2017-2021北京重点校初二(下)期中数学汇编：勾股定理的逆定理.docx

2017-2021北京重点校初二（下）期中数学汇编
勾股定理的逆定理
一、单选题
1．（2019·北京八十中八年级期中）下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，2，2 B．1，1， C．4，5，6 D．1，，2
2．（2018·北京四中八年级期中）以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（ ）
A．9、12、15 B．41、40、9 C．25、7、24 D．6、5、4
3．（2017·北京·人大附中八年级期中）分别以每一组的三个数为一个三角形的边长：（），，；（），，；（），，；（），，，期中能构成直角三角形的有（ ）．
A．组 B．组 C．组 D．组
4．（2018·北京师大附中八年级期中）下列各组数中，是直角三角形的三条边长的是(　　)
A．1，3，3 B．3，4，5 C．2，3，7 D．4，6，7
5．（2019·北京·北师大实验中学八年级期中）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是(　　)
A．2，4，4 B．，2，2 C．3，4，5 D．5，12，14
6．（2020·北京四中八年级期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，，2 B．1，1，2 C．2，3，4 D．4，5，6
7．（2021·北京师大附中八年级期中）下列各组数据中的三个数，可以作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1，2，3 B．2，4，7 C．6，8，10 D．
8．（2019·北京师大附中八年级期中）下列三角形中不是直角三角形的是（ ）
A．三个内角之比为5：6：1 B．三边长为5，12，13
C．三边长之比为1.5：2：3 D．其中一边上的中线等于这一边的一半
9．（2019·北京四中八年级期中）以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（ ）
A．6，7，8 B．2，3，4 C．3，4，6 D．6，8，10
二、解答题
10．（2021·北京·北大附中八年级期中）对于平面内的图形G1和图形G2，A为图形G1上一点，B为图形G2上一点，如果线段AB的长度有最小值，称图形G1和图形G2存在“最短距离”，此时线段AB的长度记为m（G1，G2）；如果线段AB的长度有最大值，称图形G1和图形G2存在“最长距离”，此时线段AB的长度记为M（G1，G2）．
例如：线段EF两端点坐标为E（1，3），F（3，1），线段KH两端点坐标为K（3，3），H（3，5），根据“最短距离”和“最长距离”的公式可得m（G1，G2）＝，M（G1，G2）＝4．
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，1），C（4，2），D（2，2）．
（1）线段AD和线段BC是否存在“最短距离”和“最长距离”？如果存在，请直接写出m（AD，BC）和M（AD，BC）；如果不存在，请说明理由．
（2）已知点P（0，t），若过点P且平行于AD的直线l与四边形ABCD没有公共点，且m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值不超过最大值的，求t的取值范围．
（3）已知四边形QRST，其中Q（4，5），R（5，4），S（6，5），T（5，6）．现将四边形ABCD绕点O旋转，旋转后的图形记为A′B'C′D′，记m*表示m（A'B′C′D′，QRST）的最小值，M*表示M（A′B'C′D′，QRST）的最大值，直接写出M*+m*的值．

11．（2019·北京师大附中八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E.
(1)求证：△ABC为直角三角形．
(2)求AE的长．

12．（2019·北京·北师大实验中学八年级期中）如图，每个小正方形的边长为1．
（1）直接写出四边形ABCD的面积和周长；
（2）求证：∠BCD=90°．

参考答案
1．D
【分析】
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：A、∵12+22＝5≠22，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；
B、∵12+12＝2≠（）2，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；
C、∵42+52＝41≠62，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；
D、∵12+（）2＝4＝22，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
2．D
【详解】
选项A，92+122=225=152；选项B，402+92=1681=412；选项C，72+242=625=252；选项D，52+42≠62，根据勾股定理的逆定理可知，只有选项D不能够成直角三角形．故选D．
3．B
【解析】
（1）∵，
∴长为3、4、5的线段能够构成直角三角形；
（2）∵，
∴长为5、12、13的线段能构成直角三角形；
（3）∵，
∴长为8、15、17的线段能构成直角三角形；
（4）∵，
∴长为3、4、5的线段不能构成直角三角形.
综上所述，上述四组线段中，能构成直角三角形的有3组.
故选B.
点睛：根据勾股定理的逆定理可知：三条线段中，若是最长线段，且，则这三条线段能围成直角三角形.
4．B
【分析】
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
12+(3)2≠32，故A选项不能组成直角三角形，
32+42=52，故B选项能组成直角三角形，
22+(7)2 ≠32，故C选项不能组成直角三角形，
42+62≠72，故D选项不能组成直角三角形，
故选B.
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
5．C
【分析】
根据勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】
A．∵22+42=20≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵()2+22=6≠22，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵32+42=25=52，∴能够构成直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵52+122=169≠142，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
6．A
【分析】
根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系逐个判断即可．
【详解】
解：A、∵12+（）2＝22，
∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、1+1＝2，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的逆定理及三角形三边关系，掌握勾股定理的逆定理及三角形三边关系是解题的关键．
7．C
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
【详解】
解：A、12+22=5≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+42=20≠72，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、62+82=100=102，能构成直角三角形，故符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
8．C
【分析】
根据直角三角形的定义，只有三角形的一个内角为，则这个三角形是直角三角形。
【详解】
A 内角之比计算可得三个内角分别为： ，，，因此为直角三角形；B 根据勾股定理可得 ，故三角形为直角三角形；C 不是直角三角形，根据勾股定理不符合；D根据直角三角形斜边的中线定理可以判断是直角三角形，故选C。
【点睛】
本题主要考查直角三角形的定义，关键在于计算一个角为，综合性比较强，应当熟练掌握。
9．D
【分析】
根据勾股定理逆定理即两短边的平方和等于最长边的平方逐一判断即可．
【详解】
解：．，不能构成直角三角形，故本选项错误；
．，不能构成直角三角形，故本选项错误；
．，不能构成直角三角形，故本选项错误；
．，能构成直角三角形，故本选项正确．
故选：．
【点睛】
本题考查的是勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
10．（1）存在，m（AD，BC）＝，M（AD，BC）＝；（2）0＜t≤2或﹣4≤t＜﹣2；（3）M*+m*＝+．．
【分析】
（1）连结AB并延长AB到G，过D，C作DE⊥AG，CF⊥AG，分别交于E、F，先证AB∥x轴，再证△ADE为等腰直角三角形，可得∠DAE=45°，再证△CBF为等腰直角三角形，可得∠CBG=45°，可得AD∥BC，利用勾股定理逆定理可证BD⊥AD，可求m（AD，BC）＝，M（AD，BC）＝；
（2）由过P的直线l平行于AD，且与▱ABCD无交点，可证l∥BC，当l在AD左侧时：m（l，BC）＝m（l，AD）+m（AD，BC），由m（l，ABCD）＝m（l，AD），可得m（AD，BC）＝，由m（l，BC）＝2m（l，AD），可得m（l，AD）＝，求出AD解析式为，可求过P与AD平行的直线为+,可证△OAP为等腰直角三角形，利用勾股定理OP=t=，可得0＜t≤2， 当l在BC右侧时，用相同方法求BC解析式为，证明△OKN为等腰直角三角形再证△KLP为等腰直角三角形，利用勾股定理PK，可求t＝﹣4，可得﹣4≤t＜﹣2；
（3）先求M（O，ABCD）＝，M（O，QRST），取QR的中点W（），再求m（O，QRST）＝|OW|=，可求M*＝+，m*＝﹣即可．
【详解】
解：（1）连结AB并延长AB到G，过D，C作DE⊥AG，CF⊥AG，分别交于E、F，
∵A（1，1），B（3，1），两点纵坐标相同，
∴AB∥x轴，
∵点A（1，1），B（3，1），C（4，2），D（2，2）．
∴E（2，1），F（4，1），
∴AE=2-1=1，DE=2-1=1，AE=DE，DE⊥AE，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴∠DAE=45°，
∵BF=4-3=1，CF=2-1=1，CF=BF，CF⊥BF，
∴△CBF为等腰直角三角形，
∴∠CBG=45°，
∴∠DAE=∠CBG=45°，
∴AD∥BC，
又∵EB=3-2=1=AE=DE，
∴AD2+BD2=，
∴BD⊥AD
∴AD、BC间最短距离为BD，即m（AD，BC）＝，
∴AD、BC间最长为AC，即M（AD，BC）＝；

（2）∵过P的直线l平行于AD，且与▱ABCD无交点，
∴l∥BC，
∴当l在AD左侧时：m（l，BC）＝m（l，AD）+m（AD，BC），
m（l，ABCD）＝m（l，AD），
由（1）知，m（AD，BC）＝，
若m（l，BC）＝2m（l，AD），
则m（l，AD）＝，
设AD解析式为

解得
AD解析式为
过P与AD平行的直线为+,
∵OA== m（l，AD），过A作PA⊥AD，交y轴于P，
∴△OAP为等腰直角三角形，
∴OP=t=，
∵直线l在O、P之间运动
∴0＜t≤2，
∴当0＜t≤2时，m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值不超过最大值的，

当l在BC右侧时，
m（l，AD）＝m（l，BC）+m（AD，BC），
m（l，ABCD）＝m（l，BC），
由（1）知，m（AD，BC）＝，
若m（l，AD）＝2m（l，BC），
则m（l，BC）＝，
设BC的解析式为为

解得
BC解析式为
直线BC与y轴交点为K（0，-2），与x轴交点N（2，0）
∴OK=ON=2，
∴△OKN为等腰直角三角形
∴∠OKN=45°，
过K作KL⊥l于L，
则KL=，
∵∠PKL=180°-∠OKN-∠NKL=45°
∴△KLP为等腰直角三角形，
∴PL=KL=，
在Rt△KLP中PK=，
∴-2-t=2
∴t＝﹣4，
∵直线l在BC下方到t=-4之间运动，
∴﹣4≤t＜﹣2，
当﹣4≤t＜﹣2时，m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值不超过最大值的，
∴不超过最大值时：0＜t≤2或﹣4≤t＜﹣2；

（3）由题意知，
M（O，ABCD）＝|OC|＝，
M（O，QRST）=|OS|＝，
取QR的中点W（），
m（O，QRST）＝|OW|=，
∴M*＝+，m*＝﹣，
∴M*+m*＝+．

【点睛】
本题考查新定义距离问题，等腰直角三角形的判定与性质，直线平行判定，勾股定理定理与逆定理，两点间距离，直线解析式，截距范围，利用辅助线画出准确图形是解题关键．
11．(1)见解析；(2) AE的长是.
【分析】
（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE，设AE=x，则EC=4-x，根据勾股定理可得x2+32=（4-x）2，再解即可．
【详解】
（1）证明：∵△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，
又∵42+32=52，
即AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）证明：连接CE． 

∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC=EB，
设AE=x，则EC=4-x．
∴x2+32=（4-x）2．
解之得x=，即AE的长是．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
12．（1）四边形ABCD的面积为14.5，四边形ABCD的周长是3；（2）证明见解析．
【分析】
（1）用四边形ABCD所在长方形的面积减去4个小三角形的面积，列出算式计算即可求得四边形ABCD的面积；利用勾股定理分别求出AB、BC、CD、AD，即可求得四边形ABCD的周长；
（2）求出BD2，利用勾股定理的逆定理即可证明；
【详解】
（1）四边形ABCD的面积=5×5﹣3×1÷2﹣4×2÷2﹣5×1÷2﹣5×1÷2=14.5；
由勾股定理得AB，BC2，CD，AD，
故四边形ABCD的周长是23；
（2）连接BD．
∵BD2，BC2+CD2=20+5=25，
∴BC2+CD2=BD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°．

【点睛】
本题考查割补法求面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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