高考数学第二轮专题第2讲-函数的综合问题.docx

高考第二轮专题 数学 新高考2

第2讲　函数的综合问题

1.[2018·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 (　　)
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
2.[2017·全国卷Ⅲ] 已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a= (　　)
A.-12 B.13 C.12 D.1
3.[2019·全国卷Ⅱ] 设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-89,则m的取值范围是 (　　)
A.-∞,94 B.-∞,73 C.-∞,52 D.-∞,83
4.[2020·天津卷] 已知函数f(x)=x3,x≥0,-x,x<0.若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是 (　　)
A.-∞,-12∪(22,+∞)
B.-∞,-12∪(0,22)
C.(-∞,0)∪(0,22)
D.(-∞,0)∪(22,+∞)
5.[2020·上海卷] 设a∈R,若存在定义域为R的函数f(x)同时满足下列两个条件:
(1)对任意的x0∈R,f(x0)的值为x0或x02;
(2)关于x的方程f(x)=a无实数解.
则a的取值范围是　　　　　　　　　. 

函数的零点个数
1 (1)函数f(x)=xsin x-1在-π2,π2上的零点个数为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
(2)已知函数f(x)=|lnx|,x>0,-2x(x+2),x≤0,则函数y=f(x)-3的零点个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【规律提炼】
确定函数零点个数的常用方法:
(1)当方程易求解时,用解方程判定法;
(2)应用零点存在性定理;
(3)数形结合:转化为熟悉的两个函数图像的交点个数问题求解.
测题
1.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=lg x,则函数f(x)的零点个数为 (　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
2.函数f(x)=|lg x2|+x2-2|x|的零点的个数为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
3.设函数f(x)=1−|x-1|,x<2,12f(x-2),x≥2,则函数F(x)=xf(x)-1的零点的个数为 (　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
4.已知函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R,a>0)的零点为x1,x2(x1<x2),函数f(x)的最小值为y0,且y0∈[x1,x2),则函数y=f[f(x)]的零点个数是 (　　)
A.2或3 B.3或4 C.3 D.4
已知函数零点个数求参数
2 (1)已知函数f(x)=1−x1+x,x≥0,x2+2x+1,x<0,若函数g(x)=f(1-x)-kx+k-12恰有3个不同的零点,则k的取值范围是 (　　)
A.(-2-2,0]∪92
B.(-2+2,0]∪92
C.(-2-2,0]∪12
D.(-2+2,0]∪12
(2)已知P={α|f(α)=0},Q={β|g(β)=0},若存在α∈P,β∈Q,使得|α-β|<n,则称函数f(x)与g(x)互为“n距零点函数”.若f(x)=log2020(x-1)与g(x)=x2-aex(e为自然对数的底数)互为“1距零点函数”,则实数a的取值范围为 (　　)
A.1e2,4e B.1e,4e2
C.4e2,2e D.4e3,2e2
【规律提炼】
已知函数零点个数求参数问题的解题方法:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.
测题
1.已知函数f(x)=-x2-2x,x≤0,ln(x+1),x>0.若方程f(x)=mx+m-12恰有四个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 (　　)
A.12,e-12 B.12,e-12
C.12,e12 D.-e12,12
2.(多选题)已知函数f(x)=2x-log12x,且实数a,b,c(a>b>c>0)满足f(a)f(b)f(c)<0.若实数x0是函数y=f(x)的一个零点,那么下列不等式中可能成立的有 (　　)
A.x0<a B.x0>a C.x0<b D.x0<c
3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(2-x),当x∈[-2,0]时,f(x)=22x-1,若关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>0且a≠1)在(-2,6)内有4个不同的根,则实数a的取值范围是　　　　. 
4.已知函数f(x)=2x,x≤a,x2,x>a.
①若a=1,则不等式f(x)≤2的解集为　　　　; 
②若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是　　　　　　　　. 
函数零点的应用
3 (1)已知函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,若F(x)=f(x)+13x-a的两个零点分别在区间(-1,0)和(1,e)上,则实数a的取值范围为 (　　)
A.1e-13,1+e3 B.1,1+e3
C.1e-13,13 D.13,1
(2)已知函数f(x)=|log2x|,0<x<2,x2-6x+9,x≥2,若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且x1<x2<x3<x4,则x1·x2·(x3+x4)=　　　　. 
【规律提炼】
函数零点的应用大都体现在判断图像的位置问题、根的分布问题、根的取值范围问题等,主要体现了数形结合与转换化归的思想.
测题
1.已知{x1,x2,x3,x4}⊆{x>0|(x-3)·sin πx=1},则x1+x2+x3+x4的最小值为 (　　)
A.12 B.15
C.12π D.15π
2.设函数f(x)=|2x-1|,x≤2,-x+5,x>2,若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是 (　　)
A.(16,32) B.(18,34)
C.(17,35) D.(6,7)
不等式恒成立问题
4 (1)已知函数f(x)=x2+(1-m)x-m,若f[f(x)]≥0恒成立,则实数m的取值范围是 (　　)
A.[-3,-3+22] B.[-1,-3+22]
C.[-3,1] D.[-3+22,1]
(2)已知不等式mx3≥y3-6x2y对于任意x∈[2,3],y∈[3,6]恒成立,则m的取值范围是 (　　)
A.[9,+∞) B.[-5,+∞)
C.[42,+∞) D.[42,9]
【规律提炼】
1.对于恒成立问题,常用到以下两个结论:(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
2.解决恒成立问题的常用方法是依据不等式的特点,等价变形,构造函数,借助图像观察,或参变分离转化为求函数的最值问题来处理,此时要遵循“知道谁的范围,谁是变量;求谁的范围,谁是参数”的原则.
测题
1.已知k∈R,函数f(x)=x2-2kx+2k,x≤1,(x-k-1)ex+e3,x>1,若关于x的不等式f(x)≥0在x∈R时恒成立,则k的取值范围为 (　　)
A.[0,e2] B.[2,e2]
C.[0,4] D.[0,3]
2.已知f(x)=axx2-x+1,若对任意的x∈R,都有f(x)≤1恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=3x2,若不等式f(x+m2)≥4f(x)对任意的x∈[m,m+2]恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　　　　. 
4.已知a∈R,函数f(x)=x2+2x+a-2,x≤0,-x2+2x-2a,x>0.若对任意的x∈[-3,+∞),f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是　　　　. 
函数的同构问题
5 (1)已知不等式ex-x-1>m[x-ln(x+1)]对一切正数x都成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.-∞,e3 B.-∞,e2
C.-∞,1 D.-∞,e
(2)已知实数x1,x2满足x1ex1=e3,x2(ln x2-2)=e5,则x1x2=　　　　. 
【规律提炼】
1.同构式是指除了变量不同,其余地方均相同的表达式.
2.同构式的应用:
(1)在方程中的应用:如果方程f(a)=0和f(b)=0呈现同构特征,则a,b可视为方程f(x)=0的两个根;
(2)在不等式中的应用:如果不等式的两侧呈现同构特征,则可将相同的结构构造为一个函数,进而和函数的单调性找到联系,可比较大小或解不等式;
(3)在解析几何中的应用:如果A(x1,y1),B(x2,y2)满足的方程为同构式,则A,B为方程所表示曲线上的两点,特别地,若满足的方程是直线方程,则该方程即为直线AB的方程;
(4)在数列中的应用:可将递推公式变形为“依序同构”的形式,即关于(an,n)与(an-1,n-1)的同构式,从而将同构式设为辅助数列便于求解.
测题
1.已知函数f(x)=2x3ln x-(m-x)emx-1,当x≥e时,f(x)≥0恒成立,则实数m的取值范围为 (　　)
A.(-∞,4e] B.(-∞,3e]
C.(-∞,2e] D.-∞,3e2
2.已知实数a,b∈(0,2),且满足a2-b2-4=42b-2a-4b,则a+b的值为　　　　.