2019-2021北京高二(上)期中数学汇编：空间向量与立体几何章节综合.docx

2019-2021北京高二（上）期中数学汇编
空间向量与立体几何章节综合
一、单选题
1．（2019·北京·东直门中学高二期中）直三棱柱中，若，，，则（       ）

A． B． C． D．
2．（2020·北京市第一零九中学高二期中）经过两点的直线的倾斜角是（       ）
A． B． C． D．
3．（2020·北京市第四十三中学高二期中）已知向量，2，，，，，且，那么（       ）
A． B． C． D．
4．（2020·北京市第五十七中学高二期中）以下命题中，不正确的个数为（       ）
①“”是“，共线”的充要条件；②若，则存在唯一的实数，使得；③若，，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；⑤.
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2020·北京市平谷区第五中学高二期中）在正方体，中，是的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为
A． B． C． D．
6．（2021·北京市第八中学怡海分校高二期中）已知向量，若向量共面，则实数的值为（       ）
A． B． C．1 D．3
7．（2021·北京·中关村中学高二期中）若：，，是三个非零向量；：，，为空间的一个基底，则p是q的   （       ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（2021·北京市第十三中学高二期中）已知空间向量，，且与互相垂直，则k的值是（       ）．
A．1 B． C． D．
二、填空题
9．（2020·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二期中）在长方体中，设，，则_______.
10．（2021·北京·101中学高二期中）已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的说法的序号是__________．
11．（2021·北京市朝阳区北京教育学院朝阳分院高二期中）如图，已知空间四边形，其对角线为，，，分别为，的中点，点在线段上，且，若，则______．

12．（2021·北京市昌平区前锋学校高二期中）若，，则的值为_______
三、双空题
13．（2019·北京·人大附中石景山学校高二期中）已知单位正方体，点为中点，设，，，以为基底表示：
（1）______；
（2）______.
四、解答题
14．（2019·北京·人大附中石景山学校高二期中）如图所示，已知斜三棱柱，点、分别在和上，且满足，.

(1)用向量和表示向量；
(2)向量是否与向量，共面？
15．（2020·北京市广渠门中学高二期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，为中点，.

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（3）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
16．（2020·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二期中）如图，在四棱柱中，平面，底面满足且.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
17．（2021·北京市第五十七中学高二期中）如图，四边形和三角形所在平面互相垂直，∥，，，，，，平面与平面交于.

(1)求证：；
(2)若，求二面角余弦值；
(3)在线段上是否存在点使得？若存在，求的长；若不存在，说明理由.
18．（2021·北京工业大学附属中学高二期中）等边三角形的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将 沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求平面和平面夹角的余弦值；
(3)在线段BC上是否存在一点P，使？若存在，请指出P点的位置，若存在，请说明理由
19．（2021·北京市第十三中学高二期中）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，是的中点，.

（Ⅰ）证明：⊥平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）线段上是否存在一点，使得直线平面. 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
20．（2021·北京·昌平一中高二期中）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，PA＝2．

(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值．

参考答案
1．A
【解析】
根据空间向量的线性运算直接可得解.
【详解】
由已知得，
故选：A.
2．B
【解析】
求出直线的斜率后可得倾斜角．
【详解】
经过两点的直线的斜率为，
设该直线的倾斜角为 ，则，
又，所以.
故选：B
3．A
【解析】
根据题意，设，即，，，2，，分析可得、的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，向量，2，，，，，且，
则设，即，，，2，，
则有，
则，，
则，，，故；
故选：．
4．C
【解析】
利用不等式等号成立的条件判断①即可；
利用与任意向量共线，来判断②是否正确；
利用共面向量定理判断③是否正确；
根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可；
代入向量数量积公式验证即可．
【详解】
解：对①，向量、同向时，，只满足充分性，不满足必要性，①错误；
对②，当为零向量，为零向量时，不唯一，当为零向量，不为零向量时，不存在；②错误；
对③，，则，，不能得到，故③错误；
对④，用反证法，若不构成空间的一个基底；
设，即，，共面，为空间的一个基底，④正确；
对⑤，，⑤错误．
故选：．
【点睛】
本题借助考查命题的真假判断，考查空间向量的共线向量定理、共面向量定理及向量的数量积公式，属于中档题．
5．C
【解析】
建立空间直角坐标系，求出平面法向量以及坐标，按线面角向量法求解.
【详解】
设正方体边长为，以为坐标原点，
所在的直线分别为轴建立坐标系，
则，
平面法向量为，
设直线与平面所成的角为，
.
故选:C.

【点睛】
本题考查用向量法求直线与平面所成的角，考查计算能力，属于基础题.
6．B
【解析】
根据题意：存在实数使得，再根据坐标运算解方程求解即可.
【详解】
解：因为向量共面，
所以存在实数使得，即
所以，解得
故选：B
7．B
【解析】
利用基底的判定方法和充分不必要条件的定义进行判定.
【详解】
空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，
若，，是三个共面的非零向量，则，，不能作为空间的一个基底；
但若，，为空间的一个基底，则，，不共面，
所以，，是三个非零向量，即p是q的必要不充分条件.
故选：B.
8．D
【解析】
由＝0可求解．
【详解】
由题意
，
．
故选：D．
9．
【解析】
选取为基底，把其它向量都用基底表示后计算．
【详解】
如图，

由题意
．
故答案为-1．
10．①②③
【解析】
由,
在①中，，所以，所以，所以是正确的；
在②中，，所以，所以，所以是正确的；
在③中，由于，，且，可知是平面的法向量，所以是正确的；
在④中，,
假设存在实数使得，则，此时无解，所以是不正确的，
所以正确命题的序号为①②③.
点睛：本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到空间向量的数量积的运算，空间向量的坐标表示，平面法向量的概念，同时考查了向量垂直、向量平行等基础知识，着重考查了推理能力与计算能力，属于基础题，解答中熟记向量的坐标运算的基本公式是解答的关键.
11．
【解析】
以为一组基向量，首先，再将逐步地用基向量表示，最后合并整理得出结果.
【详解】
由，分别为，的中点，点在线段上，
且，
所以

，
则，
故答案为：.
12．
【解析】
先由空间向量线性运算的坐标运算计算的坐标，再由坐标计算模长即可求解.
【详解】
因为，，所以，
所以，
故答案为：.
13．     ；     .
【解析】
根据题意，设，，为中点，再根据空间向量的线性运算，计算即可得出结果.
【详解】
解：（1）在中，设，，为中点，
∴；
（2）.
故答案为：；.
14．(1)；
(2)是.
【解析】
（1）利用向量的线性运算得出和，进而由，得到向量与向量和的关系；
（2）由（1）结合共面向量基本定理，即可得出结论.
(1)
解：∵，
，
∴.
(2)
解：由（1）可知，，
∴向量与向量，共面.
15．（1）证明见解析；（2）；（3）存在点F，当有平面.
【解析】
（1）先由平面，，，算出,在△ACD中，利用勾股定理证明；
（2）以A为原点建立直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值；
（3）假设存在点F，利用向量法探究.
【详解】

（1）连结AC，∵平面，∴；
又，，∴.
在△ACD中，∵
∴
（2）过A作AG∥CD交BC于G,则,可以以A为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系,则

∴
设为平面的一个法向量，则
即不妨令y=1，解得：
设直线与平面所成角为，则
所以直线与平面所成角的正弦值为
（3）假设在棱上存在一点，使得平面.
设，则所以，
所以
因为平面，所以
解得:
即
【点睛】
向量法解决立体几何问题的关键：
(1)建立合适的坐标系；
(2)把要用到的向量正确表示；
(3)利用向量法证明或计算.
16．（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
(1)证明，根据得到，得到证明.
(2) 如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.
(3)设点到平面的距离为，运用等体积法，可求得点到平面的距离.
【详解】
(1) 平面，平面，故.
，，故，故.
，故平面.
(2)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，.
设平面的法向量，则，即，
取得到，，设直线与平面所成角为，
故.
所以直线与平面所成角的正弦值；
（3）设点到平面的距离为，则，而，
又，，，
所以，所以，
所以.
所以，解得，所以点到平面的距离为.
【点睛】
本题考查证明线面垂直，求线面角的正弦值，运用等体积法求点到面的距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)线段上不存在点使得，理由见解析
【解析】
（1）先证明线面平行，再利用线面平行的性质证明线线平行；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量来求解二面角；（3）先假设存在点，设出点的坐标，利用等量关系建立方程，看方程是否有根，判断是否有这样的点
(1)
∵∥，平面ABFE，
∴∥平面ABFE
∵平面与平面交于，平面CDE
∴
(2)
取AD中点O，连接OE，OB，BD
∵，
∴△ABD是等边三角形
由三线合一得：OB⊥AD
∵，
∴△ADE是等腰直角三角形
∴OE⊥AD
∵四边形和三角形所在平面互相垂直，交线为AD
∴OE⊥底面ABCD
∵平面ABCD
∴OE⊥OB
故OE，OB，OA三线两两垂直
以O为坐标原点，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
，，
∵且由第一问得知
所以四边形CDEF是平行四边形
∴可得：，
∴，
设平面BCF的法向量为
则即：
令，得：，
解得：
其中平面ABC的法向量为

设二面角大小为，由题意得为锐角
所以

(3)
不存在满足条件的点M，使得AM⊥EM，理由如下：若AM⊥EM，则，因为点M在线段BC上，所以设（），
则，解得：，，
所以 ，，
所以，整理得：
因为，此方程无解，所以线段上不存在点使得
18．(1)平行，理由见解析
(2)
(3)存在，靠近B的三等分点
【解析】
（1）证得，利用线面平行判定定理即可得出结论；
（2）建立空间坐标系，再分别计算平面CDF及平面EDF的法向量，利用空间向量数量积求夹角的余弦值，经判断所求二面角为锐角得结论；
（3）求点P的坐标，只需列两个独立条件，一个为在直线上，另一个为垂直：可设，再转化条件为，解得，即可确定P位置．
(1)
如图，在中，由E、F分别是AC、BC中点，得，
又平面DEF，平面DEF，∴平面．

(2)
由题知，，平面平面，且交线为，
∴平面，∴，又已知，
∴两两垂直，以点D为坐标原点，直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，
平面的法向量为，设平面的法向量为，
则，即，取，
，
由图可知二面角的平面角为锐角，
∴二面角的余弦值为．
(3)
设，则，∴，
又，
∵，∴，∴，
把代入上式得，∴，
∴在线段上存在点，即靠近B的三等分点，使．
设，则，∴，
又，
∵，∴，∴，
把代入上式得，∴，
∴在线段上存在点，即靠近B的三等分点，使．
19．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析
【解析】
（I）依题意易得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系．通过,证得平面.（II）通过计算平面和平面的法向量，由此计算出面面角的余弦值，进而求得二面角的大小.（III）设出的坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，求出关于点坐标的参数，由此判断出点的位置.
【详解】
（Ⅰ）因为 平面.
所以，，又.
如图，以为原点建立空间直角坐标系．

由题意得
所以,,.
所以,,
所以,,
所以平面.
（Ⅱ）设平面的法向量为，
因为.
所以，即，
令，则.
于是.
因为⊥平面，所以为平面的法向量，
又.
所以.
因为所求二面角为钝角，所以二面角大小为.
（Ⅲ）解：设，
，
，.
设平面的法向量，
则，即 ，
令，，. 于是，
如果直线平面，
那么，解得 .
所以，存在点为线段靠近点的三等分点，使得直线平面.
【点睛】
本小题主要考查利用空间向量法证明线面垂直，考查利用空间向量法求面面角的大小，考查利用空间向量法确定点的位置，属于中档题.
20．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据线面垂直的判定定理来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得平面与平面所成角的余弦值.
(1)
由于平面，所以，
由于,
所以平面.
(2)
建立如图所示空间直角坐标系，
平面的法向量为，
，
设平面的法向量为，
则，故可设.
设平面与平面所成角为，
则.

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