专题2-5-圆内接四边形【六大题型】(苏科版)(原卷版).docx

专题2.5 圆内接四边形【六大题型】
【苏科版】

【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】 1
【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】 2
【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】 3
【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】 4
【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】 5
【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】 7

【知识点1 圆内接四边形】

圆的内接四边形对角互补

四边形是的内接四边形

【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】
【例1】（2022•自贡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（　　）

A．90° B．100° C．110° D．120°
【变式1-1】（2022•云州区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．当四边形OBCD是菱形时，则∠OBA+∠ODA的度数是（　　）

A．65° B．60° C．55° D．50°
【变式1-2】（2022•蜀山区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，若连接OD，则∠DOE的度数是 　 　．

【变式1-3】（2022秋•包河区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝　 °．

【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】
【例2】（2022•碑林区校级四模）如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝22，则弦BD的长为（　　）

A．25 B．35 C．10 D．210
【变式2-1】（2022•延边州二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过B点作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（　　）

A．2 B．22 C．32 D．不能确定
【变式2-2】（2022•宁津县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（　　）

A．(3，1) B．(−3，1) C．(−1，3) D．(−2，23)
【变式2-3】（2022秋•汉川市期中）已知M是弧CAB的中点，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的长度为x，线段AP的长度是x+1，那么线段PB的长度是 　 ．（用含有x的代数式表示）

【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】
【例3】（2022•贺州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC：∠ADC＝2：1，AB＝2，点C为BD的中点，延长AB、DC交于点E，且∠E＝60°，则⊙O的面积是（　　）

A．π B．2π C．3π D．4π
【变式3-1】（2022秋•青山区期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（　　）

A．3 B．6 C．9 D．12
【变式3-2】（2022•鹿城区模拟）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为　 　．

【变式3-3】（2022•碑林区校级一模）如图，已知AC＝22，以AC为弦的⊙O上有B、D两点，且∠BAC＝∠DAC，则四边形ABCD的面积最大值为　 　．

【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】
【例4】（2022•银川模拟）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（　　）

A．∠1＝∠4 B．∠1+∠2+∠3+∠5＝180°
C．∠4＝∠7 D．∠ADC＝∠2+∠5
【变式4-1】（2022秋•西湖区校级期中）若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（　　）
A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4 B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：1：4
C．∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：4 D．∠A：∠B：∠C：∠D＝4：3：2：1
【变式4-2】（2022•南皮县模拟）如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（　　）

A．AB＝AE B．AB＝BE C．AE＝BE D．AB＝AC
【变式4-3】（2022•碑林区校级模拟）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，CP交AB于点E．（1）判断△ABC的形状，证明你的结论；（2）①若P是AB的中点，求证：PC＝PA+PB；②若点P在AB上移动，判断PC＝PA+PB是否成立，证明你的结论

【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】
【例5】（2022•思明区校级一模）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝90°，P为CD上一动点（不与点C，D重合）．
（1）若∠BPC＝30°，BC＝3，求⊙O的半径；
（2）若∠A＝90°，AD=AB，求证：PB﹣PD=2PC．

【变式5-1】（2022秋•陵城区期末）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．
求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．

【变式5-2】（2022•龙岩模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．

【变式5-3】（2022•天津）如图，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，过B作直线交⊙O于C，交⊙O′于D，G为圆外一点，GC交⊙O于E，GD交⊙O′于F．
求证：∠EAF+∠G＝180°．

【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】
【例6】（2022春•涟水县校级期末）如图1，已知△ABC，AB＝AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．
（1）求证：DE＝DC．
（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．

【变式6-1】（2022•赤峰）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝AC．
（1）若∠BAC＝40°，求∠ADC的度数；
（2）若BD⊥AC交AC于点E，请判断∠BAC 和∠DAC之间的数量关系，并证明．

【变式6-2】（2022秋•香洲区校级期中）画∠A，在∠A的两边分别取点B，点C，在∠A的内部取一点P，连接PB，PC．探索BPC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论．
【变式6-3】（2022•阜宁县二模）我们学过圆内接四边形，学会了它的性质；圆内接四边形对角互补．下面我们进一步研究．
（1）在图（1）中．∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角．请你探究∠DCE与∠A的关系．并说明理由．
（2）请你应用上述结论解答下题：如图（2）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD，AD 延长线上的点．如果DE平分∠FDC．求证：AB＝AC．