2021北京重点校高一(上)期中数学汇编：对数与对数函数.docx

2021北京重点校高一（上）期中数学汇编
对数与对数函数
一、单选题
1．（2021·北京八中高一期中）的值为（    ）
A．2 B． C． D．
2．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）已知，则的值为（    ）
A． B． C． D．
3．（2020·北京五十五中高一期中）若，，，则a、b、c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
4．（2019·北京·北师大实验中学高一期中）已知，，那么用含a、b的代数式表示为（    ）
A． B． C． D．
5．（2019·北京五十五中高一期中）在同一个坐标系下，函数与函数的图象都正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2019·北京·汇文中学高一期中）下列函数中，在区间上为增函数的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2019·北京·汇文中学高一期中）设，，，则（    ）
A． B． C． D．
8．（2019·北京·牛栏山一中实验学校高一期中）设，，，则，，的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
9．（2019·北京五十五中高一期中）
A． B．5 C． D．13
10．（2019·北京·牛栏山一中实验学校高一期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（      ）
A．向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度
B．向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度
C．向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度
D．向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
11．（2019·北京市陈经纶中学高一期中）下列函数中，在上单调递增的是（    ）
A． B． C． D．
12．（2019·北京市陈经纶中学高一期中）函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．
13．（2019·北京·北师大实验中学高一期中）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
14．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）计算：___________.
15．（2019·北京市陈经纶中学高一期中）计算__________.
16．（2019·北京五十五中高一期中）函数的定义域是____________．
三、解答题
17．（2021·北京八中高一期中）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并予以证明；
(3)求使成立的x的取值范围.
18．（2020·北京五十五中高一期中）计算：（1）；       
（2）；
（3）；                 
（4）．
19．（2020·北京五十五中高一期中）已知函数，且.
（1）求的定义域；
（2）判断并证明的奇偶性；
（3）求满足的实数x的取值范围.
20．（2019·北京·牛栏山一中实验学校高一期中）求下列式子的值（要求有解答过程）．
21．（2019·北京市陈经纶中学高一期中）已知集合为函数的定义域，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的值；
（3）设集合（为自然数集），若中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合.

参考答案
1．A
【分析】根据对数运算性质运算求解即可得答案.
【详解】解：根据对数的运算得
故选：A
2．D
【分析】根据对数恒等式及幂的运算性质计算可得；
【详解】解：因为，所以

故选：D
3．D
【分析】形式不同，故采取中间量法比较大小，分别和0，1进行比较即可得解.
【详解】，，
∵，
∴，
∴
故选：D.
【点睛】本题考查了指、对数的大小的比较，考查了中间量法比较大小，是指、对数的简单的计算，属于基础题.
4．B
【分析】根据换底公式解求得答案.
【详解】由换底公式，.
故选：B.
5．A
【分析】根据函数的单调性判断函数图象．
【详解】解：指数函数是增函数，
对数函数是减函数，
故选：A.
6．D
【分析】根据基本初等函数的性质依次判断选项即可.
【详解】解：A，是过第一、三象限的反比例函数，在上为减函数，即A不符合题意；
B，是开口向上的二次函数，对称轴为，
在上为减函数，在上为增函数，即B不符合题意；
C，在上单调递减，即C不符合题意；
D，在上单调递增，而，即D正确.
故选：D.
7．C
【解析】利用对数函数、指数函数的单调性与“0，1”比较即可.
【详解】因为，，，
．
故选：C.
【点睛】方法点睛：比较大小的常用方法为：（1）化为同底数、同指数或同真数的对数式和指数式，利用其单调性进行比较，（2）借助于中间值0和1进行比较.
8．A
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【详解】解：∵，∴，即，
∵，∴，即，
∵在上为增函数，且，
∴，即
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查对数式、指数式比较大小，属于基础题
9．B
【分析】运用对数指数运算法则.
【详解】
故选:B
【点睛】本题考查对数指数运算，是简单题.
10．D
【解析】将所得函数解析式变形为，然后利用函数图象的平移法则可得出结论.
【详解】，为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度.
故选：D.
【点睛】本题考查函数图象的平移变换，要熟悉“左加右减，上加下减”基本原则的应用，考查推理能力，属于基础题.
11．D
【分析】求出各选项中函数的定义域，并判断各选项中函数在上的单调性，可得出正确选项.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，不合乎题意；
对于B选项，函数的定义域为，不合乎题意；
对于C选项，函数在上为减函数；
对于D选项，函数在上为增函数.
故选：D.
【点睛】本题考查函数单调性的判断，在判断时，还应求出函数的定义域，考查推理能力，属于基础题.
12．B
【分析】根据偶次根式被开方数非负，对数的真数大于零，列出关于实数的不等式组，解出即可得出函数的定义域.
【详解】由题意可得，解得，因此，函数的定义域为.
故选：B.
【点睛】本题考查函数定义域的求解，熟悉一些常见函数定义域的求解原则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
13．B
【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．
【详解】，
∴，，
∴，，∴，
∵，，，
∴，
∴的值所在的区间为，故选B．
【点睛】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于基础题.
14．2
【分析】直接利用对数的运算性质求解即可
【详解】，
故答案为：2
15．
【分析】利用指数的运算法则和对数的换底公式可计算出所求代数式的值.
【详解】原式.
故答案为：.
【点睛】本题考查指数幂和对数的计算，涉及指数幂的运算律和对数换底公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
16．．
【详解】要使函数有意义需满足，解得，故函数的定义域是，故答案为.
点睛：本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数，需满足等等，当同时出现时，取其交集.
17．(1)
(2)奇函数，证明见解析；
(3)
【分析】（1）根据对数函数的真数大于0建立关系式可求出函数的定义域；
（2）结合函数的奇偶性的定义，即可求解；
（3）由，得到，进而根据对数函数单调性解不等式即可得答案.
(1)解：由题意，函数，
使函数有意义，必须有，解得，
所以函数的定义域是，
(2)解：函数的定义域是，所以定义域关于原点对称，
所以
所以函数是奇函数.
(3)解：使,即，
所以，
所以 ， 解得x的取值范围是；
所以不等式成立的x的取值范围是
18．（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】利用指数与对数的运算性质以及换底公式即可求解.
【详解】（1）.
（2）.
（3）
.
（4）
【点睛】本题考查了指数、对数的运算性质、换底公式，掌握运算性质是解题的关键，属于基础题.
19．（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）当时，；当时，
【解析】（1）使函数解析式有意义，解不等式组即可求解.
（2）利用函数的奇偶性定义判断即可.
（3）讨论的取值范围，利用函数的单调性即可求解.
【详解】（1），
要使函数有意义可得，解得，
所以函数的定义域为，
（2）由（1）可知，函数的定义域关于原点对称，
，
所以函数为奇函数，
（3）由，则
当时，可得，解得，
此时实数x的取值范围为，
当时，可得，解得，
此时实数x的取值范围为.
【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查了基本知识掌握的情况，属于基础题.
20．.
【分析】利用分数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题考查根式、对数、指数式运算，考查计算能力，属于基础题
21．（1）；（2）；（3）、.
【分析】（1）利用对数的真数大于零可解出集合，将代入集合，并求出集合，然后利用补集的定义求出集合；
（2）由，得出，然后分、和三种情况讨论，结合得出关于实数的不等式组，解出即可；
（3）根据题意可写出符合条件的集合.
【详解】（1）解不等式，即，解得，则.
当时，，因此，；
（2），.
当时，，合乎题意；
当时，则，集合中的数都是负数，则；
当时，则，
由，得，此时.
综上所述，；
（3）由题意可知，符合条件的集合有：、.
【点睛】本题考查补集的运算，利用集合的包含关系求参数，涉及对数函数定义域的求解，在求参数时，要注意对参数的取值进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
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