2022北京四十三中学高二(下)期中数学(教师版).docx

2022北京四十三中学高二（下）期中
数 学
（时间：120分钟)

考生须知
1. 本试卷共3页，三道大题，21道小题。满分150分。考试时间120分钟。
2. 在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和教育ID号。
3. 试题答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束时，将答题卡按考场座位顺序上交。

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 已知数列 an 满足 a1=2，an+1-an+1=0n∈N+，则此数列的前 4 项的和为   
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 数列 1，3，6，10，⋯ 的一个通项公式是   
A. an=n2-n+1 B. an=nn-12 C. an=nn+12 D. an=n2+1
3. 某物体在运动过程中，其位移 ht（单位：m）与时间 t（单位：s）的函数关系为 ht=t2+1．当 Δt>0 时，该物体在时间段 1,1+Δt 内的平均速度为   
A. 2 m/s B. Δt m/s
C. Δt2+1m/s D. 2+Δtm/s
4. 在等差数列 an 中，若 a2+a4+a6+a8+a10=80，则 a7-12a8=   
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
5. 曲线 y=lnx 在点 1,0 处的切线方程为   
A. y=x-1 B. y=-x+1 C. y=3x-3 D. y=-3x+3
6. 端午节放假，甲回老家过节的概率为 13，乙、丙回老家过节的概率分别为 14，15．假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少 1 人回老家过节的概率为   
A. 5960 B. 35 C. 12 D. 160
7. 设随机变量 X∼B6,12，则 PX=3 等于   
A. 516 B. 316 C. 58 D. 716
8. 等差数列{an}的首项a1=1，公差d≠0，如果a1、a2、a5成等比数列，那么d等于(　　)
A. 3 B. -2 C. 2 D. ±2
9. 某电子管正品率为 34，次品率为 14，现对该批电子管进行测试，设第 ξ 次首次测到正品，则 Pξ=3=   
A. C32142×34 B. C32342×14 C. 142×34 D. 342×14
10. 已知 Sn 是等差数列 ann∈N* 的前 n 项和，且 S5>S6>S4．以下有四个命题：
①数列 Sn 中的最大项为 S10；
②数列 an 的公差 d<0；
③ S10>0；
④ S11<0．
其中正确的序号是   
A. ②③ B. ②③④ C. ②④ D. ①③④
二、填空题（共5 小题，每小题5 分，共25 分）
11. 已知函数 fx=cosx，则 fʹπ6=  ．
12. 离散型随机变量 X 的分布列如表所示．
X
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.25
0.1
0.15
0.2

则 x=  ，PX≤3=  ．
13. Sn 是正项等比数列 an 的前 n 和，a3=18，S3=26，则 a1=  ．公比 q=  ．
14. 甲、乙两地降雨的概率分别为 60% 和 80%，两地同时降雨的概率为 30%，则在甲地降雨的条件下，乙地也降雨的概率为  ．
15. 定义“等和数列”：某一项与其后一项和为常数的数列，规定该常数为公和．问：对于等和数列 an，a1=2，公和为 5，则 a18=  ，前 n 项和 Sn=   .
三、解答题（共6 小题，共85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16. （本小题13分）
已知 an 是等比数列，a1=1，a4=8．
（1）求 an 的通项公式；
（2）若等差数列 bn 满足 b2=a3，b4=a5，求 bn 的前 n 项和 Sn．

17. （本小题13分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 12 与 p，且乙投球 2 次均未命中的概率为 116．
（1）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率；
（2）若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 3 次的概率．

18. （本小题14分）
等差数列 an 中，a2=4，a4+a7=15．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）设 bn=2an-2+n，求 b1+b2+b3+⋯+b10 的值．

19. （本小题15分）
已知函数 fx=x3+x-16．
（1）求曲线 y=fx 在点 2,-6 处的切线方程；
（2）直线 l 为曲线 y=fx 的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标；
（3）如果曲线 y=fx 的某一切线与直线 y=-14x+3 垂直，求切点坐标与切线方程．

20. （本小题15分）
某超市销售 5 种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：
牙膏品牌
A
B
C
D
E
销售价格
15
25
5
20
35
市场份额
15%
10%
25%
20%
30%

（1）从这 5 种不同品牌的牙膏中随机抽取 1 管，估计其销售价格低于 25 元的概率；
（2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取 20 管牙膏进行质检，其中 A 和 B 共抽取了 n 管．
①求 n 的值；
②从这 n 管牙膏中随机抽取 3 管进行氟含量检测．记 X 为抽到品牌 B 的牙膏数量，求 X 的分布列和数学期望．
（3）品牌 F 的牙膏下月进入该超市销售，定价 25 元/管，并占有一定市场份额．原有 5 个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管 μ1 元，下月牙膏的平均销售价为每管 μ2 元，比较 μ1，μ2 的大小．（只需写出结论）

21. （本小题15分）
已知数列 an 为等差数列，且满足 a2=0，a6=12，数列 bn 的前 n 项和为 Sn，且 b1=1，
bn+1=2Sn+1．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）证明：bn 是等比数列，并求 bn 的通项公式；
（3）若对任意的 n∈N+，不等式 k⋅Sn+12≥an 恒成立，求实数 k 的取值范围．

参考答案
一、选择题（共10 小题，每小题4 分，共40 分）
1. C 2. C 3. D 4. C 5. A 6. B 7. A 8. C 9. C 10. B
二、填空题（共5 小题，每小题5 分，共25 分）
11. -12 12. 0.1，0.55 13. 2，3 14. 50% 15. 3，Sn=5n2n为偶,5n-12n为奇
（12、13、15题：第一问2分，第二问3分）
三、解答题（共6 小题，共85 分）
16. （共13分）
（1） 设等比数列 an 的公比为 q．
由题设，a4=a1q3=1×q3=8，………………………..2分
解得q=2．………………………..4分
所以an=a1qn-1=2n-1．………………………..6分
（2）设等差数列bn的公差为d．
因为b2=a3=4，b4=a5=16，
所以d=b4-b24-2=6，………………………..8分
b1=b2-d=-2．……………………….10分
所以bn的前n项和Sn=nb1+nn-1d2…………………….12分
=3n2-5n．……………………….13分
17.（共13分）
（1）由题意，甲投球2次，都没有命中的概率为12⋅12=14，………………………..3分
故甲至少命中1次的概率为1-14=34．……………………….6分
（2）因为乙投球2次均未命中的概率为1-p⋅1-p=116，所以p=34．………………8分
若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次，
则甲只有一次没有命中、乙2次全部命中，或乙只有一次没有命中、甲2次全部命中．
而甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率为C21⋅12⋅1-12⋅342=932，……………………10分
而乙只有一次没有命中，甲2次全部命中的概率为C21⋅34⋅14⋅122=332，……………………..12分
故两人共命中3次的概率为932+332=38．……………………….13分
18.（共14分）
（1）设等差数列an的公差为d，
由已知得a1+d=4,a1+3d+a1+6d=15.………………………..4分
解得a1=3,d=1.………………………..6分
所以an=a1+n-1d=n+2．………………………..7分
（2）由（1）可得bn=2n+n，……………………….8分
所以
…………………9分
…………………10分
…………………12分

…………………14分
19.（共15分）
（1）因为f2=23+2-16=-6，所以点2,-6在曲线上．…………………..1分
所以fʹx=x3+x-16ʹ=3x2+1，………………………..2分
所以曲线在点2,-6处的切线的斜率为k=fʹ2=3×22+1=13……………….3分
所以切线的方程为y=13x-2+-6，即y=13x-32．………………………..4分
（2）设切点为x0,y0，则直线l的斜率为k=fʹx0=3x02+1，……………….5分
所以直线l的方程为y=3x02+1x-x0+x03+x0-16．
又直线l过点0,0，所以0=3x02+1-x0+x03+x0-16，
整理得x03=-8，所以x0=-2，…………………..7分
y0=-23+-2-16=-26，
所以k=3×-22+1=13．………………….9分
所以直线l的方程为y=13x，切点坐标为-2,-26．………………………10分
（3）因为切线与直线y=-14x+3垂直，
所以切线斜率为k=4．………………………11分
设切点为x0,y0，则k=fʹx0=3x02+1=4，
所以x0=±1，………………………12分
所以x0=1y0=-14或x0=-1y0=-18，………………………13分
即切点坐标为1,-14或-1,-18。
所以切线方程为y=4x-1-14或y=4x+1-18，
即y=4x-18或y=4x-14．……………….15分

20.（共15分）
（1）记“从该超市销售的牙膏中随机抽取1管，其销售价格低于25元”为事件K．……….1分
由题设，PK=0.15+0.25+0.2=0.6．………………3分
（2）①由题设，品牌A的牙膏抽取了20×15%=3管，……………….4分
品牌B的牙膏抽取了20×10%=2管，……………….5分
所以n=3+2=5．……………….6分
②随机变量X的可能取值为0，1，2．…………….7分
PX=0=C33C53=110；……………….8分
PX=1=C32C21C53=35；……………….9分
PX=2=C31C22C53=310．……………….10分
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
110
35
310
……………….11分
X的数学期望为EX=0×110+1×35+2×310=65…………….12分
（3）μ1<μ2．…………….15分
21.（共15分）
（1）设等差数列an的公差为d，
因为a6-a2=4d=12，…………….1分
所以d=3，…………….2分
所以an=a2+n-2d，…………….3分
即an=3n-6．…………….4分
（2）因为bn+1=2Sn+1，
所以bn=2Sn-1+1n≥2，
所以bn+1-bn=2Sn-Sn-1，……………5分
所以bn+1=3bnn≥2，…………….6分
又b2=2S1+1=3，…………….7分
b2=3b1也成立，
所以bn是以1为首项，3为公比的等比数列，…………….8分
所以bn=3n-1．…………….9分
（3）Sn=1-3n1-3=3n-12，…………….10分
所以k⋅3n-12+12≥3n-6对n∈N+恒成立，
即k≥6n-23n对n∈N+恒成立，…………….11分
令cn=n-23n，则cn-cn-1=n-23n-n-33n-1=-2n+73n（n≥2且n∈N+），…………….12分
当n≤3且n∈N+时，cn>cn-1，当n≥4且n∈N+时，cn<cn-1，
所以cnmax=c3=127，…………….13分
故k≥6c3=29，…………….14分
即k的取值范围为29,+∞．…………….15分
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