2023届高考数学一轮复习-助学培优17-二项分布与超几何分布的辨别.doc

助学培优17　二项分布与超几何分布的辨别[学生用书P286]
二项分布与超几何分布是概率中最重要的两种数学模型，学生对这两种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析，滥用公式，运算对象不明晰，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别．
分别指出下列随机变量服从什么分布，并用合适的符号表示：
(1)某班级共有30名学生，其中有10名学生戴眼镜，随机从这个班级中抽取5人，设抽到的不戴眼镜的人数为X；
(2)已知女性患色盲的概率为0.25%，任意抽取300名女性，设其中患色盲的人数为X；
(3)学校要从3名男教师和4名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中男教师的人数为X.
【解】　(1)依题意不戴眼镜的人数为X服从参数为30，5，20的超几何分布，即X～H(30，5，20)．
(2)依题意每次抽到患色盲的概率为0.25%，任意抽取300名女性，设其中患色盲的人数为X，则X服从二项分布，即X～B(300，0.25%)．
(3)抽取的人中男教师的人数为X服从参数为7，3，3的超几何分布，即X～H(7，3，3)．
(2022·重庆市巴蜀中学高三适应性考试)一机床生产了100个汽车零件，其中有40个一等品、50个合格品、10个次品，从中随机地抽出4个零件作为样本．用X表示样本中一等品的个数．
(1)若有放回地抽取，求X的分布列；
(2)若不放回地抽取，用样本中一等品的比例去估计总体中一等品的比例．
①求误差不超过0.2的X的值；
②求误差不超过0.2的概率(结果不用计算，用式子表示即可)．
【解】　(1)对于有放回抽取，每次抽到一等品的概率为＝，且各次试验之间的结果是独立的，
因此X～B，从而P＝＝，P＝C··＝，P(X＝2)＝C·＝，P(X＝3)＝C()3·＝，P(X＝4)＝＝，
所以X的分布列如下：

X
0
1
2
3
4
P

(2)对于不放回抽取，各次试验结果不独立，X服从超几何分布，样本中一等品的比例为，而总体中一等品的比例为＝0.4，由题意，
①≤0.2⇒0.8≤X≤2.4⇒X＝1或X＝2；
②P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝.

超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互独立．当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布．