2020年高考数学一轮(江苏理)-第5章-5-5-复-数.docx

§5.5　复　数
考情考向分析　主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，突出考查运算能力与数形结合思想．一般以填空题的形式出现，难度为低档．

1．复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．
(2)分类：

满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.

概念方法微思考
1．复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？
提示　不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部．
2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？
提示　复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　×　)
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　×　)
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　)
(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　√　)
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　√　)
题组二　教材改编
2．[P118T4]设z＝＋2i，则|z|＝________.
答案　1
解析　∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，
∴|z|＝1.
3．[P114T4]在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是________．
答案　－3－4i
解析　＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
4．[P105习题T2]若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
答案　－1
解析　∵z为纯虚数，∴∴x＝－1.

题组三　易错自纠
5．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案　必要不充分
解析　∵复数a＋＝a－bi为纯虚数，∴a＝0且－b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
6．若复数z满足iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点在第________象限．
答案　二
解析　由题意，∵z＝＝＝－2－2i，
∴＝－2＋2i，则z的共轭复数对应的点在第二象限．
7．i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＋i2 018＋i2 019＋i2 020＝________.
答案　－i
解析　原式＝i2＋i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＝－i.

题型一　复数的概念
1．(2018·苏州期初)已知＝3＋i(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b的值是________．
答案　6
解析　由题意知a＋bi＝(2－i)(3＋i)＝7－i，
所以a＝7，b＝－1，所以a＋b＝7－1＝6.
2．复数的共轭复数是________．
答案　＋i
解析　由复数＝＝＝－i，
所以共轭复数为＋i.
3．已知复数是纯虚数(i是虚数单位)，则实数a＝________.
答案　1
解析　＝＝，
∵复数为纯虚数，∴2a－2＝0且a＋4≠0，
解得a＝1.
思维升华 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．

题型二　复数的运算

命题点1　复数的乘法运算
例1 (1)(2018·全国Ⅲ改编)(1＋i)(2－i)＝________.
答案　3＋i
解析　(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.
(2)i＝________.
答案　－3＋2i
解析　i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i.

命题点2　复数的除法运算
例2 (1)(2018·全国Ⅱ改编)＝________.
答案　－＋i
解析　＝＝
＝＝－＋i.
(2)已知i为虚数单位，复数z满足iz＝2z＋1，则z＝________.
答案　－－i
解析　由iz＝2z＋1，得(2－i)z＝－1，
解得z＝＝＝，
即z＝－－i.

命题点3　复数的综合运算
例3 (1)已知z(1＋i)＝－1＋7i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则||＝________.
答案　5
解析　z＝＝＝3＋4i，
故＝3－4i，则||＝＝5.
(2)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②＝－i；③＝1；④α2＋β2＝0，其中正确的结论为________．(填序号)
答案　②③④
解析　对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，
①αβ＝(1－i)·(1＋i)＝2，故①不正确；
②＝＝＝＝－i，故②正确；
③＝＝1，故③正确；
④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故④正确．
故正确的结论是②③④.
思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
跟踪训练1 (1)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝＋ai，z·＝4，则a＝________.
答案　1或－1
解析　由题意得＝－ai，
故z·＝3＋a2＝4，解得a＝±1.
(2)已知复数a＋bi＝(i是虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
答案　－2
解析　由复数的运算法则，可得
＝＝＝＝－1－i，
结合题意可得a＋bi＝－1－i，即a＝－1，b＝－1，
据此可得a＋b＝－2.

题型三　复数的几何意义

例4 (1)复数z满足(2＋i)z＝，则z在复平面内对应的点位于第________象限．
答案　四
解析　∵(2＋i)z＝＝＝5，
∴(2＋i)z＝5，5z＝5，z＝2－i，
z在复平面内对应的点为，在第四象限．
(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：

①，所表示的复数；
②对角线所表示的复数；
③B点对应的复数．
解　①∵＝－，∴所表示的复数为－3－2i.
∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.
②∵＝－，∴所表示的复数为
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
③＝＋＝＋，
∴所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
思维升华 复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．
跟踪训练2 (1)已知复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数对应的点在第________象限．
答案　四
解析　∵z＝＝＝＋i，
∴＝－i，则z的共轭复数对应的点在第四象限．
(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x＋y，则x＋y的值是________．
答案　5
解析　由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，
∵＝x＋y，
∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，
∴解得故x＋y＝5.

1．已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则＝________.
答案　8＋6i
解析　∵z1＝6－8i，z2＝－i，
∴＝＝＝8＋6i.
2．若复数z满足(1＋2i)·z＝2＋i，其中i为虚数单位，则|z|＝________.
答案　1
解析　由题意可得z＝，
则|z|＝＝＝＝1.
3．已知i为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在第________象限．
答案　四
解析　＝＝＝1－i，在复平面内对应的点为(1，－1)，所以在第四象限．
4．已知i为虚数单位，若复数z满足＝1＋i，那么|z|＝________.
答案　
解析　∵＝1＋i，z＋i＝(1＋i)，iz＝(2＋i)i，
∴z＝2＋i，∴|z|＝＝.
5．若复数z满足z＝1－i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数＝________.
答案　－＋i
解析　由题意可得z＝＝＝，
所以＝－＋i.
6．已知复数z满足z2＝12＋16i，则z的模为________．
答案　2
解析　设z＝a＋bi，a，b∈R，
则由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，
则解得或
即|z|＝＝＝2.
7．(2018·江苏)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．
答案　2
解析　由i·z＝1＋2i，得z＝＝2－i，
∴z的实部为2.
8．(2018·天津)i是虚数单位，复数＝________.
答案　4－i
解析　＝＝＝4－i.
9．已知复数z满足z＋＝0，则|z|＝________.
答案　
解析　由复数z满足z＋＝0，则z2＝－3，
所以z＝±i，所以|z|＝.
10．已知i为虚数单位，复数z(1＋i)＝2－3i，则z的虚部为________．
答案　－
解析　由z(1＋i)＝2－3i，
得z＝＝＝＝－－i，
则z的虚部为－.
11．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．
(1)求复数z；
(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
解　(1)因为z＝bi(b∈R)，
所以＝＝
＝＝＋i.
又因为是实数，所以＝0，
所以b＝－2，即z＝－2i.
(2)因为z＝－2i，m∈R，
所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2
＝(m2－4)－4mi，
又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，
所以解得m<－2，
即m∈(－∞，－2)．
12．若虚数z同时满足下列两个条件：
①z＋是实数；
②z＋3的实部与虚部互为相反数．
这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．
解　存在．设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，
则z＋＝a＋bi＋
＝a＋bi.
又z＋3＝a＋3＋bi的实部与虚部互为相反数，z＋是实数，
根据题意有
因为b≠0，所以解得或
所以z＝－1－2i或z＝－2－i.

13．若复数(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是________．
答案　(－1,1)
解析　由题意得z＝＝＝，
因为z在复平面内对应的点在第一象限，
所以所以－1<a<1.
14．已知a∈R，i是虚数单位，若复数z＝∈R，则复数z＝________.
答案　
解析　∵复数z＝＝
＝＝＋i∈R，
∴＝0，即a＝3.则复数z＝＝＝.

15．给出下列命题：
①若z∈C，则z2≥0；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
④若z＝－i，则z3＋1在复平面内对应的点位于第一象限．
其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)
答案　④
解析　由复数的概念及性质知，①错误；②错误；
若a＝－1，则a＋1＝0，不满足纯虚数的条件，③错误；
z3＋1＝(－i)3＋1＝i＋1，④正确．
16．复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋4sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是________．
答案　[－1,8]
解析　由复数相等的充要条件可得
化简得4－4cos2θ＝λ＋4sin θ，
由此可得λ＝－4cos2θ－4sin θ＋4
＝－4(1－sin2θ)－4sin θ＋4
＝4sin2θ－4sin θ＝42－1，
因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈[－1,8]．