2012-2021北京高三(上)期末数学汇编：简单的三角恒等变换.docx

2012-2021北京高三（上）期末数学汇编
简单的三角恒等变换
一、双空题
1．（2021·北京丰台·高三期末）函数f(x)=sin2x+π3的最小正周期T=____，将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象．若函数y=f(x)−g(x)的最大值为2，则φ的值可以为_________．
二、解答题
2．（2021·北京顺义·高三期末）函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示.

（1）求函数fx的解析式；
（2）求函数gx=fx−π6−2cos2x在区间0,π2上的最小值.
3．（2021·北京东城·高三期末）已知函数gx=sinx−π6，ℎx=cosx，在从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）fx的最小正周期；
（2）fx在区间0,π2上的最大值．
条件①：fx=gx⋅ℎx；
条件②：fx=gx+ℎx．
4．（2020·北京朝阳·高三期末）已知函数f(x)=3sin2x+2cos2x+m  (m∈R).
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）求f(x)的单调递增区间；
（3）对于任意x∈[0,π2]都有f(x)<0恒成立，求m的取值范围.
5．（2020·北京通州·高三期末）已知函数f(x)=2cos(x−π3)sinx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.
6．（2020·北京丰台·高三期末）已知函数fx=sinxcosx+3cos2x.
（Ⅰ）求fπ3的值；
（Ⅱ）求fx在区间0,π2上的最大值.
7．（2018·北京通州·高三期末（理））已知函数fx=2sinxcosx+sinπ2−2x.
（Ⅰ）求fx的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）求fx在区间0，π2上的最大值和最小值．
8．（2018·北京朝阳·高三期末（文））已知函数f(x)=(sinx+cosx)2−cos2x．
（Ⅰ）求N的最小正周期；
（Ⅱ）求证：当x∈0,π2时，f(x)≥0．
9．（2016·北京朝阳·高三期末（文））已知函数f(x)=cos2x+3sinxcosx+a的图象过点(π6,1)．
（1）求实数a的值及函数f(x)的最小正周期；
（2）求函数f(x)在[0,π2]上的最小值．
10．（2014·北京西城·高三期末（理））已知函数f(x)=3cosωx，g(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)，且g(x)的最小正周期为π.
（Ⅰ）若f(α)=62，α∈[−π,π]，求α的值；
（Ⅱ）求函数y=f(x)+g(x)的单调增区间.

参考答案
1．     π     φ=π2(答案不唯一)
【解析】
根据周期公式直接求出最小正周期，求出g(x)，化简得出y=f(x)−g(x)的解析式，根据最值得出1−cos2φ2+sin2φ2=2，即可解出.
【详解】
fx的最小正周期T=2π2=π，
可得g(x)=sin2x+2φ+π3
则y=f(x)−g(x)=sin2x+π3−sin2x+2φ+π3
=sin2x+π3−sin2x+π3cos2φ−cos2x+π3sin2φ
=1−cos2φsin2x+π3−sin2φcos2x+π3
=1−cos2φ2+sin2φ2sin2x+π3+θ，其中θ为辅助角，
∵ y=f(x)−g(x)的最大值为2，
∴1−cos2φ2+sin2φ2=2，得cos2φ=−1，解得φ=π2+kπ,k∈N.
故答案为：φ=π2(答案不唯一).
【点睛】
本题考查根据三角函数的最值求参数，解题的关键是通过三角恒等变化得出y=f(x)−g(x)=1−cos2φ2+sin2φ2sin2x+π3+θ，从而由最值得出1−cos2φ2+sin2φ2=2.
2．（1）fx=2sin2x+π6；（2）−3.
【解析】
（1）由图象可得出fx的最大值和最小正周期，可求得A、ω的值，再由fπ6=2结合φ的取值范围可求得φ的值，进而可求得函数fx的解析式；
（2）利用三角恒等变换思想化简函数gx的解析式为gx=23sin2x−π3，由x∈0,π2可求得2x−π3的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数gx在区间0,π2上的最小值.
【详解】
（1）由图象可得A=fxmax=2，
函数fx的最小正周期为T=22π3−π6=π，所以，ω=2πT=2，
∵fπ6=2sinπ3+φ=2，所以，sinπ3+φ=1，
∵0<φ<π2，π3<π3+φ<5π6，∴φ+π3=π2，可得φ=π6，
因此，fx=2sin2x+π6；
（2）gx=fx−π6−2cos2x=2sin2x−π6+π6−2cos2x=2sin2x−π6−2cos2x =3sin2x−cos2x−2cos2x=3sin2x−3cos2x=23sin2x−π3，
当x∈0,π2时，−π3≤2x−π3≤2π3，
所以，当2x−π3=−π3时，函数gx取最小值，即gxmin=23sin−π3=−3.
【点睛】
方法点睛：根据三角函数fx=Asinωx+φ+b的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求A、b:A=fxmax−fxmin2，b=fxmax+fxmin2；
（2）求出函数的最小正周期T，进而得出ω=2πT；
（3）取特殊点代入函数可求得φ的值.
3．答案不唯一，具体见解析．
【解析】
若选择条件①，首先利用两角和差的正弦公式和降幂公式，以及辅助角公式化简函数fx =12sin2x−π6−14，若选择条件②，利用两角差的正弦公式和辅助角公式化简函数fx=sinx+π6，（1）再求函数的最小正周期，（2）并且利用整体代入法求函数的最大值.
【详解】
选条件①：fx=gx⋅ℎx；
（1）fx=sinx−π6cosx
=32sinx−12cosxcosx
=32sinxcosx−12cos2x
=32×12sin2x−12×1+cos2x2
=34sin2x−14cos2x−14
=12sin2x−π6−14．
所以fx的最小正周期是π．
（2）因为x∈0,π2，
所以−π6≤2x−π6≤5π6．
所以−12≤sin2x−π6≤1．
所以−12≤12sin2x−π6−14≤14．
当2x−π6=π2，即x=π3时，fx有最大值14．
选条件②：fx=gx+ℎx．
（1）fx=sinx−π6+cosx
=32sinx−12cosx+cosx
=32sinx+12cosx
=sinx+π6．
所以fx的最小正周期是2π．
（2）因为x∈0,π2，
所以π6≤x+π6≤2π3．
所以12≤sinx+π6≤1，
当x+π6=π2，即x=π3时，fx有最大值1．
4．（1）π；（2）[−π3+kπ , π6+kπ] (k∈Z)；（3）(−∞,−3).
【分析】
（1）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数f（x）的最小正周期T；
（2）利用整体代入法求得函数fx的单调递增区间；
（3）原问题等价于fx的最大值小于零，根据fx在区间0,π2上的最大值列不等式，解不等式求得m的取值范围.
【详解】
（1）因为fx=3sin2x+2cos2x+m
=3sin2x+cos2x+m+1，
=2sin2x+π6+m+1.
所以fx的最小正周期T=2π2=π.
（2）由（1）知fx=2sin2x+π6+m+1.
又函数y=sinx的单调递增区间为−π2+2kπ,  π2+2kπ(k∈Z).
由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z.
所以fx的单调递增区间为−π3+kπ , π6+kπ k∈Z.       
（3）因为0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6.
所以−12≤sin2x+π6≤1.所以m≤2sin2x+π6+m+1≤m+3.
当2x+π6=π2，即x=π6时，fx的最大值为m+3，
又因为fx<0对于任意x∈0,π2恒成立，所以m+3<0，即m<−3.
所以m的取值范围是−∞,−3.
【点睛】
本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数最小正周期、单调区间、最值的求法，属于中档题.
5．(1)π；(2) 最小值0；最大值32+1
【解析】
（1）对函数进行三角恒等变换得f(x)=sin(2x−π3)+32，即可得最小正周期；
（2）整体考虑2x−π3∈[−π3,2π3]的取值范围，求出最大值和最小值.
【详解】
解:f(x)=2cos(x−π3)sinx=2(12cosx+32sinx)sinx =12sin2x+32(1−cos2x)=sin(2x−π3)+32
(1) f(x)的最小正周期T =2π2=π；
(2)因为x∈[0,π2],所以2x−π3∈[−π3,2π3]
所以当2x−π3=−π3,即x=0时,f(x)取得最小值f(0)=0；
当2x−π3=π2,即x=5π12时,f(x)取得最大值f(5π12)=32+1，
所以f(x)在区间[0,π2]上的最小值0；最大值32+1.
【点睛】
此题考查利用三角恒等变换对函数进行化简，求最小正周期和闭区间上的值域，关键在于利用公式准确化简，正确求值.
6．（Ⅰ）32；（Ⅱ）1+32.
【解析】
（Ⅰ）利用特殊角的三角函数值计算即可.
（Ⅱ）利用降幂公式和辅助角公式可得fx=sin2x+π3+32，求出2x+π3的范围后利用正弦函数的性质可求最大值.
【详解】
解：（Ⅰ）f(π3)=sinπ3⋅co sπ3+3co s2π3
=32×12+3×122
=32.                                   
（Ⅱ）fx=sinx⋅co sx+3co s2x
=12sin2x+3⋅cos2x+12
=sin2x+π3+32.   
因为x∈0,π2，所以2x+π3∈π3,4π3.
当2x+π3=π2，即x=π12时，
fx取得最大值1+32.
【点睛】
形如fx=Asin2ωx+Bsinωxcosωx+Ccos2ωx的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为fx=A'sin2ωx+φ+B'的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、最值、对称轴方程和对称中心等．
7．（Ⅰ）T=π. 单调递增区间是−3π8+kπ，π8+kπ,k∈Z. （Ⅱ）最大值和最小值分别为2和−1．
【详解】
试题分析：（I）由三角函数的恒等变换化简解析式可得f(x) =2sin2x+π4，由周期公式可求T，由−π2+2kπ<2x+π4<π2+2kπ可解得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由正弦函数的图象与性质也可求出f（x）在区间0，π2上的最大值和最小值．
试题解析：（Ⅰ）因为f(x) =sin2x+cos2x =2sin2x+π4．
所以fx的最小正周期T=2π2=π.
由−π2+2kπ<2x+π4<π2+2kπ，得−3π8+kπ<x<π8+kπ.
所以fx的单调递增区间是−3π8+kπ，π8+kπ,k∈Z.
（Ⅱ）因为x∈0,π2，所以2x+π4∈π4,5π4.
所以当2x+π4=π2，即x=π8时，函数取得最大值是2.     
当2x+π4=5π4，即x=π2时，函数取得最小值2sin5π4=−1.．
所以fx在区间0，π2上的最大值和最小值分别为2和−1．
8．（Ⅰ）π（Ⅱ）见解析
【详解】
试题分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数f(x)=2sin(2x−π4)+1，即可求出f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x) =2sin(2x−π4)+1．根据x∈0,π2讨论f(x)的值域，可知其最小值为0，即当x∈0,π2时，f(x)≥0．
试题解析：（Ⅰ）因为f(x)=sin2x+cos2x+sin2x −cos2x
=1+sin2x−cos2x=2sin(2x−π4)+1.
所以函数f(x),的最小正周期为π.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x) =2sin(2x−π4)+1．
当x∈ 0,π2时，2x−π4∈[−π4,3π4]，
sin(2x−π4)∈[−22,1]，
2sin(2x−π4)+1∈[0,2+1].
当2x−π4=−π4,即x=0时，f(x)取得最小值0．
所以当x∈0,π2时，f(x)≥0.
9．（1）a=−12，函数f(x)的最小正周期为π；（2）−12．
【分析】
（1）对f(x)进行三角恒等变形，将其化为形如y=Asin(ωx+φ)的形式，
再根据过点(π6,1)即可求得a的值；（2）根据（1）中求得的解析式，
再利用正弦函数的性质即可求解．
【详解】
（1）由f(x)=cos2x+3sinxcosx+a =1+cos2x2+3sin2x2+a =sin(2x+π6)+12+a，
因为函数f(x)的图象过点(π6,1)，所以f(π6)=sin(2×π6+π6)+12+a=1，
解得a=−12，函数f(x)的最小正周期为π；
（2）因为0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，则−12≤sin(2x+π6)≤1，
所以当2x+π6=7π6，即x=π2时，函数f(x)在[0,π2]上的最小值为−12．
10．（Ⅰ）α∈{−7π8,−π8,π8,7π8}；（Ⅱ）[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z).
【详解】
试题分析：（Ⅰ）由已知可得ω=2，且由f(α)=62，得cos2α=22，解三角方程并注意α∈[−π,π]，取相应范围的根；（Ⅱ）将y=f(x)+g(x)变形为y=sin(2x+π3)，利用复合函数的单调性，只需2kπ−π2
≤2x+π3≤2kπ+π2，解不等式并表示成区间的形式，即得单调递增区间.
试题解析：（Ⅰ）解：因为g(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)的最小正周期为π，所以2π|ω|=π，解得ω=2．
由f(α)=62，得3cos2α=62，即cos2α=22，所以2α=2kπ±π4，k∈Z.因为 α∈[−π,π]，
所以α∈{−7π8,−π8,π8,7π8}.
（Ⅱ）解：函数y=f(x)+g(x)=3cos2x+sin(2x−π3) =3cos2x+sin2xcosπ3−cos2xsinπ3
=12sin2x+32cos2x =sin(2x+π3)，由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12．
所以函数y=f(x)+g(x)的单调增区间为[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z).
考点：1、三角方程；2、两角和与差的三角函数；3、三角函数的单调性.

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