2023版大一轮数学人教A版-第7节-离散型随机变量及其分布列.docx

第7节　离散型随机变量及其分布列

知识梳理
1.随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.
2.离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.
3.离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，设离散型随机变量X可能取值为x1，x2，…，xi，…，xn，我们称X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列.
(2)可以用表格来表示X的分布列，如下表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(3)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
4.常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示
X
0
1
P
1－p
p
我们称X服从两点分布或0－1分布.
(2)超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

随机变量的线性关系
若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．
诊断自测

1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.(　　)
(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义．(　　)
(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，
X
2
5
P
0.3
0.7
则它服从两点分布．(　　)
(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(2)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每一个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X的取值不是0和1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回抽样，所以试验中取到黑球的次数X不服从超几何分布，(4)不正确．

2．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，则正面向上次数X的所有可能取值是______．
答案　0，1，2
3．已知离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
0.5
1－2q
q2
则常数q＝________．
答案　1－
解析　由分布列的性质得0.5＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1－或q＝1＋(舍去)．

4．(多选题)(2020·烟台期中)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格．则下列选项正确的是(　　)
A．答对0题和答对3题的概率相同，都为
B．答对1题的概率为
C．答对2题的概率为
D．合格的概率为
答案　CD
解析　设此人答对题目的个数为ξ，
则ξ＝0，1，2，3，P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
则答对0题和答对3题的概率相同，都为，故A错误；答对1题的概率为，故B错误；答对2题的概率为，故C正确；合格的概率p＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝，故D正确．故选CD.
5．(2021·西安月考)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________．
答案　
解析　由已知得X的所有可能取值为0，1，
且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，
得P(X＝0)＝.
6．(2021·郴州检测)设随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P

m

则P(|X－3|＝1)＝________．
答案　
解析　由＋m＋＋＝1，解得m＝，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.

考点一　离散型随机变量分布列的性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
ξ
－1
0
1
2
3
P

则下列各式正确的是(　　)
A．P(ξ<3)＝ B．P(ξ>1)＝
C．P(2<ξ<4)＝ D．P(ξ<0.5)＝0
答案　C
解析　P(ξ<3)＝＋＋＋＝，A错误；
P(ξ>1)＝＋＝，B错误；
P(2<ξ<4)＝P(ξ＝3)＝，C正确；
P(ξ<0.5)＝＋＝，D错误．故选C.
2．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，所以＋＋＋＝1，所以a＝，所以P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.
3．随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
答案　　
解析　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，所以b＝，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝.
又a＝－d，c＝＋d，
根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，
所以－≤d≤.
感悟升华　分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
考点二　离散型随机变量的分布列
【例1】(2021·惠州调研改编)某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2020年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2020年度的月均销售额(单位：万元)分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70.
(1)根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的65%，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励，试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；
(2)在该销售小组中，已知月均销售额最高的5名销售员中有1名的月均销售额造假，为找出月均销售额造假的组员，现决定请专业机构对这5名销售员的月均销售额逐一进行审核，直到能确定出造假组员为止，设审核次数为X，求X的分布列．
解　(1)该小组共有11名销售员2020年度月均销售额超过3.52万元，分别是：3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70.
∴月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例为＝55%.
∵55%<65%，故不需要对该销售小组发放奖励．
(2)由题意，随机变量X的可能取值为1，2，3，4.
则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
∴随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P

感悟升华　求随机变量分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．
【训练1】甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为，，.记甲同学三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列．
解　随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝.
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P

考点三　超几何分布
【例2】某市政府出台了“创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，评分在[60，80)内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．

(1)求被调查者满意或非常满意该项目的频率；
(2)若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；
(3)已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层随机抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众监督员，记ξ为群众监督员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列．
解　(1)根据题意知评分为60分及以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在[60，100]内的频率为(0.028＋0.03＋0.016＋0.004)×10＝0.78.
(2)根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是(0.016＋0.004)×10＝0.2＝，
所以用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人非常满意该项目的概率为.
现从中抽取3人，恰有2人非常满意该项目的概率为P＝C··＝.
(3)因为评分低于60分的被调查者中，老年人占，
又从被调查者中按年龄分层随机抽取9人，所以这9人中，老年人有3人，非老年人有6人．
所以随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，
P(ξ＝0)＝＝＝，
P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P

感悟升华　1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：
(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．
2．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
【训练2】为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列．
解　(1)由已知，有P(A)＝＝.
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X服从超几何分布，X的所有可能取值为1，2，3，4.
P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．
故P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P

A级　基础巩固
一、选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　)
A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
答案　C
解析　选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.
2．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是(　　)
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚1点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
答案　D
解析　第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5.故选D.
3．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　　)
A．ξ＝4 B．ξ＝5 C．ξ＝6 D．ξ≤5
答案　C
解析　“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.
4．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由分布列的性质，得＝1，解得a＝3，所以P(X＝2)＝＝.故选C.
5．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.故选C.
6．若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[1，2]
C．(1，2] D．(1，2)
答案　C
解析　由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2]．
二、填空题
7．某射击选手射击环数的分布列为
X
7
8
9
10
P
0.3
0.3
a
b
若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________．
答案　40%
解析　由分布列的性质得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%.
8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．
答案　
解析　设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
9．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．
答案　－1，0，1，2，3
解析　X＝－1，甲抢到一题但答错了．
X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．
X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对．
X＝2时，甲抢到2题均答对．
X＝3时，甲抢到3题均答对．
三、解答题
10．设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
(1)求2X＋1的分布列；
(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列．
解　(1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
列表为
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
从而2X＋1的分布列为
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)由(1)知m＝0.3，列表为
X
0
1
2
3
4
|X－1|
1
0
1
2
3
所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.
故η＝|X－1|的分布列为
η
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
11.(2021·甘肃、青海、宁夏联考)有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法．
(1)求n的值；
(2)求随机变量X的概率分布列．
解　(1)因为当X＝2时，有C种方法，
因为C＝6，即＝6，也即n2－n－12＝0，
解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，
由题意可知X的可能取值是0，2，3，4，
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝1－－－＝，
所以X的概率分布列为
X
0
2
3
4
P

B级　能力提升
12．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　)
A．10% B．20% C．30% D．40%
答案　B
解析　设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，所以x＝2或8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为＝20%.
13．如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝________．

答案　
解析　法一　由已知得ξ的取值为7，8，9，10，
∵P(ξ＝7)＝＝，P(ξ＝8)＝＝，
P(ξ＝9)＝＝，P(ξ＝10)＝＝，
∴ξ的概率分布列为
ξ
7
8
9
10
P

∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)
＝＋＋＝.
法二　P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－＝1－＝.
14．(2020·重庆四检改编)某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行数据统计，具体情况如下表：
组别
年龄　　
A组统计结果
B组统计结果
经常使用单车
偶尔使用单车
经常使用单车
偶尔使用单车
[15，25)
27人
13人
40人
20人
[25，35)
23人
17人
35人
25人
[35，45]
20人
20人
35人
25人
先用分层随机抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层随机抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去，
(1)求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；
(2)为听取对发展共享单车的建议，调查小组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会．会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份(其余人员仅赠送骑行优惠券)．已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列．
解　(1)从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的人数为100×＝20，再将这20人用分层随机抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为20×＝9.
(2)A组这4人中得到礼品的人数X的可能取值为0，1，2，3，相应概率为
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
故其分布列为
X
0
1
2
3
P