专题09-函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性综合练习(文)(解析版).doc

专题09 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性综合练习
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．若函数 (为常数)在区间上是增函数，则实数的范围是(　)。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】设，则，，单调递增，
在内单调递增，，故选B。
2．函数满足：对任意实数，，则的取值范围是(　)。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】，，，故选C。
3．已知函数是定义在上的单调递增函数，则( )。
A、且 B、且 C、且 D、且
【答案】A
【解析】，则恒成立，则，无要求，故选A。
4．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则( )。
A、 B、
C、 D、
【答案】C
【解析】∵定义在上的偶函数，∴，，
又，，
∴，∴，故选C。
5．定义在上的函数满足：，且，，若，则( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】由得函数的周期为，
∴，
∴，故选A。
6．定义在上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是( )。
A、 B、
C、 D、
【答案】D
【解析】由题意可知为奇函数且在单调递减，要使成立，
∴满足，解得，∴的取值范围为，选D。
7．函数在单调递增，且对任意实数恒有，若，则的取值范围是( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】∵对任意实数恒有，故函数的图像关于直线对称，
∵函数在单调递增，∴在上单调递减，
故由，可得，
即，即，求得，故选A。
8．若为定义在上的奇函数，且，当时，，则
( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】∵，且为奇函数，∴，∴周期，
∴、、、、、
、、
，
∴，
∴
，故选D。
9．已知函数与函数()的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】由题意得，在上有解，
即在上有解，
即函数与函数的图像在上有交点，
函数的图像是由函数的图像左右平移得到的，
且当的图像经过点时，函数与函数的图像有界交点，
此时代入点，有，得，∴，故选B。
10．已知函数满足：，，则函数的最大值与最小值的和为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】∵，则关于点中心对称，设，
∵为奇函数，则关于点中心对称，关于点中心对称，
则也关于点中心对称，最大值与最小值的和为，故选B。
11．设函数()，则下列命题是错误的是( )。
A、若，则为奇函数
B、若，则函数在上是增函数
C、函数的图像关于点成中心对称图形
D、关于的方程最多有两个实根
【答案】D
【解析】若，则，，即为奇函数，故A正确，
若，则函数，在上为增函数，故B正确，
由A可得，为奇函数，则它的图像关于原点对称，
则函数的图像关于点成中心对称图形，故C正确，
根据C结论和二次函数的图像和性质，
可得关于的方程最多有三个实根，故D错误，
故选D。
12．已知函数，则下列关于函数的说法正确的是( )。
A、函数为奇函数
B、函数的图象关于点对称
C、对任意的、，
D、存在、，使得成立
【答案】C
【解析】对于A，，A错，
对于B，的图象关于点对称，
则关于点对称，
则应为奇函数，，B错；
对于C，令，则化为，，则，，
故的值域为，
对于任意的、，，C对；
对于D，由C知D错，故选C。
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上）
13．若函数的单调递增区间是，则 。
【答案】
【解析】当时，为减函数，
当时，为增函数，结合已知有，。
14．若函数为奇函数，则 。
【答案】
【解析】奇函数，即，即，
∴，，当时，，故舍去，∴。
15．已知函数满足：，且，则
。
【答案】
【解析】，∴，
。
16．已知函数定义域为，对于任意的有，当时，，则 ；若当时，恒成立，则的取值范围是 。(本题第一空2分，第二空3分)
【答案】
【解析】∵对任意的有，且当时，，
∴；
设，则，
∴，
则，
∵时恒成立，∴，
又时，，而时在时取得最小值，∴，
解得。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）讨论(且)在上的单调性。
【解析】任取、，且，则：

， 3分
∵，∴，∴， 4分
(1)当时，，，，，
∴，， 6分
(2)当时，，，，，
∴，， 8分
综上，对于任意且，均有，∴在上是增函数。 10分
18．（12分）定义在上的函数，，当时，，且对任意的、，有。
(1)证明：；
(2)证明：对任意的，恒有；
(3)证明：是上的增函数；
(4)若，求的取值范围。
【解析】(1)证明：令，则，又，∴； 2分
(2)证明：当时，，∴，，
∴，又，∴对任意的，恒有； 5分
(3)证明：设，则，∴，
∵，∴，，
∴是上的增函数； 8分
(4)解：，在上为增函数，
∴，∴。 12分
19．（12分）已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有。
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)若，对所有，恒成立，求的取值范围。
【解析】(1)∵，令，得，∴， 1分
令可得：，∴，∴为奇函数； 3分
(2)∵是定义在上的奇函数，由题意设，
则， 5分
由题意时，有，∴，
∴是在上为单调递增函数； 6分
(3)∵在上为单调递增函数，∴在上的最大值为， 7分
∴要使，对所有，恒成立， 8分
只要，即恒成立； 9分
令，得，
∴或。 12分
20．（12分）已知定义域为的函数是奇函数。
(1)求、的值；
(2)判断的单调性，并用单调性定义证明；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。
【解析】(1)∵是定义域为上的奇函数，∴，即，
∴， 1分
又由， 2分
∴，，经检验可取，∴； 4分
(2)任取，且，
则
， 6分
∵，∴，，
∴，∴为上的减函数； 8分
(3)∵是奇函数，∴等价于， 9分
∵为减函数，由上式可得：， 10分
即对一切有：对恒成立，。 12分
21．（12分）已知函数(，，)是奇函数，当时，有最小值，其中且。
(1)试求函数的解析式；
(2)问函数图像上是否存在关于点对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。
【解析】(1)∵是奇函数，∴，即， 2分
∴，∵，，，∴，
当且仅当时等号成立，于是，∴， 4分
由得即，∴，解得，
又，∴，∴，∴； 6分
(2)设存在一点在的图像上，
并且关于的对称点也在图像上的点， 7分
则，消去得，， 9分
∴图像上存在两点、关于对称。 12分
22．（12分）已知函数。
(1)求的单调区间；
(2)当时，恒成立，求的取值范围。
【解析】(1)的定义域为，， 1分
令，解得， 2分
当，，则函数在上单调递减， 3分
当，，则函数在上单调递增； 4分
(2)令，
则当时，恒成立，
， 5分
①当，时，恒成立，
∴在上是增函数，且，∴不符合题意， 7分
②当，时，恒成立，
∴在上是增函数，且，∴不符合题意， 9分
③当，时，恒有，故在上是减函数，
于是“对任意都成立”的充要条件是，
即，解得，故， 11分
综上，的取值范围是。 12分