专题47-直线与圆综合练习(文)(解析版).doc

专题47 直线与圆综合练习
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．已知三条直线、和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】由已知得三条直线必过同一个点，则联立解得这两条直线的交点为，
代入可得，故选A。
2．若点是直线：外一点，则方程表示( )。
A、过点且与平行的直线
B、过点且与垂直的直线
C、不过点且与平行的直线
D、不过点且与垂直的直线
【答案】C
【解析】∵点不在直线：上，∴，
∴直线不过点，
又直线与直线：平行，故选C。
3．若圆上有且仅有两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】由题意已知圆与圆相交，∴，
解得且，故选B。
4．直线：(是不等于的整数)与直线的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数)，那么满足条件的直线有( )。
A、条
B、条
C、条
D、条
【答案】C
【解析】联立，∴，即，，
∴或或或，∵，∴值有个，直线有七条，故选C。
5．若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数( )。
A、或
B、或
C、或
D、或
【答案】D
【解析】∵，∴，解得或，
时，符合，当时，符合，故选D。
6．过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程为( )。
A、或
B、或
C、或
D、或
【答案】A
【解析】设所求直线方程为(、不同时为)，
显然，当或时，所得直线方程不满足题意，故、均不为，
当时，，当时，，
根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则，
令，则，整理，得，
解得，或，则，或，
故所求直线方程为或，故选A。
7．设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】入射光线和反射光线关于直线对称，设入射光线上任意两点、，
则关于直线对称的两个点的坐标分别为、且这两个点在反射光线上，
由两点式可求出反射光线所在的直线方程为，故选A。
8．设直线与抛物线相交于、两点，与圆：()相切于点，且为线段中点，若这样的直线恰有条，则的取值范围是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】设直线：，代入抛物线方程有：，则，
又中点，则，即，
当时，若，满足条件的直线只有条，不符合题意，
若，则斜率不存在的直线有条，此时只需对应非零的的直线恰有条即可。
当时，将代入，可得，即，
又由圆心到直线的距离等于半径，可得，
由可得，故选D。
9．在平面直角坐标系中，已知点在圆：内，动直线过点且交圆于、两点，若的面积的最大值为，则实数的取值范围是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】由圆的方程知，圆心，半径，∴，
∴当时，取得最大值，此时为等腰直角三角形，，
则点到的距离为，∴，
即，解得或，故选A。
10．已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】圆：的圆心，半径为，
圆：的圆心，半径是，
要使最大，需最大，且最小，
最大值为，的最小值为，
故最大值是，
关于轴的对称点，
，
故的最大值为，故选D。
11．已知圆：与圆：，过动点分别作圆、圆的切线、(、分别为切点），若，则的最小值是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】由于与中，，，
∴与全等，∴有，
则在线段的垂直平分线上，
根据、可求得其垂直平分线为，
∵表示、两点间的距离，
∴最小值就是到的距离，
利用点到直线的距离公式可求出最小值，故选B。
12．已知的三个顶点的坐标分别为、、，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为( )。
A、或
B、或
C、或
D、或
【答案】B
【解析】依题意，直线的方程为，化为一般式方程：，
点到直线的距离，
又，，，
则以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则公共点为或，
故圆的半径为或，则圆的方程为或，故选B。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 。（本小题每空2.5分）
【答案】
【解析】由题意，或，
当时方程为，
即，圆心为，半径为，
当时方程为，不表示圆。
14．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是 。
【答案】
【解析】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建系，
则、，设，
∵，∴，
两边平方并整理得：，
∴面积的最大值是。
15．已知直线：、：，当时，直线、与两坐标轴围成一个四边形，则四边形面积的最小值为 ，此时实数 。（本小题第一个空3分，第二个空2分）
【答案】
【解析】直线的必过点为，
斜率为，在轴上的截距为，且
直线的必过点也为，斜率为，
在轴上的截距为，且
∴四边形的面积，
∴四边形面积的最小值为，此时。
16．已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点。若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为 。
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径为，
当与垂直时，的值最小，此时点到直线的距离为，
由勾股定理得，又，解得，
圆的圆心为，半径为，
∵圆与圆外切，∴，∴，
∵圆与直线相切，∴，解得。
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）如图，射线、分别与轴正半轴成和角，过点作直线分别交、于、两点，当线段的中点恰好落在直线上时，求直线的方程。

【解析】由题意可知射线所在的直线方程为，
射线所在的直线方程为， 1分
①当直线的斜率不存在时，可知的方程为，
则、，则的中点，不符合， 3分
②当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，解得，联立，解得，
则的中点， 7分
又在直线上，∴，解得， 9分
则直线方程为，即。 10分
18．（12分）的一个顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线方程为。
(1)求顶点的坐标；
(2)求直线的方程。
【解析】(1)设，则的中点在直线上， 1分
∴，即， 3分
又点在直线上，在，联立可得，，
即点的坐标为； 5分
(2)设点关于直线的对称点的坐标为，则点在直线上， 6分
由题意可知，解得，即， 9分
∴，
∴直线的方程为，即。 12分
19．（12分）已知圆的方程为。
(1)若圆与直线相交于、两点，且，(为坐标原点)，求的值；
(2)在(1)的条件下，求以为直径的圆的方程。
【解析】(1)由得，由可得， 2分
∴由题意联立得：， 4分
设、，根据韦达定理得，， 5分
∵，∴，又，
∴，∴，∴，符合，可取；7分
(2)设圆心为，则，， 9分
半径， 11分
∴圆的方程。 12分
20．（12分）已知点，点，圆：。
(1)求过点的圆的切线方程；
(2)求过点的圆的切线方程，并求出切线长。
【解析】由题意得圆心，半径，
(1)∵，∴点在圆上，又， 2分
∴切线的斜率， 4分
∴过点的圆的切线方程是，即；5分
(2)∵，∴点在圆外部，
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，即， 6分
又点到直线的距离，即此时满足题意，
∴直线是圆的切线， 7分
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 8分
则圆心到切线的距离，解得， 9分
∴切线方程为，即， 10分
综上可得，过点的圆的切线方程为或，
∵，∴过点的圆的切线长为。 12分
21．（12分）如图，已知的边所在直线的方程为，满足，点在边所在直线上且满足。
(1)求边所在直线的方程；
(2)求外接圆的方程；
(3)若动圆过点，且与的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程。
【解析】(1)∵，∴，又在上，∴，∴为， 1分
又边所在直线的方程为，∴直线的斜率为， 2分
又∵点在直线上，
∴边所在直线的方程为，即； 4分
(2)与的交点为，∴由解得点的坐标为， 5分
∵，∴为斜边上的中点，即为外接圆的圆心， 6分
又，
从而外接圆的方程为； 7分
(3)∵动圆过点，∴是该圆的半径，又∵动圆与圆外切，
∴，即， 9分
故点的轨迹是以、为焦点，实轴长为的双曲线的左支， 10分
∵实半轴长，半焦距，∴虚半轴长， 11分
从而动圆的圆心的轨迹方程为()。 12分
22．（12分）已知动圆的圆心为点，圆过点且与直线：相切。
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若圆与圆：相交于、两点，求的取值范围。
【解析】(1)依题意，点到点的距离等于点到直线的距离，
∴点的轨迹是以点为焦点，直线：为准线的抛物线， 2分
∴曲线的方程为； 3分
(2)设点，则圆的半径，
∴圆的方程为①，圆：②， 4分
①-②得直线的方程为， 5分
∵点在曲线：上，∴，且， 6分
∴点到直线的距离， 7分
∴圆：的半径为，
∴，
∵，∴，∴，∴， 11分
∴，∴的取值范围为。 12分