2021届湖北省龙泉中学、荆州中学、宜昌一中高三上学期9月联考数学试题(教师版含解析).doc

龙泉中学､荆州中学､宜昌一中2020年秋季学期高三九月联考
数学试题
一､单项选择题：
1. 设全集，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用对数不等式的解法化简集合M，再根据全集求补集.
【详解】由题意，
又，
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及对数不等式的解法，属于基础题.
2. 己知，，则下列各式成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数和对数函数的单调性和特殊值法，逐一对选项进行判断即可.
【详解】解：对于选项：因函数在上单调递增，所以时，，故选项错误；
对于选项：因为在单调递增函数，所以，，故选项正确；
对于选项：因为，，可取，，，此时，，所以，故选项错误；
对于选项：因为，，可取，，，此时，，所以，故选项错误.
故选：C.
【点睛】本题主要考查利用对数函数与指数函数的单调性比较大小，属于基础题.
3. 已知函数，则函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得函数的定义域，再运用复合函数的定义域求解方法可得选项.
【详解】因为，所以解得，所以函数的定义域为，
所以函数需满足且，解得且，
故选：D.
【点睛】本题考查函数的定义域，以及复合函数的定义域的求解方法，属于基础题.
4. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图､洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题目意思，先计算从阴数与阳数中各取一个的所有可能情况，再用列举法写出其差的绝对值为3的可能情况，再根据古典概型概率计算方法求解.
【详解】由题意可知阳数有，，，，共5个，阴数有，，，，共5个，
故从阳数和阴数中各取一数共有种可能结果，若使阴数与阳数的差的绝对值为，，，则可能为：，，，， ，，，共7种情况；
故从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为：.
故选：B.
【点睛】本题考查概率的实际应用，考查利用列举法求解古典概型的概率，较简单.
5. 设p：实数满足，q：实数满足，则p是q的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
分类讨论求出集合，结合充分性、必要性的定义进行求解即可
【详解】本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力.
，
当时，；
当时，；
当，，
，
因为Ü，所以的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了一元二次方程的解法，考查了对数不等式的解法，考查了数学运算能力.
6. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值为( )
A. 4 B. 8 C. 9 D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断是上的奇函数，可得，再利用基本不等式即可求最小值.
【详解】因，
所以，
可得：是上的奇函数，
因为，
所以，
所以，
当且仅当即 时等号成立，
所以的最小值为，
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求函数的最小值，涉及奇函数的定义，属于中档题.
7. 若函数对，，同时满足：(1)当时有；(2)当时有，则称为函数.下列函数中是函数的为( )
①
②
③
④
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得满足是上的奇函数，且为增函数，称为函数，由函数的奇偶性和单调性与导数之间的关系，分别判断①、②、③、④的函数的奇偶性和单调性，可得所求结论．
【详解】由(1)当时有，即为，则为上的奇函数；
由(2)当时有，即为，，
可得为上的增函数，
则函数为上的奇函数，且为增函数．
由①，定义域为，
,即为奇函数，
又，可得为上的增函数，故①是函数；
②，定义域，时，，
可得为奇函数，
又在，上单调递增，但在上不为增函数，
比如，故②不是函数；
③，定义域为，，
可得为偶函数，故③不是函数；
④，定义域为，，可得为奇函数，
又在上单调递增，故④是函数.
故选：D
【点睛】本题考查函数的新定义，主要考查函数的奇偶性与单调性的判断，考查逻辑推理与运算求解能力.
8. 定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】，
∵函数是区间上的双中值函数，
∴区间上存在 ，
满足
∴方程在区间有两个不相等的解，
令，
则，
解得
∴实数的取值范围是.
故选:A．
二､多项选择题：
9. 某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如下柱图：

则下列结论正确的是( )
A. 与2016年相比，2019年一本达线人数有所增加
B. 与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍
C. 与2016年相比，2019年艺体达线人数相同
D. 与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据柱状图给定的信息，作差比较，即可求解.
【详解】依题意，设2016年高考考生人数为，则2019年高考考生人数为，
由，所以A项正确；
由，所以B项不正确；
由，所以C项不正确；
由，所以D项正确.
故选：AD.
【点睛】本题主要考查了统计图表的识别和应用，其中解答中熟记柱状图表表示的含义是解答的关键，属于基础题.
10. 若，则( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用赋值法解决，
对于A：通过给赋值即可作出判断；
对于B和C：通过给赋值和，得到两个等式作差得到结果，进而作出判断；
对于D：，通过给赋值得到结果即可作出判断.
【详解】由题意，当时，，
当时，，
当时，，
所以，，
，
当时，，
所以.
故选：ACD.
【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
11. 已知定义的奇函数，满足，若，则( )
A. B. 4是的一个周期
C. D. 的图像关于对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对于，(3)，故错误；对于， ，即4是的一个周期，故正确；对于， ，故正确；对于， 的图象关于对称，故正确.
【详解】对于，(3)(1)，故错误；
对于，，
而，
，即4是的一个周期，故正确；
对于，是奇函数，，
又的一个周期为4，
(2)，(3)，，
，故正确；
对于，，，
的图象关于对称，故正确；
故选：BCD．
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性、函数周期性和对称性判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
12. 已知正数，，满足，下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
设，求得，，，然后根据对数的运算法则和基本不等式判断各选项．
【详解】设，则，，，
，，
又，所以，
，而，所以，A错；
则，B正确；
，当且仅当，即，这个等式不可能成立，因此等号不能取到，，即，C正确；
因为，
所以，即，D正确．
故选：BCD．
【点睛】本题考查对数的运算法则，考查基本不等式的应用，解题关键是由题设指数式改写为对数式，实质就是表示出变量，然后证明各个不等式．
三､填空题
13. 若“，”是假命题，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题转化为命题“，”为真命题，即恒成立，故可求解实数的取值范围.
【详解】由题转化为命题“，”为真命题，即恒成立，
又上单调递减，所以，故.
故答案为：
【点睛】本题考查特称命题的否定与不等式恒成立问题，考查转化与化归的思想.
14. 已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知求得函数在上的解析式，求其导函数，得到(1)，再由直线方程点斜式得答案．
【详解】为偶函数，且当时，，
当时，，则，，

曲线在点处的切线方程是，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，属于基础题．
15. 5人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________.(用数字作答)
【答案】
【解析】
【分析】
利用捆绑法求出甲乙两人之间恰好有一人的排法，再求出5人并排站成一行的排法，利用古典概率公式计算即可.
【详解】甲乙两人之间恰好有一人的排法共有种，
5人并排站成一行的排法共有种，
所以甲乙两人之间恰好有一人的概率是
故答案为：
【点睛】本题主要考查了排列组合知识，考查了捆绑法，涉及古典概率公式，属于中档题.
16. 已知函数，则方程的实根的个数为_______；若函数有三个零点，则的取值范围是_________.
【答案】 (1). 3 (2).
【解析】
【分析】
用导数求出在的时单调性，极值，确定函数的变化趋势，得出函数的单调区间，作出函数图象，方程的的解的个数转化为的图象与直线的交点个数，由此分析可得．
【详解】由得，时，，递增，时，，递减，时，取得极大值，
时，，
所以的增区间是，减区间是，，且时，，时，，
作出函数的图象，如图，作直线，由图可知：直线与函数的图象，在时无交点，或时有一个交点，或时有两个交点，时，有三个交点．

因为，
所以直线与的图象有三个交点，方程有三个实根，
易知有两个解，，
由得，由得，
当时，函数至多有两个零点，不合题意
时，函数有三个零点，
，函数有两个零点，不合题意，
时，有一个解，由题意要有两解，所以或，所以或，
综上，函数有三个零点，则取值范围是．

【点睛】本题考查方程解的个数，函数零点个数问题，解题方法是数形结合思想，问题转化为直线与函数图象交点个数，作出函数图象与直线，由它们交点个数得出结论．
四､解答题：
17. 设数列的前项和为，在①，，成等差数列.②，，成等差数列中任选一个，补充在下列的横线上，并解答.
在公比为2的等比数列中，____________
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】条件选择见解析(1)；(2).
【解析】
【分析】
(1)若选①，根据三个数成等差数列，建立等量关系，求得，进而求得通项公式；若选②，根据，，成等差数列，建立等量关系，求得，进而求得通项公式；
(2)将代入，求得，，裂项之后求和得结果.
【详解】(1)选①：因为，，成等差数列，所以，
所以，解得，所以.
选②：因为，，成等差数列，所以，即，
所以，解得，所以；
(2)因为，所以，
所以，，
所以.
【点睛】本题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有三数成等差数列的条件，等比数列的通项公式，裂项相消法求和，考查学生的运算求解能力.
18. 已知定义域为的函数(且)是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若，求不等式对恒成立时的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
(1)由求出值，代入检验是奇函数即可；
(2)由得，确定函数是上的减函数，利用奇函数与减函数的性质可把不等式变形为，然后根据一元二次不等式恒成立得结论．
【详解】(1)∵是定义域为的奇函数，
∴，∴.
经检验：时，(且)是奇函数.故；
(2)(且)
∵，∴，又，且，∴
而在上单调递减，在上单调递增，
故判断在上单调递减，
不等式化为，∴，
∴恒成立，
∴，解得.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式恒成立问题，解题关键是由奇偶性与单调性把问题转化为一元二次不等式恒成立，利用判别式即可得解．
19. 为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1∶4，且成绩分布在的范围内，规定分数在50以上(含50)的作文获奖，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中，，构成以2为公比的等比数列.

(1)求，，的值；
(2)填写下面列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获奖”与“学生的文理科”有关？

文科生
理科生
合计
获奖
6

不获奖

合计

400
(3)从获奖的学生中任选2人，求至少有一个文科生的概率.
附：，其中.

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】(1)，，；(2)列联表答案见解析，在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获奖”与“学生的文理科”有关；(3).
【解析】
【分析】
(1)利用频率分布直方图中，频率和为列出关于，，的方程，然后再根据，，成公比为的等比数列，得到关于，，的方程组，求解，，即可；
(2)先根据频率分布直方图计算出获奖的人数，根据样本中文科生与理科生的比例为得出文理科的人数，补全列联表，计算的值，然后判断能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获奖”与“学生的文理科”有关;
(3)计算出从获奖的学生中任选2人的基本事件总数，再计算至少有一个文科生所包含的基本事件数，利用古典概率模型概率的计算公式求解即可.
【详解】(1)由频率分布直方图可知，，
因为，，构成以2为公比的等比数列，所以，解得，
所以，.故，，.
(2)获奖的人数为人，因为参考的文科生与理科生人数之比为1∶4，
所以400人中文科生的数量为，理科生的数量为.
由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有人，不获奖的文科生有人.于是可以得到列联表如下：

文科生
理科生
合计
获奖
6
14
20
不获奖
74
306
380
合计
80
320
400

所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获奖”与“学生的文理科”有关.
(3)获奖的学生一共20人，其中女生6人，男生14人，从中任选2人，至少1名女生的概率为.
【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查计算进行独立性检验，考查古典概型概率的计算，难度一般.
20. 一动圆与圆外切，与圆内切．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程．
(2)设过圆心的直线与轨迹相交于两点，(为圆的圆心)的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)利用动圆与圆外切，与圆内切，可得，由椭圆定义知是以为焦点的椭圆，从而可得动圆圆心的轨迹的方程；(2)当最大时，也最大，内切圆的面积也最大，表示出三角形的面积，利用换元法，结合导数，可求得最值.
【详解】试题解析：(1)设动圆圆心为，半径为，即可求得结论.
由题意，动圆与圆外切，与圆内切，，由椭圆定义知在为焦点的椭圆上，且，，动圆圆心的轨迹的方程为.

(2)如图，设内切圆的半径为，与直线的切点为，则三角形的面积，当最大时，也最大，内切圆的面积也最大，设，则
，由，得，解得，，令，则，且，有，令，则，当时，在上单调递增，有，，即当时，有最大值，得，这时所求内切圆面积为存在直线，的内切圆的面积最大值为.
21. 某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元.
(1)求系统不需要维修的概率；
(2)该电子产品共由3个系统G组成，设E为电子产品需要维修的系统所需的费用，求的分布列与期望;
(3)为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则C可以正常工作，问:满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率?
【答案】(1)；(2)见解析；(3) 当时，可以提高整个系统的正常工作概率.
【解析】
【分析】
(1)由条件，利用独立重复试验成功的次数对应的概率公式以及概率加法公式求得系统不需要维修的概率；
(2)设为维修维修的系统的个数，根据题意可得，从而得到，利用公式写出分布列，并求得期望；
(3)根据题意，当系统有5个电子元件时，分析得出系统正常工作对应的情况，分类得出结果，求得相应的概率，根据题意列出式子，最后求得结果.
【详解】(1)系统不需要维修的概率为.
(2)设为维修维修的系统的个数，则，且，
所以.
所以的分布列为

0
500
1000
1500

所以的期望为.
(3)当系统有5个电子元件时，
原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，系统的才正常工作.
若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，
则概率为；
若前3个电子元件中有两个正常工作，
同时新增的两个至少有1个正常工作，
则概率为；
若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，
系统均能正常工作，则概率为.
所以新增两个元件后系统能正常工作的概率为，
于是由知，当时，即时，
可以提高整个系统的正常工作概率.
【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立重复试验，二项分布，分布列与期望，概率加法公式，属于中档题目.
22. 已知函数，.
(1)设的导函数为，求的最小值；
(2)设，当时，若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
(1)求出导函数，再对导函数求导，根据导函数与函数单调性之间的关系即可求解.
(2)将不等式转化为对恒成立，构造不等式 ，讨论的取值，令，利用导数判断的单调性，求出的最小值大于即可求解.
【详解】(1)∵，
所以在上单调递减；在上单调递增
所以的最小值为
(2)当时，若成立，
即对恒成立，
亦即对恒成立.
即，
由(1)知时的最小值为，所以在上单调递增.
∴在上恒成立.
令，则.
①时，在上恒成立，∴，此时满足已知条件，
②当时，由，解得.
当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增.
∴的最小值，解得.
综上，的取值范围是.
【点睛】本题考查了利用求函数的最值，利用导数研究不等式恒成立，考查了转化与化归的思想，属于难题.