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交大附中高三月考数学试卷
2022.10
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 设虚数单位，若是纯虚数，则实数_________.
2. 满足条件的集合共有___________个．
3. 若，那么______.
4. 已知抛物线上一点，则点到抛物线焦点的距离等于______________．
5. 不等式解集为___________.
6. 在△中，，，，且△的面积为，则=_______
7. _________ .
8. 在展开式中常数项是_______．（用数值回答）
9. 若不等式对于任意实数恒成立，则满足条件实数的取值范围是_________.
10. 设是内的一点，且，，，则的最小值为_________.
11. 如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体外接球表面上的动点，且总满足，若，则该多面体的表面积为______；点N轨迹的长度为______．
12. 如果函数满足：对任意实数、均有成立，那么称是“次线性”函数，若“次线性”函数满足，且两正数、使得点在函数的图像上，则的最大值为_________.
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13. “”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
14. 函数的部分图象如图，则的值分别是（ ）
A. B.
C. D.
15. 碳70是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为（ ）．
A. 12 B. 25 C. 30 D. 36
16. 若对于函数定义域内的任意一个自变量 ，都存在唯一一个自变量，使得成立，则称这样的函数为“F函数”，则下列四个函数：①；②；③；④，.其中“F函数”的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
三、解答题（本大题共有6题，满分76分）
17. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：头），并计算得，，，，.
（1）估计该地区这种野生动物的数量；
（2）求样本的相关系数.（精确到0.01）
18. 已知数列前项和，数列满足，.
（1）求数列、的通项公式.
（2）若，求数列的前项和.
19. 某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到如下频率分布直方图：
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）技术分析人员认为，本次测量的该产品的质量指标值X服从正态分布，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算，并计算测量数据落在内的概率；
（3）设生产成本为y元，质量指标值为x，生产成本与质量指标值之间满足函数关系假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产疫苗的平均成本．
参考数据：，则，．
20. 三棱锥中，，且与底面成角.
（1）设点在底面的投影为，求的长；
（2）求证：是直角三角形；
（3）求该三棱锥体积的最大值.
21. 已知.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，研究函数在区间上的单调性；
（3）是否存在实数使得函数在区间和上各恰有一个零点？若存在，请求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
22. 已知双曲线：的右焦点为，渐近线方程为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点.
（1）求方程；
（2）若直线的斜率为1，求线段的中点坐标；
（3）点、在上，且，.过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①在上；②；③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
交大附中高三月考数学试卷
2022.10
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 设是虚数单位，若是纯虚数，则实数_________.
【答案】0
【分析】根据复数的乘法运算，结合纯虚数的概念，即可求得答案.
【详解】由题意得，因为是纯虚数，则 ，即，
故答案为：0
2. 满足条件的集合共有___________个．
【答案】
【详解】符合题意的集合M有4个
3. 若，那么______.
【答案】-1.
【分析】原式变形为关于的齐次分式，代入求值.
【详解】
.
故答案为：
【点睛】本题考查根据的值化简的齐次分式，并求值，意在考查变形化简计算的能力，属于基础运算题型.
4. 已知抛物线上一点，则点到抛物线焦点的距离等于______________．
【答案】4.
【详解】分析：把点代入抛物线方程，解得．利用抛物线的定义可得：点到抛物线焦点的距离．
详解：把点代入抛物线方程可得：，解得 ．
∴点到抛物线焦点的距离 ．
故答案为4．
点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5. 不等式的解集为___________.
【答案】##
【分析】根据题意，将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求解.
【详解】根据题意，由，得，即，解得，
因此不等式的解集为.
故答案为：.
6. 在△中，，，，且△的面积为，则=_______
【答案】
【详解】试题分析：，，∵，∴，∴．
考点：三角形的面积，向量的夹角．
7. _________ .
【答案】1
【分析】根据换底公式，以及对数运算法则，求解即可
【详解】根据换底公式：
故答案为：1
8. 在展开式中常数项是_______．（用数值回答）
【答案】
【分析】求得展开式通项为，并求得展开式通项，令，对、分类讨论即可得出答案.
【详解】展开式通项为，
展开式通项，
令，，时，可得；
，时，可得，，；
，时，可得，，；
，时，可得，，.
因此，展开式中常数项为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了三项展开式中常数项的计算，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
9. 若不等式对于任意实数恒成立，则满足条件的实数的取值范围是_________.
【答案】
【分析】首先若满足不等式恒成立，即，利用绝对值三角不等式求最小值，最后解不等式求的取值范围.
【详解】，
当时等号成立，即，
若满足不等式对于任意实数x恒成立，
即 ，即或 ，
解得：或.
故答案为：
10. 设是内的一点，且，，，则的最小值为_________.
【答案】24
【分析】通过建立平面直角坐标系，利用坐标法、点点到直线的距离公式进行求解.
【详解】
如图，以AB中点为原点建立平面直角坐标系，由题可知，，
所以，，，设，则
，，，
所以
，当时，取到等号.
故答案为：24.
11. 如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体外接球表面上的动点，且总满足，若，则该多面体的表面积为______；点N轨迹的长度为______．
【答案】 ①. ②.
【分析】分别算出每一部分的面积，即可求出该多面体的表面积；首先根据题干中找出点N的轨迹，然后代入公式即可求出长度.
【详解】根据题意该正四面体的棱长为，点A，B，M分别是正四面体的棱三等分点.
该正四面体的表面积为
该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，
每个角上小正四面体的侧面积为
每个角上小正四面体的底面积为
所以该多面体的表面积为；
如图，设点为该多面体的一个顶点，
则，.
在中，
则，所以，
，即，同理，
又，平面.
点N是该多面体外接球表面上的动点，由题可知，正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，且总满足，
点N的轨迹是的外接圆.
，，
在中，由余弦定理得，
，
设的外接圆的半径为，由正弦定理得
.
点N的轨迹长度为.
故答案为：；.
【点睛】本题的第一小空利用表面积公式即可求解，第二小空分析出正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，才可以找出点N的轨迹.
12. 如果函数满足：对任意实数、均有成立，那么称是“次线性”函数，若“次线性”函数满足，且两正数、使得点在函数的图像上，则的最大值为_________.
【答案】
【分析】根据定义，利用赋值法可求出，再利用导数求最值可得解.
【详解】令，则成立，
因为函数满足，所以，
令，则有，
从而有，
因为，
所以的最大值，即的最小值，
又因为正数使得点在函数的图像上，
所以有，
所以，
令，则，
令，则，
当，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以
所以.
所以的最大值为.
故答案为：
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13. “”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
【答案】A
【分析】由，可得，分析即得解
【详解】由题意，若，则，即，故充分性成立；
反之，若，则，即，故必要性不成立；
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
14. 函数的部分图象如图，则的值分别是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【分析】由函数的部分图像求出函数的周期和向左平移量，进而求得的值.
【详解】解：由得：函数的周期，
又，
，
又由第一点坐标为，
故第一点向左平移量，
故，
故选：D.
【点睛】本题考查由的部分图像确定其解析式，求是难点，属于中档题.
15. 碳70是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为（ ）．
A. 12 B. 25 C. 30 D. 36
【答案】B
【分析】根据题意可知顶点数为70，可求得棱长数为105，结合欧拉公式得到面数为37，列出方程组即可求解.
【详解】根据题意，顶点数就是碳原子数即为70，每个碳原子被3条棱长共用，
故棱长数，
由欧拉公式可得面数=2+棱长数-顶点数，
设正五边形x个，正六边形y个，
则，，解得，，
故正六边形个数为25个，即六元环的个数为25个，
故选：B.
16. 若对于函数定义域内的任意一个自变量 ，都存在唯一一个自变量，使得成立，则称这样的函数为“F函数”，则下列四个函数：①；②；③；④，.其中“F函数”的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【分析】根据“F函数”的定义一一验证每个选项中的函数，符合该定义的即为“F函数”，由此可得答案.
【详解】对于①，当时，，此时不存在，使得，故①不是“F函数”；
对于②，对于定义域内的任意一个自变量，都存在唯一一个自变量，使得，
故②是“F函数”；
对于③，对于定义域内的任意一个自变量x，都有，
取 ，则，定义域内不存在 ，使得，即不能使得，
故③不是“F函数”；
对于④，定义域内的任意一个自变量,都存在唯一一个自变量,
使得，从而使得，
故④为“F函数”；
故选：C
三、解答题（本大题共有6题，满分76分）
17. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：头），并计算得，，，，.
（1）估计该地区这种野生动物的数量；
（2）求样本的相关系数.（精确到0.01）
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）计算出样区野生动物的数量的平均值，乘以地块数，即得答案；
（2）根据相关系数公式进行计算，可得答案.
【小问1详解】
由已知得样本平均数 ，
从而该地区这种野生动物数量的估计值为.
【小问2详解】
由，，，
可得样本 的相关系数为
.
18. 已知数列的前项和，数列满足，.
（1）求数列、的通项公式.
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
【分析】（1）先利用求出，再利用累加法求出；
（2）先利用（1）结果求出，再利用等差数列求和公式进行求和即可．
小问1详解】
∵，∴，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，…，，
以上各式相加得：
，
，
又符合上式，∴；
【小问2详解】
由题意得，
时，,
当时，，
∴.
19. 某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到如下频率分布直方图：
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）技术分析人员认为，本次测量的该产品的质量指标值X服从正态分布，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算，并计算测量数据落在内的概率；
（3）设生产成本为y元，质量指标值为x，生产成本与质量指标值之间满足函数关系假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产疫苗的平均成本．
参考数据：，则，．
【答案】（1）；（2）；；（3）元．
【分析】（1）由频率之和等于1求出a值；
（2）先由频率分布直方图求平均数的方法得出，再由参考数据得出数据落在内的概率；
（3）先由频率分布直方图得出每组的质量指标值，再根据生产成本与质量指标值之间的函数关系得出生产疫苗的平均成本．
【详解】解：（1）由
解得．
（2）依题意，
故
所以
故测量数据落在内的概率约为
（3）根据题意得
故生产该疫苗的平均成本为．
【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于由频率分布直方图计算平均数的方法得出，进而由正态分布的性质得出概率.
20. 三棱锥中，，且与底面成角.
（1）设点在底面的投影为，求的长；
（2）求证：是直角三角形；
（3）求该三棱锥体积的最大值.
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）.
【分析】（1）根据题意找到为与底面所成角，即可求得答案；
（2）确定点H为的外心，且落在的中点处，即可证明结论;
（3）求出底面三角形面积的最大值，根据三棱锥体积公式即可求得答案.
【小问1详解】
如图，点在底面的投影为，则底面,
则为与底面所成角.，即，
故；
【小问2详解】
因为，则,即H为的外心，
设的中点为D，连接，则，
所以，而 ,
即,故重合，则 ，
则,则,故是直角三角形；
【小问3详解】
设，则 ，
故，当且仅当时取等号，
故，
故三棱锥体积的最大值为 .
21. 已知.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，研究函数在区间上的单调性；
（3）是否存在实数使得函数在区间和上各恰有一个零点？若存在，请求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）的单调递增区间是，单调递减区间是；
（3）不存在，理由见解析；
【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线的斜率，利用点斜式求切线方程；
（2）求的导数，讨论导数的正负，从而得到的单调区间；
（3）分，和进行讨论，通过导数求其单调性即可
【小问1详解】
若，则，
，
则函数在处的切线的斜率，又，
所以曲线在点处的切线方程是；
【小问2详解】
由可得，
当时，令，解得
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是；
【小问3详解】
当时，，所以在单调递增，故不可能有两个零点，故舍去；
当时，令，解得
当时，，单调递增；
因为，且，
故当，，故此时在区间无零点；
当时，令，解得，
当时，，单调递减；
因为，且，
故当，，故此时在区间无零点；
综上所述，并不存在实数使得函数在区间和上各恰有一个零点
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
22. 已知双曲线：的右焦点为，渐近线方程为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点.
（1）求的方程；
（2）若直线的斜率为1，求线段的中点坐标；
（3）点、在上，且，.过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①在上；②；③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析.
【分析】（1）根据双曲线渐近线方程和右焦点列出方程，即可求出答案；
（2）首先求出点M的轨迹方程即为 其中k为直线 的斜率；
若选择①②∶设直线 的方程为 ，求出点M的坐标，可得M为的中点，即可推出；
若选择①③︰当直线的斜率存在时，设直线的方程为，求出点M的坐标，即可；
若选择②③∶设直线的方程为，设的中点C，求出点C的坐标，可得点M恰为中点，故点M在直线上．
【小问1详解】
由题意可得，即 ，
解得 ，
因此C的方程为 ；
【小问2详解】
由直线的斜率为1，得直线的方程为，
联立 ，得： ，不妨设,
联立 ，得： ，不妨设,
故线段的中点的横坐标为，纵坐标为，
故线段的中点的坐标为；
【小问3详解】
由题意设直线 的方程为 ，将直线的方程代入得 ,
,因为，，
，，
设点M的坐标为,则，
整理得，
，，
解得，
又因为，
，
，；
若选择①②作条件：
设直线的方程为，并设A的坐标为 ，B的坐标为，
则，解得
同理求得，
，
此时点M的坐标满足，
解得，
故M为 的中点，即，即③成立 ；
若选择①③作条件：
当直线 斜率不存在时，点M即为点 ，此时不在直线 ，矛盾，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，并设A的坐标为 ，B的坐标为，
则，解得，
同理解得，
此时，，
由于点M同时在直线 上，故 解得 ，
因此 ，即②成立．
若选择②③作条件：
设直线的方程为 ，并设A的坐标为 ，B的坐标为，
则，解得，
同理可得，
设的中点为,则，
由于，故M在的垂直平分线上，即点M在直线上，
将该直线与联立，解得，
即点M恰为中点，即点M在直线上, ①成立；
【点睛】本题考查了双曲线方程的求法以及双曲线几何性质的应用，以及直线和双曲线的位置关系，综合性强，计算量大，解答时要明确解题思路，关键是联立方程进行计算十分繁杂，要特别注意准确性.
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