吉林省长春外国语学校2019届高三下学期第八次月考数学(文)试题.doc

2018---2019学年度下学期高三年级第八次月考试题
数学（文）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.)
1.若集合，，则
A. B. C. D.
2.在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为
A.　　 　 B.　　 C.　　 　 D.
3.命题“，”的否定是
A.， B.，
C.， D.，
4.设，则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.在中，∠A60°， ，，则的值为
A. B. C.1 D.―1
6.已知数列， 点在函数的图像上，则的值为
A． B． C． D．
7.已知点在幂函数的图象上，设
，则的大小关系为
A. B. C. D.

8.右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中菱形判断框内应填入条件是
A.
B.
C.
D.

9.公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为，这一数值也可以表示为，若，则
A． B． C． D．

10. 若在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx＋cosx≤1”发生的概率为
A. B. C. D.

11.已知等比数列{an}的公比q<0，其前n项的和为Sn，则a9S8与a8S9的大小关系是
A．a9S8>a8S9 B．a9S8<a8S9
C．a9S8≥a8S9 D．a9S8≤a8S9

12.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝()x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是
A．[，＋∞) B．(－∞，] C．[，＋∞) D．(－∞，－]

第 Ⅱ 卷（非选择题 共90分）

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知函数,则=____________.
14.函数在其极值点处的切线方程为____________.

15.已知偶函数y＝f(x)满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝3x＋，则的值等于____________.
16.若对定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有
x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”．给出下列函数：
①y＝－x3＋x＋1; ②y＝3x－2(sinx－cosx)；
③y＝ex＋1; ④f(x)＝
以上函数是“H函数”的所有序号为____________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17．(本小题满分12分)
如图所示，在四边形ABCD中，AC＝CD＝AB＝1，·＝1，si n∠BCD＝
(Ⅰ)求BC边的长；
(Ⅱ)求四边形ABCD的面积．

18. (本小题满分12分)
高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
分组
频数
频率
[85,95)
①
②
[95,105)

0.050
[105,115)

0.200
[115,125)
12
0.300
[125,135)

0.275
[135,145)
4
③
[145,155)

0.050
合计

④

(Ⅰ)根据上面图表，①②③④处的数值分别为________，________，________，________；
(Ⅱ)在所给的坐标系中画出[85,155]的频率分布直方图；
（Ⅲ）根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在[129,155]中的频率．

19．(本小题满分12分)
圆锥PO如图①所示，图②是它的正(主)视图．已知圆O的直径为AB，C是圆周上异于A，B的一点，D为AC的中点．

(Ⅰ)求该圆锥的侧面积S；
(Ⅱ)求证：平面PAC⊥平面POD；
（Ⅲ）若∠CAB＝60°，在三棱锥A－PBC中，求点A到平面PBC的距离．

20.（本小题满分12分）
已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足.
(Ⅰ)求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；
(Ⅱ)一条纵截距为2的直线与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程.

21. (本小题满分12分)
函数
(Ⅰ)若函数，求函数的极值；
(Ⅱ)若在恒成立，求实数的取值范围.

请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)将的方程化为普通方程，将的方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)已知直线的参数方程为，与交于点A，与交于点B，且，求的值.

23. 选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知
(Ⅰ) 已知关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；
(Ⅱ)解不等式.

高三年级第八次月考答案
一C B D A C B A C C C A A
二13. 3 14 15 1 16　②③
17 解析　(1)∵AC＝CD＝AB＝1，
∴·＝||·||·cos∠BAC ＝2cos∠BAC＝1.
∴cos∠BAC＝，∴∠BAC＝60°. 在△ABC中，由余弦定理，有
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12－2×2×1×＝3，∴BC＝.
(2)由(1)知，在△ABC中，有AB2＝BC2＋AC2.
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°.
∴S△ABC＝BC·AC＝××1＝.
又∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD，sin∠BCD＝，∴cos∠ACD＝.
从而sin∠ACD＝＝.
∴S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×1×1×＝.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝＋＝.
18 答案　(1)1 ,0.025 ,0.1, 1
(2)频率分布直方图如图．

(3)利用组中值算得平均数：
90×0.025＋100×0.05＋110×0.2＋120×0.3＋130×0.275＋140×0.1＋150×0.05＝122.5；总体落在[129,155]上的频率为×0.275＋0.1＋0.05＝0.315.
19 解析　(1)由圆锥的正视图可知，圆锥的高h＝，底面半径r＝1，所以其母线长为l＝，所以圆锥的侧面积S＝l·2πr＝××2π×1＝π.
(2)证明：因为AB是圆O的直径，所以AC⊥BC.又因为O，D分别为AB，AC的中点，所以OD∥BC，所以OD⊥AC.
因为PO⊥平面ABC，所以AC⊥PO.
因为PO∩OD＝O，PO，OD⊂平面POD，所以AC⊥平面POD.
因为AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面POD.
(3)因为∠CAB＝60°，AB＝2，所以BC＝，AC＝1.所以S△ABC＝.
又因为PO＝，OC＝OB＝1，所以S△PBC＝.
设A到平面PBC的距离为h，由于VP－ABC＝VA－PBC，得S△ABC·PO＝S△PBC·h，解得h＝.
20（1）因为，即，所以
所以，又因为,所以，即:,即
所以椭圆的标准方程为…………………………4分
(2) 直线斜率必存在，且纵截距为,设直线为
联立直线和椭圆方程得: ，由,得
设，以直径的圆恰过原点，所以,，即
也即，即，将(1)式代入,得
即，解得,满足（*）式，所以,
所以直线.............12分

22解：（1）曲线消去参数得，曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程为，即.…………5分
（2） 把直线的参数方程代入曲线的普通方程得.同理，把直线的参数方程代入曲线的普通方程得，.,
.综上所述：.…………10分
23解：（1）因为不等式有实数解，所以，
.…………5分
（3）
①当时，
②当时，
?当时，
综上得，…………10分

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