专题17-二次函数中几何存在性的问题(学生版)-备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训.docx

备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练(全国通用版)
专题17 二次函数中几何存在性的问题
【典型例题】
1．(2022·全国·九年级专题练习)抛物线C1：yx2x＋2交x轴于A、B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C．

(1)求A，B两点的坐标．
(2)M为平面内一点，将抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，C2经过点A且抛物线C2上有一点P，使△BCP是以∠B为直角的等腰直角三角形．是否存在这样的点M？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

【专题训练】
一、 解答题
1．(2022·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+x+c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，B点坐标为(4，0)，C点坐标为(0，2)．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF∥x轴交直线BC于点F，过P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；
(3)将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

2．(2022·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点E，一次函数y＝x+1与抛物线交于A、D两点，交y轴于点C，且D(4，5)．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是第四象限内抛物线上的一点，过点作PQ⊥AD交AD于点Q，求PQ的最大值以及相应的P点坐标；
(3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点R，M点在原抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点N，使得以点A、R、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

3．(2022·全国·九年级专题练习)如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+n经过B、C两点．点D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴，分别交x轴，BC于点E，F．

(1)求直线BC及抛物线的表达式；
(2)点D在移动过程中，若存在∠DCF＝∠ACO，求线段DE的长；
(3)在抛物线上取点M，在坐标系内取点N，问是否存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

4．(2022·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+c与x轴相交于A、B两点，顶点C(0，2)．AB＝2．点M(m，0)是x轴正半轴上一点，抛物线L关于点M对称的抛物线为L'．

(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)点P是第一象限抛物线L上一点，点P到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线L'上的对应点为P'．设E是抛物线L上的动点，E'是点E在抛物线L'上的对应点，试探究四边形PEP'E′能否成为正方形．若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

5．(2022·全国·九年级专题练习)如图，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E(4，a)，抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

(1)求直线CE的解析式．
(2)如图2，P为直线CE下方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点F，连接PF，PC．当△PCF的面积最大时，求点P的坐标及△PCF面积的最大值．
(3)如图3，连接CD，将(1)中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点H，在直线QH上是否存在点G，使得△DQG为等腰三角形？若存在，求出点G的坐标．

6．(2022·全国·九年级专题练习)如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a(x﹣)2＋与x轴交于点A(﹣，0)和点B，与y轴交于点C．

(1)求抛物线F1的表达式；
(2)如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．
①求点D的坐标；
②判断△BCD的形状，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7．(2022·全国·九年级专题练习)如图，二次函数ybx＋c的图象与x轴交于A(3，0)，B(﹣1，0)，与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．

(1)直接写出二次函数的解析式；
(2)当P，Q运动到t秒时，将△APQ沿PQ翻折，若点A恰好落在抛物线上D点处，求出D点坐标；
(3)当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出E点坐标；若不存在，请说明理由．

8．(2022·全国·九年级专题练习)如图，抛物线y＝x2＋bx﹣1与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣，连接AC，BC．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求△ABC的面积；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？如果存在，请直接写出点E的坐标，如果不存在，请说明理由．

9．(2022·全国·九年级专题练习)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，3)，点A的坐标是(3，0)，抛物线的对称轴是直线x＝1

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P为第四象限内抛物线上一点，且△PBC是直角三角形，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，在直线BC上是否存在点Q，使∠PQB＝∠CPB，若存在，求出点Q坐标：若不存在，请说明理由．

10．(2022·全国·九年级专题练习)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(﹣1，0)，B两点，且与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴是直线x＝1

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A、E两点，P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标；
(3)F是直线BC上一动点，M为抛物线上一动点，若△MBF为等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．

11．(2022·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB＝6OA＝6，点P是第一象限内抛物线上的动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)连接BC与OP，交于点D，当S△PCD：S△ODC的值最大时，求点P的坐标；
(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N．使∠CMN＝90°，且△CMN与△BOC相似，若存在，请求出点M、点N的坐标．

12．(2022·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象经过点A和点C(0，3)．

(1)求点B坐标及二次函数的表达式；
(2)如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，直接写出四边形ACED的形状，并求出此时点D的坐标；
(3)如图2，在(2)的条件下，连接CD，交x轴于点M，点P为直线CD上方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴，交CD于点F，连接PC，是否存在点P，使得以P、C、F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求出线段PF的长度；若不存在，请说明理由．

13．(2022·全国·九年级专题练习)如图1，在平面直角坐标系中，一次函数yx﹣2的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数ybx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．

(1)求二次函数的表达式．
(2)如图2，连接AC，点M为线段BC上的一点，设点M的横坐标为t，过点M作y轴的平行线，过点C作x轴的平行线，两者交于点N，将△MCN沿MC翻折得到△MCN'．
①当点N'落在线段AB上，求此时t的值；
②求△MCN′与△ACB重叠的面积S与t的函数关系式．
(3)如图3，点D在直线BC下方的二次函数图象上，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．