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微专题20　圆锥曲线的离心率问题

　　　离心率问题是考查重点．每年高考中几乎是必考内容．不仅填空题经常考查，也经常在大题中出现，本专题着重研究圆锥曲线的离心率问题.

例题1设F为双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点．过点F的直线L与双曲线右支交点P，与圆O：x2＋y2＝a2恰好切于线段PF的中点M，则双曲线E的离心率为________________．

例题2设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则此双曲线离心率的取值范围为________________．

变式1如图，已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为________________．

变式2如图，椭圆C：＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.若PF1＝PQ，求椭圆C的离心率e.

串讲1设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在右准线上存在点P，使线段PF1的中线过点F2，则椭圆E的离心率e的取值范围是________________．

串讲2如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________________．

　(2018·全国Ⅲ卷)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为________________．

　已知椭圆＋＝1(a>b>0)左焦点F1和右焦点F2，上顶点A，线段AF2的中垂线交椭圆于点B，若左焦点F1在线段AB上，求椭圆的离心率．
答案：.
解法1由题意可知AB＝BF2，1分
设BF1＝x，则BF1＋BF2＝x＋x＋a＝2a，得x＝，3分
故＝2易得B(－c，－)，6分
代入椭圆方程可得e＝.8分
解法2(关键步提示)直线AF1：＋＝1与AF2中垂线y－＝(x－)2分
的交点B(，b(1＋))代入椭圆方程，5分
消去b2，得e＝.8分