值范围是k＜﹣．
点评：
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．

27．如果正实数a，b满足ab=ba．且a＜1，证明a=b．

考点：
对数函数图象与性质的综合应用．
专题：
证明题；压轴题．
分析：
这道题可以有三种不同的证明方法．证法一的思路：由ab=ba，得blna=alnb，从而，考虑函数，它的导数是然后根据函数的单调性用反证法进行证明．
证法二的思路是因为0＜a＜1，ab=ba，所以blogaa=alogab，即．然后根据对数函数的性质用反证法进行证明．
证法三的思路是假如a＜b，则可设b=a+ε，其中ε＞0由于0＜a＜1，ε＞0，根据幂函数或指数函数的性质用反证法进行证明．
解答：
证一：由ab=ba，得blna=alnb，从而
考虑函数，它的导数是
因为在（0，1）内f'（x）＞0，所以f（x）在（0，1）内是增函数
由于0＜a＜1，b＞0，所以ab＜1，从而ba=ab＜1．由ba＜1及a＞0，
可推出b＜1．
由0＜a＜1，0＜b＜1，假如a≠b，
则根据f（x）在（0，1）内是增函数，
得f（a）≠f（b），即，
从而ab≠ba这与ab=ba矛盾
所以a=b
证二：因为0＜a＜1，ab=ba，
所以blogaa=alogab，即
假如a＜b，则，但因a＜1，
根据对数函数的性质，
得矛盾
所以a不能小于b
假如a＞b，则，而logab＞1，这也与矛盾
所以a不能大于b，因此a=b
证三：假如a＜b，则可设b=a+ε，其中ε＞0
由于0＜a＜1，ε＞0，
根据幂函数或指数函数的性质，得aε＜1和，
所以，
即ab＜ba．这与ab=ba矛盾，所以a不能小于b
假如b＜a，则b＜a＜1，可设a=b+ε，其中ε＞0，同上可证得ab＜ba．
这于ab=ba矛盾，所以a不能大于b
因此a=b
点评：
反证法是证明的一种重要方法，一题多证、举一反三能够有效地提高我们的证明能力．

28．（2011•上海模拟）已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式．

考点：
对数的运算性质；换底公式的应用；其他不等式的解法．
专题：
计算题；压轴题；分类讨论．
分析：
利用对数换底公式，原不等式左端化简，对n是偶数，奇数分类解不等式，即可．
解答：
解：利用对数换底公式，原不等式左端化为
logax﹣4•+12•++n（﹣2）n﹣1•
=[1﹣2+4++（﹣2）n﹣1]logax
=logax
故原不等式可化为logax＞loga（x2﹣a）．①
当n为奇数时，＞0，不等式①等价于
logax＞loga（x2﹣a）．②
因为a＞1，②式等价于
因为＜0，＞=，
所以，不等式②的解集为{x|＜x＜}．
当n为偶数时，＜0，不等式①等价于
logax＞loga（x2﹣a）．③
因为a＞1，③式等价于或
因为，
所以，不等式③的解集为{x|x＞}．
综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是{x|}；
当n为偶数时，原不等式的解集是{x|}
点评：
本题考查换底公式，对数的运算性质，对数不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题．

29．（2010•荔湾区校级模拟）f（x）=lg，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．
（Ⅰ）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求a的取值范围；
（Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．

考点：
对数函数图象与性质的综合应用．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
（Ⅰ）、f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+nxa＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2，即，然后由函数的单调性求实数a的取值范围．
（Ⅱ）、欲证如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立，只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n﹣1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，x≠0即可得证．
解答：
解：（Ⅰ）f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+nxa＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2，
即，
∵上都是增函数，
∴在（﹣∞，1]上也是增函数，
从而它在x=1时取得最大值．
所以，
∵等价于，
故a的取值范围是{a|a＞﹣}．
（Ⅱ）证明：只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n﹣1）x+nxa]2
＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，x≠0．
∵（a1+a2+…+an）2=（a12+a22+…an2）+2（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）
≤（a12+a22+…an2）+[（a12+a22）+…+（a12+an2）]+[（a22+a32）
+…+（a22+an2）]+…+[（an﹣22+an﹣12）+（an﹣22+an2）]+（an﹣12+an2）
=n（a12+a22+…+an2）