行列式的概念.pptx

返回返回1表示什么表示什么?如如表示什么表示什么?例如例如又如又如有解？如何解？有解？如何解？一、二阶行列式一、二阶行列式返回返回2引例引例1.解二元线性方程组解二元线性方程组解解:消元法消元法.为了消去未知数为了消去未知数即即返回返回3故故(2)、(3)式即为方程组式即为方程组(1)的解的解.类似地可以求得类似地可以求得 从从(2)、(3)式可知式可知,它们的分母相同它们的分母相同,都是由方程组都是由方程组的未知数的四个系数决定的的未知数的四个系数决定的.定义定义 引进记号引进记号返回返回4(4)(4)式称为二阶行列式式称为二阶行列式.其中横写的叫行其中横写的叫行,竖写的叫列竖写的叫列,共共有二行二列有二行二列,注注:1:1.结构规律结构规律:把第一行每个元素乘以划去该把第一行每个元素乘以划去该元素所在的行列之后剩下的元素元素所在的行列之后剩下的元素,前面带有正负号前面带有正负号,最最后求代数和后求代数和.2.根据二阶行列式的定义根据二阶行列式的定义,(2)、(3)式的分子可分式的分子可分别用如下二阶行列式来表示别用如下二阶行列式来表示,即即返回返回5 4.利用二阶行列式解二元线性方程组利用二阶行列式解二元线性方程组(1).3.二阶行列式的计算二阶行列式的计算,即公式即公式(4)也可用如下对角线也可用如下对角线法则来记忆法则来记忆.返回返回6记记系数行列式系数行列式返回返回7于是方程组于是方程组(1)的解为的解为:分母均为原方程组的分母均为原方程组的系数行列式系数行列式返回返回8例例例例1.1.1.1.解二元线性方程组解二元线性方程组解二元线性方程组解二元线性方程组解解:返回返回9二、三阶行列式二、三阶行列式引例引例2.解三元线性方程组解三元线性方程组解解:返回返回10定义定义 引进记号引进记号返回返回11称为称为三阶行列式三阶行列式.即即(8)注注:1.1.结构规律结构规律:把第一行每个元素乘以划去该元把第一行每个元素乘以划去该元素所在的行列之后剩下的二阶行列式素所在的行列之后剩下的二阶行列式,前面带有正负号前面带有正负号,最后求代数和最后求代数和.2.根据三阶行列式的定义根据三阶行列式的定义,(7)式右边也可用三阶行式右边也可用三阶行列式表示为列式表示为=返回返回12返回返回13类似地类似地,可求得可求得(10)注意注意:(9)、(10)式中的分母均为原方程组的系数式中的分母均为原方程组的系数行列式行列式.返回返回14三阶行列式的对角线法则三阶行列式的对角线法则三阶行列式的对角线法则三阶行列式的对角线法则注意注意 红线红线上三元素的乘积冠以正号，上三元素的乘积冠以正号，蓝线蓝线上三上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式返回返回15例例例例 解解解解按对角线法则，有按对角线法则，有返回返回16三三、n 阶行列式阶行列式回顾回顾:=返回返回17=返回返回18余子式余子式:划去划去所在的行与列剩下的所在的行与列剩下的元素组成的元素组成的行列式行列式.代数余子式代数余子式:在余子式前面加了符号在余子式前面加了符号.例如例如:三阶行列式三阶行列式余子式余子式:代数余子式代数余子式:返回返回19又如四阶行列式又如四阶行列式:进一步推广进一步推广,引进引进 n 阶行列式的概念阶行列式的概念.返回返回20定义定义1 1(n阶行列式的定义阶行列式的定义)称为称为 n 阶行列式阶行列式,它由它由n行行n列元素列元素(共共 个元素个元素)组成组成,且且(12)返回返回21注注:1.(12)式给出了计算式给出了计算 n 阶行列式的方法阶行列式的方法,即即返回返回22 先将先将 n 阶行列式化成阶行列式化成 n-1 阶行列式阶行列式,再化成再化成 n-2 阶阶行列式行列式,最后可求得最后可求得 D的值的值.2.(12)式又称为行列式式又称为行列式 D 按第一行的展开式按第一行的展开式.(12)定义定义2.在行列式在行列式 D(11)式式)中中,第第 i 行第行第 j 列的元素列的元素返回返回23注注:根据定义根据定义2,行列式的计算公式行列式的计算公式(12)式可化成式可化成:(13)例例2.计算三阶行列式计算三阶行列式返回返回24解解:返回返回25例例3.计算计算 解解:返回返回26例例4.4.证明下三角行列式证明下三角行列式证明证明:返回返回27特例特例:例例5.证明证明证明证明:根据定义根据定义,按第一行反复展开按第一行反复展开,有有返回返回28返回返回29返回返回30思考题1.计算解解:返回返回31=返回返回32=！返回返回332.返回返回34解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为由题意得由题意得得一个关于未知数得一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组,又又得得返回返回353.写出下列行列式中元素的余子式及代数余子式.(1)(2)(1)中元素的余子式为中元素的余子式为:相应的代数余子式为相应的代数余子式为:返回返回36(2)中元素 的余子式为:相应的代数余子式为: