学生书-解答题题型突破三--数列.docx

解答题题型突破三　数列
(对应答案分册第27~28页)
　与数列有关的比较大小问题
　　设Sn为等差数列{an}的前n项和,{bn}是等比数列,a4=b4,b1=a5,b3=-9,b6=243.是否存在实数k,使得Sk>Sk-1且Sk+1<Sk?

　　点拨　本题考查等差数列和等比数列的综合应用,涉及等差数列和等比数列的通项公式的求解.根据前n项和的最大项求解参数值的问题,关键是能够利用前n项和的最大项得到项的符号,由此在简化运算的同时构造出不等关系求得结果.
　　【突破训练1】设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且对任意的n∈N*,都有Sn=2an-1.已知数列{bn}满足bn=32n,是否存在k∈N*,使得对任意的n∈N*,都有anbn≤akbk?若存在,试求出k的值;若不存在,请说明理由.

　与数列有关的恒成立问题
　　已知等差数列{an}满足a6=6+a3,且a3-1是a2-1,a4的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=1anan+1(n∈N*),数列bn的前n项和为Tn,求使Tn<17成立的最大正整数n的值.

　　点拨　以数列为载体,考查不等式的恒成立问题,转化为数列的最值问题求解.
　　【突破训练2】设Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足an2+2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)令bn=1anan+1,Tn=b1+b2+…+bn,若Tn<m恒成立,求m的取值范围.

　与数列有关的不等式的证明
　　已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)证明an+12是等比数列,并求{an}的通项公式.
(2)证明1a1+1a2+…+1an<32.

　　点拨　与数列有关的不等式的证明问题常常通过构造函数或利用放缩法证明.

　　【突破训练3】已知函数f(x)=ax的图象过点1,12,且点n-1,ann2(n∈N*)在函数f(x)=ax的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=an+1-12an,若数列{bn}的前n项和为Sn,求证:Sn<5.