专题03-导数、函数的综合应用(原卷版).docx

专题03 导数、函数的综合运用
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1、（2019江苏卷）.在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
2、（2019江苏卷）.设函数，为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；
（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．
3、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f ′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
4、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数．证明：
（1）存在唯一的极值点；
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
5、【2019年高考天津文数】设函数，其中.
（Ⅰ）若a≤0，讨论的单调性；
（Ⅱ）若，
（i）证明恰有两个零点；
（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.
6、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当0<a<3时，记在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求的取值范围．
7、【2019年高考北京文数】已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．
8、【2019年高考浙江】已知实数，设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）对任意均有 求的取值范围．
注：e=2.71828…为自然对数的底数．

一、函数零点的问题
1、利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
2、对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.
二、函数单调性的讨论
对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；,解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.
三、新型定义问题的处理
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。

题型一 利用导数研究含参不等式恒成立问题
含参函数的不等式恒成立问题一般处理策略：方法一：分离参数：将参数分离处理，此法是首选．但是在分离的过程中，若涉及到除以某一因式，要进行讨论。
方法二：运用函数的思想，构造一个函数研究这个函数的最大值或者最小值，在某些情况下有可能涉及二次求导。
例1、(2019南京三模）已知函数f(x)＝x2－alnx＋x－，对任意x∈[1，＋∞)，当f(x)≥mx恒成立时实数m的最大值为1，则实数a的取值范围是 ．
题型二 利用导数研究不等式问题
利用导数证明不等式的常规解题策略：(1) 构造差函数h(x)＝f(x)－g(x)，根据差函数的导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；(2) 根据条件，寻找目标函数．一般思路为充分利用条件将求和问题转化为对应项之间的大小关系，或利用放缩、等量代换等手段将多元函数转化为一元函数．
例2、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝＋lnx(a∈R)．
(1) 讨论f(x)的单调性；
(2) 设f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)有两个不相同的零点x1，x2.
①求实数a的取值范围；
②证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2.

题型三、利用导数研究含义绝对值的问题
解答题中绝对值处理策略简述：方法一：取绝对值，这是首选的；方法二：研究绝对值里面函数的相关问题，然后加上绝对值，分析其变化，最后解决题目的要求
例3、(2019苏锡常镇调研）已知函数f(x)＝(x＋1)lnx＋ax(a∈R)．
(1) 若y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y＋b＝0，求实数a，b的值；
(2) 设函数g(x)＝，x∈(其中e为自然对数的底数)．
①当a＝－1时，求g(x)的最大值；
②若h(x)＝是单调递减函数，求实数a的取值范围．
题型四 利用导数研究定义型函数问题
本题属于新定义型函数，读懂题意，建立方程组是解题的关键，
例4、(2019苏州期初调查）若对任意的实数k，b，函数y＝f(x)＋kx＋b与直线y＝kx＋b总相切，则称函数f(x)为“恒切函数”．
(1) 判断函数f(x)＝x2是否为“恒切函数”；
(2) 若函数f(x)＝mlnx＋nx(m≠0)是“恒切函数”，求实数m，n满足的关系式；
(3) 若函数f(x)＝(ex－x－1)ex＋m是“恒切函数”，求证：－<m≤0.

一、填空题
1、(2018苏北四市期末） 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：xy＝上任意一点P到直线l：x＋y＝0的距离的最小值为________．
2、（2018年徐州期末） 若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围 ．
3、已知函数，若存在唯一的零点，且，则a的取值范围是 ．
4、(2017苏北四市期末） 已知函数f(x)＝若关于x的不等式f(x)<π的解集为(－∞， )，则实数a的取值范围是________．
5、(2018苏州期末） 已知直线y＝a分别与直线y＝2x－2和曲线y＝2ex＋x相交于点A，B，则线段AB长度的最小值为________．
6、（2018宿迁期末）已知函数有且仅有3个极值点，则a的取值范围是 ．
7、(2017南京、盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y＝2lnx的图像与圆M：(x－3)2＋y2＝r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y＝f(x)的图像经过点O，P，M，则y＝f(x)的最大值为________．
8、(2019苏锡常镇调研）已知e为自然对数的底数，函数的图像恒在直线上方，则实数a的取值范围为 ．
9、(2019南京、盐城二模） 已知函数f(x)＝设g(x)＝kx＋1，且函数y＝f(x)－g(x)的图像经过四个象限，则实数k的取值范围为________．
10、(2019苏锡常镇调研）已知函数f(x)＝x2＋|x－a|，g(x)＝(2a－1)x＋alnx，若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围为________．

11、(2017南京、盐城二模）已知函数f(x)＝lnx＋(e－a)x－b，其中e为自然对数的底数．若不等式f(x)≤0恒成立，则的最小值为________．
12、(2018无锡期末）若函数f(x)＝(x＋1)2|x－a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是________．
二、解答题
13、(2019镇江期末）己知函数f(x)＝alnx－bx(a，b∈R)．
(1) 若a＝1，b＝1，求函数f(x)的图像在x＝1处的切线方程；
(2) 若a＝1，求函数y＝f(x)的单调区间；
(3) 若b＝1，已知函数y＝f(x)在其定义域内有两个不同的零点x1，x2，且x1<x2，不等式a<(1－m)x1＋mx2(m>0)恒成立，求实数m的取值范围．

14、(2019泰州期末）设A，B为函数y＝f(x)图像上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数．在点A，B处分别作函数y＝f(x)的切线，若这两条不重合的切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．
(1) 若函数f(x)＝不存在“优点”，求实数a的值；
(2) 求函数f(x)＝x2的“优点”的横坐标的取值范围；
(3) 求证：函数f(x)＝lnx的“优点”一定落在第一象限．

15、(2018扬州期末）已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ax＋b，a，b∈R.
(1) 若g(－1)＝0，且函数g(x)的图像是函数f(x)图像的一条切线，求实数a的值；
(2) 若不等式f(x)>x2＋m对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围；
(3) 若对任意实数a，函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点，求实数b的取值范围．

16、(2017南京学情调研）已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x－b，b∈R.
(1) 若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像相切，求b的值；
(2) 设函数T(x)＝f(x)＋ag(x)，a∈R，求T(x)的单调递增区间；
(3) 设函数h(x)＝|g(x)|·f(x)，b＜1.若存在x1，x2∈[0,1]，使|h(x1)－h(x2)|＞1成立，求b的取值范围．