初中数学人教版八年级上册教案-14-2-1-平方差公式.docx

第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
一、教学目标
【知识与技能】
会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算.
【过程与方法】
经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公式.
【情感、态度与价值观】
通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探索性和创造性.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时
四、教学重难点
【教学重点】
(1)体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算.
(2)平方差公式的几何意义.
【教学难点】
从广泛意义上理解公式中的字母含义，具体问题要具体分析，会运用公式进行计算.
五、课前准备
教师：课件、直尺、平方差公式结构图等。
学生：练习本、钢笔或圆珠笔、铅笔。
六、教学过程
（一）导入新课
从前有一个狡猾的地主,他把一块长为x米的正方形土地租给张老汉种植,有一天,他对张老汉说:“我把这块地的一边减少5米,另一边增加5米,继续租给你,你也没吃亏,你看如何?”张老汉一听觉得没有吃亏,就答应了.你能告诉张老汉他吃亏了吗?（出示课件2）
（二）探索新知
1.创设情境，探究平方差公式
教师问1：你能口答下列各题吗？
(1)2001 ×1999；　(2)998×1002；　(3)403×397.
学生回答：不能口答下列各题.
教师问2：这三个式子有什么共同特征？
学生讨论后回答：都在某个整百整千的左右.
教师讲解：今天我们将进行新的学习，通过学习你将能快速地计算出结果.
教师问3：多项式乘以多项式的法则是什么？
学生回答：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.（出示课件4）
教师问4：通过以前的学习，二项式乘以二项式结果一定是四项吗？
学生回答：结果不一定是四项.
教师问5：你会计算(x＋p)(x＋q)型的结果吗？
学生回答：(x＋p)(x＋q)=x2+qx+px+pq=x2+（p+q）x+pq
教师问6：(x＋p)(x＋q)与多项式乘以多项式的公式(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq一致吗？有什么特殊性？
学生回答：一致，这两个多项式中有一项相同.
教师问7：多项式乘法(a＋b)(p＋q)还有哪些特殊情况？
学生讨论后回答：①a＝p，b＝－q；　②a＝p，b＝q.
教师讲解：今天我们先研究第一种情况.
教师问8：你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？（出示课件6）
(1)(x＋1)(x－1)；　　　　　(2)(m＋2)(m－2)；
(3)(2x＋1)(2x－1); (4)(x＋5y)(x－5y).
学生讨论后，可能的说法有：上面四个算式中每个因式都是两项；它们都是两个数的和与差的积.
教师问9：请计算上面的多项式的积.
学生解答如下：(1)(x＋1)(x－1)＝x2＋x－x－1＝x2－12；
(2)(m＋2)(m－2)＝m2＋2m－2m－2×2＝m2－22；
(3)(2x＋1)(2x－1)＝(2x)2＋2x－2x－1＝(2x)2－12；
(4)(x＋5y)(x－5y)＝x2＋5y·x－x·5y－(5y)2＝x2－(5y)2.
教师问10：观察结果，你有什么发现？
学生小组讨论给出答案：都是两个数平方相减.
教师问11：再举几个这样的运算例子.自己独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后观察这些计算结果有什么特点？
学生回答：计算结果是这两个数的平方差.
教师问12：这两个多项式有何特点呢？
学生讨论后回答：两数的和乘以两个数的差.
教师问13：你能用语言叙述你发现的规律，并用数学符号表示出来吗？
师生活动：学生叙述，其他学生补充，师生共同归纳如下：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
教师问14：以上结论正确吗？如何验证？
学生尝试：可以通过多项式乘以多项式法则计算得到.验证如下：
(a＋b)(a－b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2
学生问：还有其他方法吗？
教师回答：我们可以利用图形的面积来证明
学生问：如何利用面积？由a2，b2你想到了什么？
教师问15：请同学们计算下图两个正方形面积的差：

学生回答：a2-b2
教师问16：如果把小正方形剪去，同时把剩余部分剪拼成下图的矩形，这个矩形的面积是多少呢？

学生回答：（a+b）(a-b)
教师问17：由上面的计算可以得到什么呢？（出示课件5）
学生回答：（a+b）(a-b)= a2-b2
师生共同归纳：以上的猜想是正确的，因为最终结果是两个数的平方的差的形式，我们叫它“平方差公式”.
总结点拨：（出示课件7-9）
平方差公式
（a+b）(a-b)= a2-b2
两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差.
公式变形:
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2
2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2

点拨：1.公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项式或者多项式；
2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另一项互为相反数；
3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.
例1：计算：(1) (3x＋2 )( 3x–2 ) ；(2)(–x+2y)(–x–2y).（出示课件12）
师生共同解答如下：
解： (1)原式=(3x)2–22
=9x2–4；
(2) 原式= (–x)2 – (2y)2
= x2 – 4y2.
易错警示：当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来.
例2：计算:
(1) 102×98; (2) (y+2) (y–2) – (y–1) (y+5) .（出示课件14）
师生共同解答如下：
解: (1) 102×98
=(100＋2)(100–2)
= 1002–22
=10000 – 4
=9996；
总结点拨：通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
(2)(y+2)(y–2)– (y–1)(y+5)
= y2–22–(y2+4y–5)
= y2–4–y2–4y+5
= – 4y + 1.
总结点拨：不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.
例3：先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)，其中x＝1，y＝2.（出示课件16）
师生共同解答如下：
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2)
＝4x2–y2–4y2＋x2
＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时，
原式＝5×12–5×22＝–15.
例4：对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？（出示课件18）
师生共同解答如下：
解：原式＝9n2–1–(9–n2)
＝10n2–10.
∵(10n2–10)÷10=n2–1.
n为正整数，
∴n2–1为整数
即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍数．
总结点拨：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．（出示课件19）
例5：王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？（出示课件21）
师生共同解答如下：
解：李大妈吃亏了．
理由：原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16，
∵a2＞a2–16，
∴李大妈吃亏了．
总结点拨：（出示课件22）
解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．
（三）课堂练习（出示课件25-30）
1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y) B．(–x＋y)(x–y)
C．(–x–y)(y–x) D．(x＋y)(–x–y)
2. 计算(2x+1)(2x–1)等于(　　)
A．4x2–1 B．2x2–1 C．4x–1 D．4x2+1
3. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．
4. 利用平方差公式计算：
(1)(a+3b)(a– 3b)；(2)(3+2a)(–3+2a)；
(3)(–2x2–y)(–2x2+y).
5. 计算： 20152 – 2014×2016.
6. 利用平方差公式计算:
(1)(a–2)(a+2)(a2 + 4) ；(2) (x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
7. 先化简，再求值：(x+1)(x–1) +x2(1–x) +x3，其中x＝2.
8. 已知x≠1，计算：(1＋x)(1–x)＝1–x2，(1–x)(1＋x＋x2)＝1–x3，
(1–x)(1＋x＋x2＋x3)＝ 1–x4
(1)观察以上各式并猜想：(1–x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1–2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x–1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
参考答案：
1.C
2.A
3.10
4.解：（1）原式=(a)2–(3b)2
=a2–9b2 ；
（2）原式=(2a+3)(2a–3)
=(2a)2–32
=4a2–9；
（3）原式=(–2x2 )2–y2
=4x4–y2.
5. 解：20152 – 2014×2016
= 20152 – (2015–1)(2015+1)
= 20152– (20152–12 )
= 20152– 20152+12
=1
6.解：（1）原式=(a2–4)(a2+4)
=a4–16.
（2）原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4)
=(x4–y4)(x4+y4)
=x8–y8.
7. 解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3
=2x2–1.
将x＝2代入上式，
原式=2×22–1=7.
8.（1）1–xn+1 ；（2）①-63；②2n＋1–2；③x100–1.
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
1.具备什么特征的式子才能运用平方差公式进行计算？
2.平方差公式中字母代表的意义是什么？
3. 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
（五）课前预习
预习下节课（14.2.2）的相关内容。
了解完全平方公式和添括号法则.
七、课后作业
1、教材108页练习1,2
2、如图,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分剪开,拼成右边的矩形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(　　)

A.(a-b)2=a2-2ab+b2
B.a(a-b)=a2-ab
C.(a-b)2=a2-b2
D.a2-b2=(a+b)(a-b)
八、板书设计：

九、教学反思：
1.本节的内容是平方差公式,主要观察是否符合公式特点,只有符合公式特点才能用公式直接求解,利用公式计算.在实施情境探究教学过程中,应注意让学生感知问题的生成、发展与变化,培养学生善于发现的科学精神以及合作交流的精神和创新意识.
2. 在教学活动的组织中始终注意：(1)以问题为活动的核心.在组织活动前，结合学习内容和学生实际，更好地使用教科书，创设问题情境；(2)促进学生发展是活动的目的.数学教育要把以获取知识为首要目标转变为首先关注人的发展，这是义务教育阶段数学课程的基本理念和基本出发点.因此，本节课组织活动的目的，不是为了单纯地传授知识，而是注意让学生在参与平方差公式的探究推导、归纳证明、解释应用的过程中促进学生代数推理能力、表达能力、与人合作意识、数学思想方法等方面的进一步发展.