2020北京重点校初二(上)期中数学汇编：轴对称.docx

2020北京重点校初二（上）期中数学汇编
轴对称
一、单选题
1．（2020·北京师大附中八年级期中）在 中，， ，点是边 上一定点，此时分别在边 ，上存在点 ，使得周长最小且为等腰三角形，则此时的值为（ ）

A． B． C． D．
2．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·北京四中八年级期中）下列轴对称图形中，有4条对称轴的图形是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·北京·汇文中学八年级期中）如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（　　）

A． B． C． D．
5．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
6．（2020·北京一七一中八年级期中）已知点 P（ − 2,3）关于 y 轴的对称点为 Q（a,b）,则 a + b 的值是（ ）
A．5 B．–5 C．1 D．–16
7．（2020·北京四中八年级期中）在平面直角坐标系上，已知点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），则点A的坐标为（　　）
A．（4，4） B．（﹣2，﹣2） C．（2，4） D．（3，4）
8．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上的点，连接AP，BP．下列判断不一定正确的是（ ）

A．AM=BM B．∠ANM=∠BNM
C．∠MAP=∠MBP D．AP=BN
9．（2020·北京师大附中八年级期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2020·北京·汇文中学八年级期中）下列有关医疗和倡导卫生的图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2020·北京师大附中八年级期中）如图，，，是内过顶点的一条射线，作 ，，垂足分别为，，将和分别沿直线，翻折得到和，已知，，则的长度是__________．

12．（2020·北京四中八年级期中）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，则的度数为______．

13．（2020·北京师大附中八年级期中）点（3，）关于轴的对称点的坐标是__________．
三、解答题
14．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：
（1）非等边的等腰三角形有________条对称轴，非正方形的长方形有________条对称轴，等边三角形有___________条对称轴；
（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1-4和图1-5中，分别修改图1-2和图1-3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；
（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；

（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．
15．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）如图，已知A（1，2），B（3，1），C（4，3）．
（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，写出点C1的坐标；
（2）直线m平行于x轴，在直线m上求作一点P使得△ABP的周长最小，请在图中画出P点．

16．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）如图，长方形台球桌上有两个球，．

（1）请画出一条路径，使得球撞击台球桌边反弹后，正好撞到球；
（2）请画出一条路径，使得球撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球．
17．（2020·北京四中八年级期中）如图1，点是等腰三角形外一点，过点作于点．

（1）依据题意，补全图形．
（2）求证：．
（3）如图2，与交于点，当是的中点时，翻折得到，连接求证：两点到直线的距离相等．
参考答案
1．B
【分析】
如图，先作分别关于，对称的三角形，以及的对称点，，找到周长最小的条件即、M、N、共线时，进而设，，，，通过各边关系列出方程，解出x，即可求得的值.
【详解】
如图作分别关于，对称，得，，以及的对称点，，
则，，
所以、M、N、共线时，周长最小。
作、、关于的垂线，垂足为、、，
由梯形的性质，得，
在中，，
设，，，，
则由，
，
令，由，得，
所以，
即，
化简得，
所以，
又因为平分，故，
所以，
若，则，解得（负根舍去），
此时 ，
同理可知，若或均可得，
所以，
故选B

【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及轴对称的应用。根据题意正确的做出对称图形是本题的关键.
2．B
【分析】
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
【详解】
解：点关于轴对称的点的坐标为：
故选：B．
【点睛】
本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．
3．D
【分析】
利用轴对称图形定义进行解答即可．
【详解】
解：A、是轴对称图形，有5条对称轴，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，有3条对称轴，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，有1条对称轴，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，有4条对称轴，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
4．B
【分析】
根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点在上时，有最小值．
【详解】
解：连接．

垂直平分，
，
，
当点，，在一条直线上时，有最小值，最小值为．
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称中的最短路线问题，明确当点，，在一条直线上时，有最小值是解题的关键．
5．B
【分析】
轴对称图形是指将图形沿着某条直线对折，直线两边的图形能够完全重叠，根据定义判断即可.
【详解】
A、不是轴对称图形，故选项错误；B、是轴对称图形，故选项正确；C、不是轴对称图形，故选项错误；D、不是轴对称图形，故选项错误．
【点睛】
本题考查轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的定义是关键.
6．A
【分析】
根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y）即求关于y轴的对称点时：纵坐标不变，横坐标变成相反数，根据这一关系，就可以求出a=-（-2）=2，b=3．
【详解】
根据两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，得
a=-（-2）=2，b=3．
∴a+b=5
故选A．
【点睛】
此题考查轴对称的点的坐标，解题关键在于掌握平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．
7．A
【分析】
根据对称的性质即可得点A的坐标．
【详解】
∵点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），
∴点A的坐标为（4，4）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-对称、关于平行于x轴或y轴的直线的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称的性质．
8．D
【分析】
根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
【详解】
解：直线是四边形的对称轴，
，，．
由于和不是对应线段，故不一定等于．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质．
9．D
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】
A、不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，故D符合题意．
故选D.
【点睛】
本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
10．D
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的特点是解题的关键.
11．
【分析】
由折叠的性质得出AM=AD，BM=BD，AN=AE，∠BDA=∠BMA=90°，∠AEC=∠ANC=90°，求出AM=3，证明△AMB≌△CNA（AAS），由全等三角形的性质得出BM=AN=7．
【详解】
解：∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=90°，∠CEA=90°，
∵将△ADB和△AEC分别沿直线AB，AC翻折得到△AMB和△ANC，
∴△AMB≌△ADB，△ANC≌△AEC，
∴AM=AD，BM=BD，AN=AE，∠BDA=∠BMA=90°，∠AEC=∠ANC=90°，
∵MN=AM+AN=AM+AD+DE，
∴2AM=MN-DE=10-4=6，
∴AM=3，
∴AN=MN-AM=10-3=7，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAM+∠CAN=90°，
∵∠AMB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠CAN，
在△AMB和△CNA中，

∴△AMB≌△CNA（AAS），
∴BM=AN=7．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
12．
【分析】
连接AD，根据三角形内角和性质，得；根据轴对称的性质，得，；结合，通过计算即可得到答案．
【详解】
如下图，连接AD

根据题意得：，
∴
∵将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、
∴，
∵
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形内角和、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、轴对称的性质，从而完成求解．
13．（3,2）
【分析】
利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P'的坐标是（x，﹣y），进而求出即可．
【详解】
点（3，﹣2）关于x轴的对称点坐标是（3，2）．
故答案为（3，2）．
【点睛】
本题考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题的关键．
14．（1）1，2，3；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质、矩形的性质以及等边三角形的性质进行判断即可；
（2）中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，在图1-4和图1-5中，分别仿照类似的修改方式进行画图即可；
（3）长方形具有两条对称轴，在长方形的右侧补出与左侧一样的图形，即可构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形；
（4）在等边三角形的基础上加以修改，即可得到恰好有3条对称轴的凸六边形．
【详解】
解：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，
故答案为1，2，3；
（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．

（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示．

（4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．

15．(1)图形见解析，C1（—4,3）；（2）见解析
【详解】
试题分析：（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用等腰三角形的性质得出符合题意答案．
试题解析：
（1）点C关于y轴的对称点的坐标为：（-4，3），图形如图所示：

（2）如上图所示：△ABP是等腰三角形，P1，P2，P3，P4都符合题意，以及AB的垂直平分线会与坐标轴有两个交点，故符合条件的点P的个数有6．
16．（1）如图，点M即为所求；（2）如图，点E，点F即为所求．
【分析】
（1）作点P关于AB是对称点P′，连接QP′交AB于M，点M即为所求．
（2）作点P关于AB是对称点P′，点Q关于BC的对称点Q′，连接QP′交AB于E，交BC于F，点E，点F即为所求．
【详解】
解：（1）如图，点M即为所求．

（2）如图，点E，点F即为所求．

【点睛】
本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题．
17．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】
（1）依据题意画出图形即可；
（2）过点A作AH⊥CD，交DC的延长线于H，由“AAS”可证△ABE≌△ACH，可得AE＝AH，BE＝CH，由“HL”可证Rt△AED≌Rt△AHD，可得结论；
（3）过点A作AG⊥BC于G，连接GD交BC延长线于N，由“AAS”可证△AGF≌△DNF，可得AG＝DN＝GN，可得结论．
【详解】
（1）解：如图3所示即为所求：

证明：（2）如图4，过点A作AH⊥CD，交DC的延长线于H，

∵AE⊥BD，AH⊥DH，
∴∠AED＝∠H＝90°．
∴∠EDH＋∠EAH＝180°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠BAC＋2∠ABC＝180°．
又∵∠BDC＝2∠ABC，
∴∠BDC＋∠BAC＝180°．
∴∠BAC＝∠EAH．
∴∠BAC-∠CAE＝∠EAH-∠CAE．
即∠BAE＝∠CAH．
在△ABE和△ACH中，
∠AEB＝∠H，∠BAE＝∠CAH，AB＝AC，
∴△ABE≌△ACH（AAS）．
∴AE＝AH，BE＝CH．
在Rt△AED和Rt△AHD中，
AE＝AH，AD＝AD，
∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL）．
∴DE＝DH．
∴DE＝BE＋CD；
证明：（3）如图5，过点A作AG⊥BC于点G，连接GD交BC的延长线于点N，

∵翻折△BCD得到△BCG，
∴BN⊥GD，GN＝DN，
∵F是AD的中点，
∴AF＝DF，
在△AGF和△DNF中，
∠AFG＝∠DFN，∠AGF＝∠DNF，AF＝DF，
∴△AGF≌△DNF（AAS）．
∴AG＝DN．
∴AG＝GN．
∴A，G两点到直线BC的距离相等．
【点睛】
本题几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

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